時滯節能減排系統的復雜動力學特性分析 ①

司鳳山, 徐 勇 , 王 晶, 王 娟

(1.安徽財經大學管理科學與工程學院，安徽 蚌埠 233030；2.北京跟蹤與通信技術研究所，北京 100094)

0 引 言

隨著經濟的快速發展，巨大的能源消耗和污染物的排放，給人類生存環境和能源的可持續利用帶來了嚴峻的挑戰。于是采取何種措施有效協調能源價格及利用、碳排放、經濟發展之間的關系是已成為目前亟待解決的一個重要課題。學者針對上述問題已經進行了相關研究，例如呂堂紅等[1-2]通過研究能源價格模型，提出能源穩定性的定價策略和利用策略。田立新等[3-4]和殷紅燕等[5]分析帶時滯的能源價格模型，給出能源價格調整的穩定區間。Fang等[6]探究節能減排、碳排放、經濟增長之間復雜的非線性博弈關系。本文基于以上研究，考慮經濟增長對節能減排和碳排放影響的延遲效應，提出一個帶時滯的節能減排模型，從系統穩定性和復雜性的角度給出延遲決策變量的穩定性區間，以增強節能減排系統決策的科學性。

1 時滯節能減排系統構建

文獻[6]研究了如下的三維節能減排系統：

(1)

其中，x(t)是節能減排量，y(t)是碳排放量，z(t)是經濟增長量(GDP)。a1為節能減排的發展系數，a2為碳排放對節能減排的影響系數，a3為GDP增長對節能減排的影響系數；b1為節能減排對碳排放的影響系數，b2為碳排放的發展系數，b3為GDP增長對碳排放的影響系數；c1為節能減排對GDP增長的影響系數，c2為碳排放對GDP增長的影響系數，c3為對節能減排的經濟投入對經濟增長的影響系數；ai,bi,ci>0,i=1,2,3。M,C,E,N>0，表示閾值。

因為節能減排和碳排放受到經濟發展水平的影響，所以在制定下一期節能減排和碳排放策略時，不但要參照本期的經濟增長量，而且還要參考歷史的經濟增長量，只有綜合考慮才能制定出科學的策略。但是由于本期的經濟增長量難以及時準確獲取，故本文僅考慮參照歷史的經濟增長量來制定節能減排和碳排放策略。基于此，在系統(1)的基礎上構建出帶時滯的節能減排系統為：

(2)

其中，τ>0為時滯參數，它表示參照τ時刻之前的經濟增長量來決策未來的節能減排和碳排放量。

2 系統穩定性分析

經計算得到系統(2)的有效均衡點為E(x*,y*,z*)，其中，

系統(2)在均衡點E處線性化為：

(3)

進而求得系統(3)在均衡點E處的特征方程為：

λ3+A2λ2+(A1+B1)λ+A0+B0+

(C1λ+C0+D0)e-λτ=0

(4)

其中，

B1=-a2b1，B0=-a2b1c3，

令λ=iω(ω>0)為式(4)的一個根，將其帶入得到：

(5)

依據式(5)可以得到：

(6)

其中，

K1=A2C1-C0-D0,K2=A1C0+B1C0+A1D0+

B1D0-A0C1+B0C1,K3=C1,

K4=A2C0-A1C1-B1C1+A2D0,

由式(6)得到關于ω的方程為：

M4ω8+M3ω6+M2ω4+M1ω2+M0=0

(7)

其中，

假設條件(1)：式(7)至少有一個正實根ω0成立，則式(7)有一對純虛根±iω0。此時根據式(6)得到時滯參數為：

(8)

特征方程(4)兩邊求λ關于τ的導數得到：

(9)

取式(9)的實數部分可得：

(10)

其中，PR和PI分別是式(10)分母的實部和虛部，QR和QI分別是其分子的實部和虛部，

即為：

PR=ω0C0sin(ω0τ0)+ω0D0sin(ω0τ0)-

QI=2A2ω0-C1sin(ω0τ0)。

結論1：對于系統(2)及其均衡點E，如果條件(1)-(2)都成立，則當τ<τ0時系統(2)在均衡點處局部漸近穩定；當τ>τ0時系統在均衡點處不穩定；當τ=τ0時系統在均衡點處產生Hopf分岔。

3 數值仿真

為了驗證理論分析的正確性，以及更好地展現系統的復雜特性，故取其中的一組參數值為：a1=4.5,a2=1.3,a3=20,b1=0.25,b2=0.85,b3=0.35,c1=0.5,c2=0.3,c3=0.2,M=10,C=1,E=8,N=12，此時系統(2)的均衡點為E(-0.6323, 1.1440,-0.0516)。

3.1 τ對系統穩定性的影響

依據式(8)計算得到τ0=0.4622，根據結論1可知0.4622是系統(2)關于時滯參數產生Hopf分岔的臨界值。系統(2)關于時滯參數τ的分岔圖和最大李雅普諾夫指數圖如圖1所示。

(a)τ=0.44 (b)τ=0.48

圖3 系統(2)的熵圖

圖1(a)描述了系統由穩定狀態通過分岔逐步進入混沌狀態的過程，顯然系統在τ=0.4622時產生分岔。由此可見，時滯參數過大會造成系統失穩，即政府在節能減排決策時參照的歷史經濟增長量不可過早。此外，最大李雅普諾夫指數(the Largest Lyapunov Exponent，縮寫為LLE)是描述系統混沌特征的一個重要量化指標，指數小于零說明系統處于均衡態；當指數大于零說明系統處于混沌狀態，其值越大意味著系統混沌越顯著。從圖1(b)可以看出，在τ=0.4622時指數等于零，此時系統處于穩定與不穩定之間的臨界狀態，這與圖1(a)含義相同。同時說明，τ<0.4622是系統關于時滯參數τ的穩定域，而τ>0.4622是系統關于時滯參數τ的混沌域，這與結論1相一致。

為了直觀展現分岔臨界值左右兩側的系統狀態，分別令τ=0.44<τ0和τ=0.48>τ0，此時對應的系統吸引子如圖2所示。

由圖2可知，當τ=0.44時系統(2)是穩定的，經長期博弈后將收斂于均衡點E。當τ=0.48時系統最后趨于極限環，呈現出不穩定狀態。要避免這種失穩現象，必須縮短經濟增長量對節能減排和碳排放影響的滯后時間。

3.2 τ對系統復雜性的影響

系統會受到各種因素的干擾而失去穩定。雖然系統可以通過自身調節或者外部干預使其由不穩定狀態恢復至穩定狀態，但是所用時長取決于系統的復雜程度。系統越復雜，其重返穩定狀態的時間越長。熵(Entropy)是一個衡量系統復雜程度的指標，熵值越大意味著系統越復雜，反之亦然[9,10]。圖3描述了系統熵值隨τ增加的變化趨勢，圖中標注的點(0.4622,0)表示τ增加至0.4622時系統中的不穩定因素開始導致系統的復雜性發生變化，呈現出逐漸增加的態勢。由此可見，圖3中系統復雜性的變化趨勢與圖1中系統穩定性的變化趨勢相同。

4 結 語

本文在節能減排系統中引入時滯參數，分析了時滯系統在均衡點處的Hopf分岔的存在性及條件，借助數值仿真討論了時滯參數對系統穩定性和復雜性的影響，給出了系統的穩定域。研究表明，經濟增長量對節能減排和碳排放的延遲效應存在時間范圍限制，否則容易導致系統經分岔而陷入混沌狀；且系統穩定性與系統復雜性具有相同的臨界值，它們的變化趨勢基本一致。只是探討了帶時滯的節能減排系統的動力學特性，沒有對失穩系統進行穩定性控制，這將是下一步需要解決的問題。