基于雙向2DPCA算法的高分五號衛星圖像降維研究

何 春，郭 科

(1.西華師范大學 教育信息技術中心，四川 南充637009；2.數學地質四川省重點實驗室(成都理工大學)，四川 成都610059)

0 引言

隨著遙感技術的不斷發展，高光譜圖像的光譜分辨率可達納米數量級，在獲得地物圖像信息的同時，也獲得其豐富的光譜信息，真正做到了圖像與光譜的結合，具有圖譜合一的重要特性[1]。高光譜圖像具有光譜分辨率高、波段多、相鄰波段間互相關性強等特點。但是，由于高光譜圖像的波段眾多，波段數據之間勢必存在大量冗余。龐大的數據量對圖像的存儲、傳輸和處理造成了很多困難。為了更好地實現高光譜圖像的地物識別和分類等應用目的，其數據的預處理過程就顯得尤為重要[2]，保留重要信息、去除圖像噪聲和減少數據冗余是預處理的主要目的。

主成分分析(PCA)已在高光譜遙感領域得到了廣泛應用，是一種常見的對高光譜數據進行降維的處理方法，但其在降維時，需要先將波段圖像轉換成一維向量，這樣不但會破壞圖像的結構信息，還由于維度的增加，加大了計算量[3]。2004年，Yang Jian等[4]提出了二維主成分分析(2DPCA)，它無需將波段圖像轉換成一維向量，直接利用二維圖像矩陣提取特征，既保留了圖像的結構信息，也使計算時間大大縮短。但是2DPCA只是在圖像矩陣的行方向上提取特征，降低維數，而忽略了對列方向的操作，導致其降維效果還不夠理想。針對上述問題，Zhang等[5]在2005年提出了雙向2DPCA算法((2D)2PCA)，該方法在圖像的行和列方向上同時進行二維主成分分析，即同時降低了圖像矩陣在行和列方向上的維數，其降維效果得到了極大的提升。

然而，雙向2DPCA方法在高光譜圖像降維中的應用卻見刊極少，目前對高分五號衛星圖像的研究也相對較少。本文擬將雙向2DPCA降維算法應用于高分五號衛星圖像，既是為檢驗該算法對高分五號衛星圖像的降維性能，同時也為該衛星圖像的后續處理做好準備。實驗證明，雙向2DPCA算法對于高分五號衛星圖像具有極好的降維效果。

1 雙向2DPCA算法

1.1 二維主成分分析(2DPCA)

假設某高光譜遙感圖像A具有p個波段(A1,A2,…,Ap)，圖像矩陣尺寸為m×n像素。X∈Rn×n1(n≥n1)是由相互正交的列向量組成的投影矩陣，將圖像矩陣A通過Score=AX的線性變換投影到X上，得到m×n1的矩陣Score，Score即為圖像A在X上的投影特征矩陣，X即為投影矩陣，2DPCA的思想就是尋找最優投影矩陣[6]。算法步驟如下：

(1)

b)計算高光譜圖像A在行方向上的協方差矩陣C1(維度為n×n)：

(2)

c)求解協方差矩陣C1的特征值和特征向量，選擇C1的前n1個最大特征值λ1，λ2，…，λn1，以及對應的特征向量X1,X2,…，Xn1，則X=[X1,X2,…，Xn1]即是最優的投影矩陣(維度為n×n1)。

d)將各波段圖像Ai(i=1,2,…,p)投影到投影矩陣X上，得到各波段圖像在行方向上的主成分，也即投影特征矩陣Scorei(維度為m×n1)：

Scorei=AiX。

(3)

1.2 雙向二維主成分分析((2D)2PCA)

二維主成分分析只是在圖像矩陣的行方向對數據進行分析，即對p個m×n樣本矩陣從行方向降維后，得到投影矩陣X=[X1,X2,…，Xn1]，以及樣本的投影特征矩陣Scorei=AiX(i=1,2,…,p)。這樣，m×n的圖像矩陣降維到了m×n1(n≥n1)[7]。雙向二維主成分分析繼續對樣本矩陣的列方向進行降維分析，同理得到投影矩陣Y=[Y1,Y2,…，Yn2] ，以及樣本的特征矩陣Si=YTScorei=YTAiX(i=1,2,…,p)。這樣，m×n的圖像矩陣降維到了n2×n1(m≥n2，n≥n1)。算法步驟如下：

ɑ)計算高光譜圖像A在列方向上的協方差矩陣C2(維度為m×m)：

(4)

b)求解協方差矩陣C2的特征值和特征向量，選擇C2的前n2個最大特征值λ1，λ2，…，λn2，以及對應的特征向量Y1,Y2,…，Yn2，則Y=[Y1,Y2,…，Yn2]即是最優的投影矩陣(維度為m×n2)。

c)將各波段圖像Ai(i=1,2,…,p)同時投影到投影矩陣Y和X上，得到各波段圖像在行和列方向上的主成分，也即投影特征矩陣Si(維度為n2×n1)：

Si=YTScorei=YTAiX。(i=1,2,…,p)

(5)

d)提取了各波段圖像矩陣在行、列方向上的主成分Si后，可以通過下式重構每個波段的圖像Bi：

Bi=YSiXT=YYTAiXXT。 (i=1,2,…,p)。

(6)

相比2DPCA，(2D)2PCA進一步將圖像矩陣m×n的主成分從m×n1(n≥n1)壓縮到了n2×n1(m≥n2，n≥n1)，從而實現了在行和列上都對圖像數據進行了降維[8]。

1.3 算法評價

對高光譜遙感圖像A進行了降維后，可以通過圖像信息保持率μ(等同于特征值的累計貢獻率)、圖像壓縮率φ以及峰值信噪比PSNR三個指標對其降維性能進行評價[9]。

a)圖像信息保持率(μ1表示行方向上特征值的累計貢獻率，μ2表示列方向上特征值的累計貢獻率)

(7)

b)圖像壓縮率

(8)

對于高光譜圖像而言，波段數值p一般都比較大，在這種情況下，圖像壓縮率φ可用

近似代替。

c)峰值信噪比(PSNR)

圖像在經過壓縮處理之后，輸出的圖像都會在某些程度上與原始圖像不同，峰值信噪比就是用來評價一幅圖像壓縮后和原圖像相比質量的好壞，單位為dB。PSNR值越高，圖像壓縮后失真越小，其有效信息保留越多[10]，反之亦然。在本文中，使用峰值信噪比對經過主成分提取后重構的波段圖像與原圖像進行評價和對比。

對于一幅大小為m×n的原始圖像A和經過降維處理后的圖像B，PSNR的計算公式為：

(9)

(10)

2 實驗及分析

2.1 實驗環境及圖像

本文實驗軟件環境為MATLAB R2014a以及ENVI Classic 5.1。

本文采用的高光譜圖像來源于高分五號衛星圖像。高分五號衛星于2018年5月9日在我國太原衛星發射中心成功發射, 作為全球首顆大氣和陸地綜合高光譜觀測衛星，高分五號衛星 “上可看大氣、中可觀地表、下可探地礦”，同時高分五號也是世界上第一顆能對陸地和大氣進行綜合觀測的衛星[11]。本文研究的圖像尺寸為361×429像素，具有330個波段。拍攝地點位于我國東北某地。下圖1為該遙感圖像的真彩色顯示。

圖1 實驗圖像

2.2 實驗結果及分析

在對330個波段圖像提取了行和列的主成分后，通過特征值的累計貢獻率可以看出，行和列的第1主成分就包含了原圖像85%的信息。429個行主成分中，前167個主成分包含了原圖像99%的信息；361個列主成分中，前123個主成分包含了原圖像99%的信息。表1列舉了行和列的前1～10個主成分所包含的圖像信息比例。圖2提供了行列主成分包含的信息保持率趨勢圖。從趨勢圖可以看出，行和列前面的主成分都已包含了圖像的絕大部分信息，后面的主成分對圖像信息貢獻極小，趨勢也逐漸平緩。

表1 行和列前1～10個主成分包含的圖像信息保持率(%)

圖2 行列主成分信息保持率趨勢圖

為了獲得更詳細的降維數據和結果，表2 對比分析了2DPCA算法以及雙向2DPCA算法，給出了不同信息保持率對應的主成分大小以及圖像壓縮率的具體數值。從表中可以看到，隨著信息保持率的增加，兩種算法的主成分尺寸以及對應的圖像壓縮率均在逐漸變大，但是在相同的信息保持率下，雙向2DPCA算法的主成分尺寸小于2DPCA算法，其對應的圖像壓縮率也遠遠小于2DPCA算法。這是因為2DPCA僅僅對圖像的列進行降維，而行并沒有改變，故主成分尺寸更大，其圖像壓縮率也更大。這也證明了雙向2DPCA算法的降維能力更強。同時從表中可以看到，即使是信息保持率高達99.9%時，雙向2DPCA算法的主成分尺寸也能夠降維到274×341，對應的圖像壓縮率只有60.33%，而2DPCA算法的圖像壓縮率高達79.49%，這表明雙向2DPCA算法的降維效果極好，能夠大大節省計算機存儲數據的空間，極其有利于對數據的后期處理。

表2 2DPCA算法與雙向2DPCA算法的降維效果對比

在提取了主成分后，需要對波段圖像進行重構。由于高光譜圖像波段較多，故本實驗從330個波段圖像中選取了5個噪聲小、圖像表現較好的波段進行圖像重構，分別是第90、120、150、180、210波段。表3繼續對比分析了2DPCA算法以及雙向2DPCA算法，顯示了這5個波段分別在信息保持率為98%、99%、99.9%時，原圖像與重構圖像的峰值信噪比。從表3可以看出，兩種算法的共同趨勢是，這5個波段在相同信息保持率下的PSNR值比較接近，而同一波段的PSNR值隨信息保持率的增加而增加，這證明了信息保持率越高，所提取的主成分就越多，獲取的圖像有效信息也就越多，那么相應的PSNR值也就越高[12]。同時，從表中數據對比可以看出，在相同的信息保持率下，5個波段對應的2DPCA算法的PSNR值均略高于雙向2DPCA算法，這是因為2DPCA算法的主成分尺寸更大，圖像壓縮率更高。然而用比雙向2DPCA算法大得多的主成分尺寸和圖像壓縮率來換取只比雙向2DPCA算法略高的PSNR值，再次證明雙向2DPCA算法的降維性能遠遠超出2DPCA算法。

表3 2DPCA算法與雙向2DPCA算法在不同信息保持率下的PSNR對比(dB)

圖3～圖7分別顯示了這5個波段的原圖像以及利用2DPCA算法和雙向2DPCA算法在信息保持率為98%和99.9%時對其重構的圖像。從各波段原圖像可以看出，波段90的灰度變化較多，結構比較復雜，具有更多的細節信息，而波段210灰度變化較少、過渡比較平穩，圖像整體結構較為簡單，相對提供的細節信息更少。

當信息保持率為98%時，可以看出兩種算法的重構圖像其整體清晰度都不高，圖像的大部分細節和紋理信息都已丟失。其中2DPCA算法的重構圖像充斥著豎條紋，雙向2DPCA算法的重構圖像則充斥著橫豎條紋，這是因為2DPCA算法只對圖像的行向量進行降維，故經降維重構后的圖像在行方向上會丟失一些信息，導致圖像中出現了豎條紋，而雙向2DPCA算法同時對行和列進行降維，所以其重構圖像在行和列方向上都會丟失一些信息，故圖像會出現橫豎條紋。在5個波段中，第90波段的條紋最多，第210波段的條紋相對最少。而從表3數據得知，當信息保持率為98%時，兩種算法在波段90的PSNR值均比波段210稍高一些。出現這種情況是因為2DPCA算法和雙向2DPCA算法的圖像重構效果和圖像壓縮率都對遙感圖像的灰度值比較敏感[13]，對于灰度變化較多，灰度值變化范圍較大的圖像重構效果相對較差，而對灰度值變化范圍小，圖像結構更為簡單的圖像重構效果相對較好。

當信息保持率為99.9%時，兩種算法的5張重構圖像都能較好的保留地物的邊緣和紋理信息，圖像中的條紋明顯減少，其中又以圖像結構較為簡單的210波段重構圖像效果最好。從肉眼判斷兩種算法的重構效果基本一致。在2DPCA算法與雙向2DPCA算法的處理過程中，圖像的大部分低頻信息集中在前面的主成分中，而大部分高頻信息集中在后面的主成分中[14]。地物的邊緣和紋理屬于高頻信息，所以相較于98%的信息保持率而言，99.9%的信息保持率提取了更多的高頻主成分，所以其重構圖像能夠較好的保持地物的邊緣和紋理信息[15]，圖像整體更為清晰、干凈，對原圖像的還原能力更強。

圖3 選取波段的原圖像

圖4 2DPCA算法在信息保持率為98%時的重構圖像

圖5 雙向2DPCA算法在信息保持率為98%時的重構圖像

圖6 2DPCA算法在信息保持率為99.9%時的重構圖像

圖7 雙向2DPCA算法在信息保持率為99.9%時的重構圖像

3 結論

本文通過對2DPCA算法與雙向2DPCA算法的實驗比較，對高分五號衛星圖像進行了降維研究，結論如下：

在行和列方向上，雙向2DPCA算法提取的第1主成分均能包含原圖像85%的信息，行方向39%的主成分以及列方向34%的主成分就能包含原圖像99%的信息。主成分提取后對應的圖像壓縮率比較低，有效的節省了數據存儲的空間，同時充分說明了所提取主成分的高效性。另外，重構圖像的PSNR值也比較理想。

由于雙向2DPCA算法需要計算圖像數據的協方差的特性，導致了該算法對圖像的灰度值變化范圍比較敏感。相對而言，灰度值變化范圍較小的波段，其圖像重構效果更好。由于圖像的高頻信息更多集中在提取主成分的后半部分，故較大信息保持率對應的重構圖像能更好的保留其邊緣和紋理信息，圖像整體更為清晰。

總體而言，雙向2DPCA算法對于高分五號衛星圖像降維的效果比較好，具有普適性，可以推廣應用于其他高分五號衛星圖像。