關(guān)于拋體運(yùn)動(dòng)阻力漸變過(guò)程的理論推導(dǎo)及討論

楊 帥，廖 周*，石麗芬

(1.樂(lè)山師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，四川 樂(lè)山 614000；2.四川文化產(chǎn)業(yè)職業(yè)學(xué)院 大數(shù)據(jù)與互聯(lián)網(wǎng)學(xué)院，四川 成都610000)

0 引言

拋體運(yùn)動(dòng)是牛頓力學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是日常生活中的一種常見(jiàn)運(yùn)動(dòng)形式。對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)的研究一般在沒(méi)有大氣阻力的理想情況或者有空氣阻力條件下進(jìn)行，但對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)從稠密空氣阻力到忽略大氣阻力影響真空狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程的研究研究較為重要。目前對(duì)此問(wèn)題的研究，大多是用泰勒公式、拉格朗日乘子法[1-3]等方法，分析一般阻力方程導(dǎo)出忽略空氣阻力的運(yùn)動(dòng)方程及其性質(zhì)的，卻很少用根據(jù)空氣變化的實(shí)際物理過(guò)程情況進(jìn)行分析(如發(fā)射深空火箭過(guò)程，其受到的空氣阻力就是從有漸變到無(wú)限小的過(guò)程)。本文根據(jù)牛頓力學(xué)得出拋體運(yùn)動(dòng)有空氣阻力的一般方程，而無(wú)空氣阻力的理想情況可由有空氣阻力的方程簡(jiǎn)化而成，也就是無(wú)空氣阻力的拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律便可由有空氣阻力拋體運(yùn)動(dòng)的一般方程直接導(dǎo)出。但將空氣阻力為零直接代入一般方程時(shí)，會(huì)出現(xiàn)方程式無(wú)意義的情況。本文為解決這一情況，從數(shù)理極限思想的角度出發(fā)讓空氣阻力逐步漸變?yōu)榱悖茖?dǎo)出空氣阻力變化過(guò)程的拋體運(yùn)動(dòng)解析公式，并得到忽略大氣影響理想狀況的拋體運(yùn)動(dòng)方程可以由有空氣阻力的拋體運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)化而來(lái)。論文最后并用Matlab做了數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)。

1 拋體運(yùn)動(dòng)理論推導(dǎo)

圖1 斜拋射運(yùn)動(dòng)示意圖

如圖1所示，一拋射體在以初始速度v0拋射出，v0與平面夾角為θ。在沒(méi)有空氣阻力情況下，根據(jù)牛頓力學(xué)分析，并進(jìn)行矢量分解，可以得到拋射體在水平(x)和豎直(y)的速度和運(yùn)動(dòng)方程為：

(1)

g為重力加速度。在x和y方向的位移方程為：

(2)

消除參數(shù)后得到斜拋射運(yùn)動(dòng)軌跡方程為：

(3)

圖2 有空氣阻力時(shí)的拋射運(yùn)動(dòng)

如圖2中，如斜拋射運(yùn)動(dòng)有空氣阻力，且阻力大小跟運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)，F(xiàn)r=-kv(k為比例系數(shù)，v為拋射體瞬時(shí)速度)。根據(jù)牛頓第二定律F=ma，拋射體受到的力為：

(4)

其中Frx=-kvx,Fry=-kvy為空氣阻力在x和y兩個(gè)方向的分解量，公式(4)為：

(5)

初始速度v0x=v0cosθ,v0y=v0sinθ，得到拋射體在有空氣阻力情況下，在水平(x)和豎直(y)的速度和運(yùn)動(dòng)方程為：

(6)

將dx=vxdt,dy=vydt代入公式(6)得到相應(yīng)位移方程為：

(7)

消去參數(shù)t后可得拋體的軌跡方程為：

(8)

公式(6)-(8)為拋體運(yùn)動(dòng)在有空氣阻力情況下的運(yùn)動(dòng)方程，如果空氣阻力趨于0(即k=0)時(shí)，公式(8)應(yīng)簡(jiǎn)化為公式(3)。將k=0代入公式(8)中，得到的結(jié)果與公式(3)差異很大，原因是將k=0代入公式 時(shí)，公式中會(huì)出現(xiàn)了0/0或者無(wú)窮大情況。為了處理此問(wèn)題大多是利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行處理[1-3]，但此類方法只考慮數(shù)學(xué)方法實(shí)現(xiàn)[4-5]，缺乏合理的物理邏輯解釋。本文我們從物理過(guò)程出發(fā)進(jìn)行分析，在空氣阻力減弱并逐漸趨于零的過(guò)程，實(shí)際就是微積分中的極限過(guò)程。因此可基于極限思維解決此問(wèn)題，以下是具體推導(dǎo)過(guò)程。

2 物理漸變過(guò)程推導(dǎo)

對(duì)速度、位移和軌跡即公式(6)-(8)利用洛必達(dá)法則求極限，可以得到無(wú)空氣阻力情況下的相應(yīng)公式 (9)-(12)。下面對(duì)具體情況進(jìn)行推導(dǎo)：

對(duì)速度公式中的vx可以直接將k=0代入，對(duì)于vy需要先利用洛必達(dá)法則，對(duì)分子分母求導(dǎo)后再求極限：

(9)

(10)

連續(xù)用兩次洛必達(dá)法則，可以得到y(tǒng)方向的位移公式：

(11)

從推導(dǎo)公式(10)(11)可以看出，當(dāng)k→0時(shí)，位移公式(7) 就演化為公式(2)，證明了公式(1)-(3)為公式(6)-(8)的特殊情況，跟實(shí)際物理過(guò)程也吻合。

同理可以推導(dǎo)出忽略空氣阻力的拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡方程公式：

(12)

3 數(shù)值仿真

對(duì)不同的空氣阻力以及不同拋射角度進(jìn)行數(shù)值仿真[7]，仿真輸入為：設(shè)物體為球體，質(zhì)量m=1kg，初始速度為v0=20m/s，重力加速度g=10m/s2，初始角度為θ=45°，空氣阻力系數(shù)分別為k={0.3， 0.1 ，0.05 ，0.01， 0.001， 0}。

圖3是仿真結(jié)果，其趨勢(shì)跟數(shù)理推導(dǎo)吻合很好，在空氣阻力k=0.001時(shí)曲線已經(jīng)很接近真空狀態(tài)了，兩條曲線很接近，可以看出仿真結(jié)果論證了前面理論推導(dǎo)。

圖3 在不同空氣阻力條件下的斜拋射運(yùn)動(dòng)

在相同條件[6-10]，去空氣阻力為k=0.01，角度為θ={20°， 30°， 40° ，45°， 50° ，55°}，進(jìn)行數(shù)值仿真。其結(jié)果如圖4所示，可看出在拋射角度θ=45°時(shí)，距離最遠(yuǎn)，驗(yàn)證前面推導(dǎo)結(jié)果。

圖4 空氣阻力下斜拋射運(yùn)動(dòng)不同角度影響

4 結(jié) 論

本文針對(duì)物體拋射運(yùn)動(dòng)的物理問(wèn)題，基于實(shí)際物理運(yùn)動(dòng)的邏輯過(guò)程，利用微積分極限思想，詳細(xì)推導(dǎo)分析了物體拋射運(yùn)動(dòng)從有空氣阻力到真空狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)狀況。

考慮拋射點(diǎn)與落地點(diǎn)在同一平面的情況，運(yùn)用微分學(xué)知識(shí)導(dǎo)出存在空氣阻力的一般性質(zhì)再運(yùn)用極限思想當(dāng)阻力系數(shù)k趨近于零(k→0)時(shí)導(dǎo)出無(wú)空氣阻力情況下的拋體運(yùn)動(dòng)公式與拋體性質(zhì)，還將加速度與夾角α一般化得到了運(yùn)動(dòng)學(xué)中的一般公式。

在物理教學(xué)中，將高等數(shù)學(xué)知識(shí)與物理問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，用數(shù)學(xué)知識(shí)得到一般物理公式再將條件特殊化得到中學(xué)物理課本上的特殊公式，有利于學(xué)生理解公式意義，將會(huì)取得事半功倍的教學(xué)效果。