余弦級數的斂散性

杜先云 任秋道

(1.四川省成都信息工程學院數學學院 610225;2.四川省綿陽師范學院數理學院 621000)

一、引入

目前《高等數學》與《數學分析》教材中，對任意項級數收斂的內容涉及少，而大量級數的斂散需要確定.我們通過數列收斂方法來判定級數收斂.從新的角度去認識收斂數列的漸進性：當n無限增大時，可以認為收斂數列{yn}相鄰兩項的差所構成的數列{yn-yn-1}(n>2)，無限接近一個公差為0的等差數列，從而給出了利用yn-yn-1趨于0來判斷數列收斂的方法.這說明了收斂數列各項變化的微小性.本文給出了任意項級數收斂的一個判定定理，討論了一些余弦級數的斂散性.

二、任意項級數收斂的判定

引理設{yn}為一個有界數列.?ε>0，?N∈Z+，當n>N時，不等式|yn-yn-1|<ε恒成立，則數列{yn}收斂.

一個收斂級數任意加括號后所成級數仍然收斂，其逆命題不成立.但是有下面的定理：

(a1+a2+…+an1)+(an1+1+an1+2+…+an2)+…+(ank+1+ank+2+…+ank+1)+…,

|Sn|=|bn1+bn2+…+bnk0+(ank0+1+ank0+2+…+an)|

從而該級數有界.利用引理的推論可得結論.證畢.

這個定理推廣了交錯級數收斂的萊布尼茲定理，可以說給出了判定級數的一個簡便方法.

證明當k=1時，容易知道結論成立.設Z[0]={2i|i∈Z},Z[1]={2i+1|i∈Z}.當k=2s,s≥1時，根據二項式定理可得

(n+1)2s-n2s-1∈Z[0]，[nk+(n+1)k]∈Z[1].

同理可得[nk-(n+1)k]∈Z[1].當k=2s+1,s≥1時，有同樣的結論.因此，