具有弱τ-CS性質的環和模的擴張 ①

李煜彥, 李 銳

(隴南師范高等專科學校數信學院,甘肅 隴南 742500)

0 引言及預備知識

本文中的環都是有單位元的結合環,模指酉右R-模,撓理論均指遺傳撓理論.設R是環,τ=(T,F)表示遺傳撓理論,稱N是M的τ-基本子模,如果Nτ-dM且NeM.用NM,Nτ-dM,Nτ-eM分別表示N是M的子模,τ-稠密子模,τ-基本子模.設R是環,稱S是環R的右基本擴張環,如果RReSR.用Dτ(M)表示由M的所有τ-稠密子模構成的集合.稱M是CS模,如果對任意NM,存在M的直和因子K,使得NeK.稱M是C11模,如果對任意NM,存在M的直和因子K,使得K是N在M中的補.稱M是τ-CS模,如果對任意Nτ-dM,存在M的直和因子K,使得Nτ-eK.令Zτ(M)={(m∈M|ann(m)τ-eRR}={(m∈M)|?Lτ-eRR,mL=0}.稱Zτ(M)是M的τ-奇異子模.如果Zτ(M)=M(Zτ(M)=0),那么就稱M是τ-奇異(非奇異)模.由文獻[1]知,Zτ(M)滿足如下等式:

Zτ(M)=Z(M)∩τ(M)=τ(Z(M))=Z(τ(M)).

引理1[2]設M是模,KLM,則K∈Dτ(M)當且僅當K∈Dτ(L)且L∈Dτ(M),即Kτ-dM當且僅當Kτ-dL且Lτ-dM.

引理2[2]設K,NM.則K是N在M中的τ-補當且僅當K是N在M中的補,且K∩N=0,K⊕N∈Dτ(M).

由引理2和文獻[3],易得下面引理.

引理3以下對模M等價:

(1)對任意Nτ-dM,存在M的直和因子K,使得K是N在M中的τ-補;

(2)對任意Nτ-dM,存在M的直和因子K,使得K∩N=0，且K⊕Nτ-eM.

定義1稱M是τ-C11模,如果M滿足引理3中條件之一.

顯然,τ-CS模是τ-C11模.

1 本文主要結論

證明只證明(1),(2)的證明跟(1)是類似的.

“如果能夠盡量在一天內把所有的檢查完成，患者不用跑來跑去，付出的成本更少；宣教也可以集中，宣教服務人員時間一長也會越來越專業。”黃東勝院長指出。

定理2設M是右R-模,L是M的全不變τ-稠密子模.若M是τ-C11模,則

(1)L是τ-C11模;

下面討論τ-C11模以及右τ-C11環關于基本擴張的遺傳性質.

定理3設R是環,S是R的右基本擴張環.若R是右τ-C11環,則以下結論成立:

(1)SR是τ-C11模;

(2)S是右τ-C11環.

證明只證明(1),(2)的證明跟(1)是類似的.

設XRτ-dSR,令Y=X∩R,則YR,且故Yτ-dR.從而存在e2=e∈R,使得eR是Y在R中的τ-補.下證(eS)S是X在S中的τ-補.

先證X∩eS=0.因為RReSR,所以Y=X∩ReX.假設存在0≠x∈X∩eS,則存在r∈R,使得0≠xr∈X∩R=Y.而x=ex,故0≠xr=exr∈Y∩eR.這與eR是Y的τ-補相矛盾.

定理4設M是右R-模,Nτ-eM.設任意e∈EndR(N)都可以擴張到e′∈EndR(M),其中e=e2,e′=(e′)2.若N是τ-C11模,則M是τ-C11模.

證明設Lτ-dM.令D=N∩L,則即Dτ-dN.于是存在e2=e∈End(N),使得eN是D在N中的τ-補.由假設知,存在e′=(e′)2∈End(M),使得e′|N=e.易證e′M是L在M中的τ-補子模.從而M是τ-C11模.

2 結 語