數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

張躍龍

(甘肅省西和縣第二中學(xué) 742100)

數(shù)學(xué)主要是將實(shí)際生活中的事物通過(guò)相應(yīng)的邏輯關(guān)系以及運(yùn)算關(guān)系，在人腦中進(jìn)行反映，并通過(guò)大腦的抽象處理與加工獲得的結(jié)果.高中生在對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，可將抽象知識(shí)轉(zhuǎn)變成形象知識(shí)，并在解題中，運(yùn)用大腦對(duì)數(shù)學(xué)試題的含義進(jìn)行理解.同時(shí)，高中生熟練掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法，不僅可以使高中生的解題效率得到有效提高，而且還能使高中生靈活地運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)方法，使高中生實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí).因此，高中生在數(shù)學(xué)解題時(shí)，需注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，以此使學(xué)生將相應(yīng)的數(shù)學(xué)題目轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)圖形，從而使學(xué)生習(xí)題理解力得到提高的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)解題效率的提高.

一、基于數(shù)形結(jié)合思想的數(shù)軸類(lèi)解題

數(shù)軸屬于數(shù)形結(jié)合展現(xiàn)的一種主要方法，通過(guò)數(shù)軸可構(gòu)建實(shí)數(shù)和數(shù)軸上各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)軸上的“形”實(shí)現(xiàn)“數(shù)”的融合，以實(shí)現(xiàn)解題思路的有效拓展，并迅速地解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而使數(shù)學(xué)知識(shí)更具生命力，并實(shí)現(xiàn)學(xué)生自身的思維視野拓展.

例1 假設(shè)集合A={x∣x∈Z，且-10≤x≤-1}，B={x∣x∈Z，且∣x∣≤5}，那么，A∪B當(dāng)中的元素個(gè)數(shù)是( ).

A.11 B.10 C.16 D.15

圖1

解析圖示法作為集合類(lèi)試題較為常見(jiàn)的一種表示方法，在對(duì)相關(guān)抽象問(wèn)題進(jìn)行解決的時(shí)候，通常能實(shí)現(xiàn)形象與直觀的目的.對(duì)于本題的求解，其主要指集合當(dāng)中的元素個(gè)數(shù)，通過(guò)數(shù)軸的運(yùn)用，能夠有效詮釋出集合A與B當(dāng)中的元素，并把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榧蠁?wèn)題實(shí)施解決，即根據(jù)圖1可知，A∪B中共包含了16個(gè)整數(shù)點(diǎn).

二、基于數(shù)形結(jié)合思想的三角類(lèi)問(wèn)題解題

對(duì)于數(shù)形結(jié)合而言，其本質(zhì)內(nèi)涵就是把數(shù)據(jù)和圖形相結(jié)合，以獲得相對(duì)直觀、形象的解題思路.在對(duì)三角類(lèi)的相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行解決時(shí)，與相對(duì)僵化且常見(jiàn)的代數(shù)分析法，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，更容易挖掘出其中的幾何背景，并對(duì)問(wèn)題的根本進(jìn)行深入分析，以單位圓呈現(xiàn)的直觀性，有效縮短數(shù)學(xué)問(wèn)題解決花費(fèi)的時(shí)間.

圖2

三、基于數(shù)形結(jié)合思想的不等式類(lèi)問(wèn)題解題

高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，學(xué)生在對(duì)代數(shù)式或者方程式的問(wèn)題進(jìn)行解答時(shí)，通常習(xí)慣性地從代數(shù)方向?qū)嵤┙獯穑@種狀況下，學(xué)生解題就會(huì)被“數(shù)”所束縛，并影響到問(wèn)題的高效解決.而通過(guò)數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，可將代數(shù)與方程等問(wèn)題轉(zhuǎn)變成幾何問(wèn)題，這不僅有利于學(xué)生具備的幾何直觀發(fā)展，而且還能使學(xué)生順利解決相關(guān)方程或代數(shù)問(wèn)題.

圖3

四、基于數(shù)形結(jié)合思想的函數(shù)類(lèi)問(wèn)題解題

以圖象的形式對(duì)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行研究通常是極其常見(jiàn)的一種方法.在對(duì)方程與不等式等相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行解決時(shí)，主要是在“數(shù)”上進(jìn)行構(gòu)“形”，其不僅有利于對(duì)題意進(jìn)行理解，探究相應(yīng)的解題思路，而且還能體驗(yàn)到解題的結(jié)果，從而使函數(shù)的抽象化問(wèn)題得到完美解決，并使學(xué)生對(duì)函數(shù)概念及性質(zhì)實(shí)現(xiàn)高效認(rèn)識(shí)，以此對(duì)函數(shù)的未知性質(zhì)進(jìn)行挖掘，從而使學(xué)生的解題思路更加靈活化.

例4 已知log2(-x)

圖4

解析本試題將代數(shù)作為出發(fā)點(diǎn)，就很容易出現(xiàn)思維卡殼，此時(shí)，則可融入學(xué)生相對(duì)熟悉與常用的數(shù)形結(jié)合，對(duì)問(wèn)題難度進(jìn)行瓦解，實(shí)現(xiàn)解題思路的簡(jiǎn)化.如圖4所示，在解題的時(shí)候，可先作出函數(shù)y=log2(-x)與函數(shù)y=x+1的圖象，由題意log2(-x)

五、基于數(shù)形結(jié)合思想的方程問(wèn)題解題

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，在對(duì)方程個(gè)數(shù)進(jìn)行求解的時(shí)候，是最適合使用數(shù)形結(jié)合思想的.通常情況，在具體的方程個(gè)數(shù)求解教學(xué)中，教師可指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)，并將其圖形繪制出來(lái).當(dāng)繪制完成之后，題目也隨之解決.

例5 方程ax-x-a=0，已知a的取值范圍是(1，+)，方程有幾個(gè)解？

圖5

分析如果學(xué)生從正面對(duì)其進(jìn)行求解，存在極大的難度，不僅僅浪費(fèi)了大量的時(shí)間，還會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在求解的過(guò)程中，出現(xiàn)多種錯(cuò)誤.在這種情況下，教師可指導(dǎo)學(xué)生將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y=ax和y=x+a，借助圖5的形式，將函數(shù)之間的關(guān)系直觀、形象地描繪出來(lái)，從而根據(jù)兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)即可確定幾個(gè)解，進(jìn)而幫助學(xué)生對(duì)其進(jìn)行解決.如此一來(lái)，學(xué)生無(wú)需花費(fèi)大量的時(shí)間和精力，在極短的時(shí)間內(nèi)，即可對(duì)其進(jìn)行有效的解答.同時(shí)，也在很大程度上避免了錯(cuò)誤的發(fā)生率.

綜上所述，數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題中具有廣泛的應(yīng)用，以數(shù)助形更能夠幫助學(xué)生找出其中的數(shù)學(xué)規(guī)律和答案，降低學(xué)生思考的難度，實(shí)現(xiàn)學(xué)生解題的有效性.高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中，應(yīng)該將數(shù)形結(jié)合思想滲透到各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析和解決中，讓學(xué)生能夠靈活地進(jìn)行數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想的要點(diǎn)及應(yīng)用范圍，提高學(xué)生靈活解題的能力和數(shù)學(xué)思想應(yīng)用能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).