極坐標系下二維各向同性諧振子能級及波函數的研究 ①

孫 晶, 張海豐

(佳木斯大學理學院，黑龍江 佳木斯 154007)

0 引 言

在基礎量子力學研究中，二維各向同性諧振子經常被使用，在各個方面都得到了廣泛的研究，例如：波函數及概率的可視化演示[1-2]；電諧振本征值問題求解[3]；雙原子分子諧振子模型研究[4]；使用MATLAB軟件演示線性諧振子能級及波函數[5]；含時線性諧振子密度算符的研究[6]；漲落質量的諧振子共振行為分析[7]；一維線性諧振子非幺正變換研究[8]；含時諧振子動力學研究[9]；一維線性諧振子能量的不變本征算符法[10]；諧振子能級在弱電場中的計算[11]；利用作圖方法研究一維線性諧振子的波函數和幾率密度[12]；非對易空間中帶電諧振子的能級分析[13]；線性諧振子的算符理論分析[14]；線性諧振子的能級和不確定關系研究[15]；線性諧振子熱力學性質研究[16]；諧振子的數值計算研究[17]。本文旨在平面極坐標系下對二維各向同性諧振子的能級分布、波函數、簡并度、宇稱等問題進行詳細的研究，并于直角坐標系的結論進行比較，為進一步的理解量子力學本征值問題的代數解法提供理論支持。

1 直角坐標系下的二維各向同性諧振子能級分布和本征矢

(1)

(2a)

(2b)

(3a)

ψn1(x)=Hn1(αx)e-α2x2/2

(3b)

(3c)

ψn2(y)=Hn2(αy)e-α2y2/2

(3d)

ψn1n2(x,y)=ψn1(x)ψn1(y)

(4)

E=(n1+n2+1)?ω=(N+1)?ω=EN

(5)

式中N=n1+n2=0,1,2,…。易見N,n1,n2滿足以下的組合

n1=0，1，2，…，N

(6a)

n2=N，N-1，N-2，…，0

(6b)

所以可以得到能量的簡并度為(N+1)，且

(-1)n1+n2=(-1)N

(7)

N=0為基態，即n1=n2=0。

2 極坐標系下的二維各向同性諧振子的能級分布和本征矢推導

在直角坐標系和極坐標系下坐標之間滿足

(8a)

易得

(8b)

(9)

ψ=R(ρ)eimφ

(10)

式中m=0,±1,±2,…。

當坐標做空間反演時，即(x,y)變為(-x,-y)，ρ保持不變，但角度φ變為φ+π，所以

ψ(ρ,ρ+π)=R(ρ)eim(φ+π)=(-1)mψ(ρ,φ)

(11)

即ψ(ρ,φ)具有(-1)m的宇稱，當m為奇數時為奇宇稱，當m為偶數時為偶宇稱。所以式(10)所滿足的哈密頓方程

(12)

易見R(ρ)可以表示為

(13)

所以在極值條件下，R(ρ)為

ρ→0，R(ρ)→ρ|m|

(14)

ρ→，R(ρ)～e-α2ρ2/2

(15)

對于非極值的情況表示為

R(ρ)=ρ|m|μ(ρ)e-α2ρ2/2

(16)

所以

ψ=ρ|m|μ(ρ)e-α2ρ2/2eimφ

(17)

所以在極坐標系下，能級為EN，本征矢宇稱滿足(-1)N，且滿足

ρ|m|eimφ=ρ|m|(cosmφ+isinmφ)

(18)

μ(ρ)可以表示成ρ2的n次級數，且

N-|m|=2n

(19)

式中n=0,1,2,…。

取

ε=E/?ω

(20)

ξ=α2ρ2

(21)

所以μ表示為

(22)

當ξ→0時，上式的解為

(23)

式中F=F(a,c,ξ)，具體表示成級數為

(24)

取a=-n，即F(a,c,ξ)截取為n次項，所以

(25)

ε=2n+|m|+1=N+1

(26)

E=(2n+|m|+1)?ω=(N+1)?ω

(27)

ψnm(ρ,φ)=|ρ|mF(-n,|m|+1,α2ρ2)e-α2ρ2/2eimφ

(28)

所以N,|m|,n滿足以下的組合為

N為偶數時

|m|=N,N-2,…,0

(29a)

n=0,1,…,N/2

(29b)

N為奇數時

|m|=N,N-2,…,1

(30a)

n=0,1,…,(N-1)/2

(30b)

從上邊的組合形式可以看出，當|m|≥1，m的取值為|m|和-|m|兩個值，即N是偶數和奇數時，都有使得En的簡并度為N+1，即極坐標系下的簡并度與直角坐標系的相同。

3 結 論

通過以上推導可知，在平面極坐標系下，二維各向同性諧振子的能級為E=(2n+|m|+1)?ω=(N+1)?ω，本征矢為ψnm(ρ,φ)=|ρ|mF(-n,|m|+1,α2ρ2)e-α2ρ2/2eimφ，簡并度為N+1，宇稱也和直角坐標系的結果一樣，即表明坐標系的選取不影響能級分布、宇稱、簡并度等物理量，而波函數的表示形式大有不同。另外，采用在不同坐標系求解量子力學相關本征值問題對于更好的理解代數解法有很好的理論意義。