關(guān)于廣義斐波那契數(shù)列的線性空間結(jié)構(gòu)的研究 ①

張小鳳, 佟欣妍

(廈門工學(xué)院計(jì)算機(jī)與人工智能學(xué)院數(shù)學(xué)系，福建 廈門 361021)

0 引 言

生活中，會(huì)經(jīng)常看到斐波那契數(shù)列的身影——松果、鳳梨、樹葉的排列，某些花朵的花瓣數(shù)…自然界并不懂得斐波那契數(shù)列，它們只是按照大自然的規(guī)律進(jìn)化成這樣。斐波那契數(shù)列作為大自然進(jìn)化的“優(yōu)化方式”，對(duì)它的研究自然意義重大，它是目前國(guó)際數(shù)學(xué)研究的一個(gè)前沿?zé)狳c(diǎn)問題，吸引了眾多數(shù)學(xué)家的研究興趣，比如文獻(xiàn)[1-5]。目前關(guān)于斐波那契數(shù)列的研究，大部分局限在數(shù)列自身的性質(zhì)上。并且，數(shù)列本身也具有較大的局限，要求數(shù)列的前面兩項(xiàng)是固定項(xiàng)。本文獨(dú)辟蹊徑，創(chuàng)新性地應(yīng)用線性空間的理論來研究全體廣義斐波那契數(shù)列，深入剖析它的數(shù)學(xué)涵義，刻畫它的重要性質(zhì)，得到了非常優(yōu)美而富有意義的結(jié)論。這套全新的研究理論，在數(shù)學(xué)上拓展了斐波那契數(shù)列的深度和廣度，同時(shí)讓大家對(duì)于它的研究有了新的方向。

1 廣義斐波那契數(shù)列的線性空間結(jié)構(gòu)

1.1 廣義斐波那契數(shù)列空間

定義1：一個(gè)數(shù)列{an}n≥1稱為廣義斐波那契數(shù)列，如果對(duì)于任意的i≥2，都有ai+1=ai+ai-1成立。所有廣義斐波那契數(shù)列全體構(gòu)成的集合記為。

定義2：對(duì)于任意兩個(gè)數(shù)列{an}n≥1,{bn}n≥1以及任意實(shí)數(shù)λ，可以定義線性運(yùn)算如下：

(1)加法運(yùn)算：

{an}n≥1+{bn}n≥1={an+bn}n≥1;

(2)數(shù)乘運(yùn)算：λ·{an}n≥1={λan}n≥1.

有下述結(jié)論：

定理1：在線性運(yùn)算下，構(gòu)成一個(gè)-線性空間。

證明：首先，對(duì)于?F1={an}n≥1,F2={bn}n≥1∈,由F1+F2={an+bn}n≥1,有

ai+1+bi+1=(ai+ai-1)+(bi+bi-1)=(ai+bi)+(ai-1+bi-1)，即F1+F2∈。

其次，對(duì)于?λ∈,?F={an}n≥1∈，由λF={λan}n≥1知，λai+1=λ(ai+ai-1)=λai+λai-1，即λF∈。

(1)加法交換律：?F1={an}n≥1,F2={bn}n≥1∈,有F1+F2={an+bn}n≥1={bn+an}n≥1=F2+F1.

(2)加法結(jié)合律：?F1,F2,F3∈,其中

F1={an}n≥1,F2={bn}n≥1,F3={cn}n≥1,

有

(F1+F2)+F3={an+bn}n≥1+{cn}n≥1=

{an+bn+cn}n≥1={an}n≥1+{bn+cn}n≥1=

F1+(F2+F3).

(3)零元：?Ο={0}n≥1∈,使得對(duì)于任意的F={an}n≥1∈,

F+Ο={an}n≥1+{0}n≥1={an+0}n≥1={an}n≥1=F.

(4)負(fù)元：對(duì)于任意的F={an}n≥1∈,存在-F={-an}n≥1∈,使得F+(-F)={an+(-an)}n≥1={0}n≥1=Ο.對(duì)

(5)單位元1：?F={an}n≥1∈,1·F=1·{an}n≥1={an}n≥1=F.

(6)數(shù)乘結(jié)合律： ?λ,μ∈,F={an}n≥1∈,有

λ·(μ·F)=λ·(μ·{an}n≥1)=λ·{μan}n≥1=

{λμan}n≥1=λμ·{an}n≥1=(λμ)·F.

(7)數(shù)乘對(duì)加法的分配律：對(duì)于?λ∈,?F1={an}n≥1,F2={bn}n≥1∈,有

λ·(F1+F2)=λ·({an}n≥1+{bn}n≥1)=

λ·{an+bn}n≥1={λ(an+bn)}n≥1=

{λan+λbn}n≥1={λan}n≥1+{λbn}n≥1=

λ·F1+λ·F2.

(8)數(shù)量加法對(duì)數(shù)乘的分配律：對(duì)于?λ,μ∈,?F={an}n≥1∈,有

(λ+μ)·F=(λ+μ)·{an}n≥1=

{(λ+μ)an}n≥1={λan+μan}n≥1=

{λan}n≥1+{μan}n≥1=λ·{an}n≥1+

μ·{an}n≥1=λ·F+μ·F.

1.2 廣義斐波那契數(shù)列空間的基與維數(shù)

定理2：對(duì)于-線性空間，{F(0,1),F(1,0)}構(gòu)成它的一組基。

證明：設(shè)k1F(0,1)+k2F(1,0)=0,則k1F(0,1)+k2F(1,0)=F(k1,k2)=0,從而k1=k2=0，即F(0,1)與F(1,0)線性無關(guān).

另外，對(duì)于?F(a,b)∈,有F(a,b)=aF(1,0)+bF(0,1),

故F(0,1),F(1,0)構(gòu)成F的一組基。 證明完畢.

推論1：-線性空間的維數(shù)為2， 即dim=2。

2 廣義斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式

廣義斐波那契數(shù)列F(0,1),F(1,0),F(1,1)的通項(xiàng)公式已經(jīng)有人陸續(xù)給出，下面給出前兩項(xiàng)可以是任意實(shí)數(shù)的廣義斐波那契數(shù)列F(a,b)的通項(xiàng)公式。

定理3：對(duì)于任意a,b，記F(a,b)={fn}n≥1，則F(a,b)的通項(xiàng)公式為：

根據(jù)定理2，知道F(a,b)=a·F(1,0)+b·F(0,1)，從而F(a,b)的通項(xiàng)公式為：

fn=a·an+b·bn=a·cn-2+b·cn-1=

定理證明完畢.

本文首次從線性代數(shù)的角度來研究廣義斐波那契數(shù)列空間，證明它具有線性空間結(jié)構(gòu)，并給出它的基與維數(shù)的刻畫。另外，突破了傳統(tǒng)的對(duì)于斐波那契數(shù)列的研究前兩項(xiàng)必須是固定項(xiàng)這一重要局限，給出了前兩項(xiàng)可以是任意項(xiàng)的廣義斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式。因此，本文的研究方法和所得結(jié)論，都具有重要的意義。