重知識生成 促思維生長

夏開艷

摘? 要：函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的重要數(shù)學(xué)模型，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。函數(shù)的圖象是研究函數(shù)的重要工具，文章以“函數(shù)的圖象”一課為例，從知識生成的視角闡述函數(shù)圖象的畫法，感受數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生的整體意識，促進(jìn)思維生長。

關(guān)鍵詞：函數(shù)圖象;知識生成;數(shù)形結(jié)合

目前在函數(shù)圖象的教學(xué)中往往只關(guān)注畫圖的操作技巧，即列表、描點(diǎn)、連線，而忽視為什么要研究函數(shù)的圖象、函數(shù)圖象的形成過程等問題，學(xué)生只是描摹過程，而不是啟發(fā)學(xué)生思考，導(dǎo)致學(xué)生對畫圖的步驟理解不到位。文章以“函數(shù)的圖象”教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)為例，闡述一些相關(guān)思考。

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課選自人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊第十九章“函數(shù)的圖象”（第2課時(shí)）。

2. 內(nèi)容解析

“函數(shù)的圖象”是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系、變量與函數(shù)，以及函數(shù)關(guān)系的三種表示方法等知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)圖象的意義和理解圖象的畫法，感受圖象的直觀，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。同時(shí)，本節(jié)課為后續(xù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)提供了一般的研究思路，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一致性。

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是理解函數(shù)圖象的意義，經(jīng)歷畫函數(shù)圖象的過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

（1）了解函數(shù)圖象的意義。

（2）會(huì)觀察函數(shù)圖象獲取信息，根據(jù)圖象初步分析函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系和變化規(guī)律。

（3）經(jīng)歷畫函數(shù)圖象的過程，體會(huì)函數(shù)圖象建立數(shù)形聯(lián)系的關(guān)鍵是分別用點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)表示自變量和對應(yīng)的函數(shù)值。

2. 目標(biāo)解讀

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：對于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形就是這個(gè)函數(shù)的圖象。

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：學(xué)會(huì)初步觀察圖象，從中獲取相關(guān)信息，并學(xué)會(huì)初步分析函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系和變化規(guī)律。

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：對于一個(gè)函數(shù)，會(huì)通過列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)的大致圖象;會(huì)用圖象描述變量之間的對應(yīng)關(guān)系，用變量的變化規(guī)律解釋圖象的特征。

三、教學(xué)問題診斷解析

在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生最大的困難就是將函數(shù)圖象的特征解析成變量的對應(yīng)關(guān)系和變化規(guī)律。在分析圖象的過程中，需要用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看圖象，即當(dāng)自變量（橫坐標(biāo)）增大（減小）時(shí)，函數(shù)值（縱坐標(biāo)）增大（減小），建立圖象上動(dòng)點(diǎn)與坐標(biāo)、與變量的對應(yīng)關(guān)系。這是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，克服這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是理解函數(shù)圖象的意義。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

圖1是自動(dòng)測溫儀記錄的圖象，它反映了南京冬季某天氣溫T如何隨時(shí)間t的變化而變化。

問題1：從圖1中你可以獲取哪些信息？

追問1：溫度T是時(shí)間t的函數(shù)嗎？

追問2：你還能用其他方法表示這個(gè)函數(shù)嗎？

師生共同總結(jié)識圖的步驟：（1）理解變量是什么;（2）理解點(diǎn)的意義;（3）理解點(diǎn)與點(diǎn)之間的聯(lián)系。

【設(shè)計(jì)意圖】從已有的知識基礎(chǔ)（函數(shù)的三種表示方法）和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生展開思維活動(dòng)，為研究函數(shù)圖象的必要性建立了良好的條件，同時(shí)將研究的問題顯性化。

問題2：你能畫出這個(gè)函數(shù)的圖象嗎？

追問1：需要記錄多少個(gè)時(shí)刻的溫度？

追問2：教師采集了一些數(shù)據(jù)（10組），用表格整理出來（PPT展示），能畫出圖象嗎？

追問3：再增加一些數(shù)據(jù)，能看出圖象嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】從10組數(shù)據(jù)到20組、30組數(shù)據(jù)不斷增加，使學(xué)生能夠逐漸感受到氣溫圖是由大量密集的時(shí)間點(diǎn)數(shù)據(jù)的采集記錄，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)形成的。

追問4：形成兩個(gè)變量的對應(yīng)數(shù)據(jù)可以得到很多點(diǎn)，仔細(xì)觀察每兩個(gè)點(diǎn)之間是怎樣連接的？

師生共同總結(jié)：一般地，對于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象。歸納畫函數(shù)圖象的方法：記錄數(shù)據(jù)—找圖象上的點(diǎn)—看趨勢—光滑曲線連接。

【設(shè)計(jì)意圖】通過生活中的問題讓學(xué)生體會(huì)到，當(dāng)一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，通過圖象也可以唯一確定另一個(gè)變量的值，突出函數(shù)的本質(zhì)屬性，進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)的意義，初步學(xué)習(xí)通過函數(shù)圖象分析函數(shù)的變化規(guī)律和變化趨勢的方法，體會(huì)圖象的直觀性。

2. 合作交流，探究新知

正方形的邊長x，正方形的面積S，面積隨邊長的變化而變化，寫出S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并畫出這個(gè)函數(shù)的圖象。

問題1：函數(shù)的表達(dá)式是什么？自變量的范圍是什么？

追問1：怎樣獲得組成函數(shù)圖象的點(diǎn)？

追問2：如何確定滿足函數(shù)關(guān)系的點(diǎn)的坐標(biāo)？

追問3：該函數(shù)圖象的點(diǎn)有多少個(gè)？為什么？

追問4：不畫圖之前，你能描述該函數(shù)的圖象大概是什么形狀的嗎？

追問5：該函數(shù)圖象的起始點(diǎn)是哪里？

師生共同總結(jié)：圖象上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，我們只能畫出自變量有意義的范圍內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)，同時(shí)想象出其他點(diǎn)的大致位置。

【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)關(guān)系式的特征，通過分析、判斷、想象等思維活動(dòng)，增加學(xué)生“由數(shù)想形”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。教師板書，借助表格來整理數(shù)據(jù)。具體如下表所示。

[x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … S 0.25 1 2.25 4 6.25 9 … ]

教師借助投影展示學(xué)生所畫該函數(shù)的圖象，部分學(xué)生畫的圖象如圖2所示，點(diǎn)與點(diǎn)之間都是用線段連接的。

師：圖2是[S=x2x>0]的圖象嗎？

學(xué)生小組討論，教師巡視并指導(dǎo)。

生1：不是，圖象應(yīng)該是無限延伸的。

生2：如果沒有描點(diǎn)B，直接連接點(diǎn)A與點(diǎn)C，如圖3所示，當(dāng)自變量x取2時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值有兩個(gè)，這與S是x的函數(shù)矛盾。

生3：圖2只是不夠精確，多取一些點(diǎn)，用曲線連接比用折線連接更接近。

教師用幾何畫板軟件展示，取大量[S=x2x>0]函數(shù)圖象上的點(diǎn)，讓學(xué)生觀察這些點(diǎn)的趨勢，得出該函數(shù)的圖象是一條光滑的曲線，如圖4所示。

師生共同總結(jié)：（1）點(diǎn)[0，0]取不到，要畫成空心;（2）取的點(diǎn)越多，圖象越精確;（3）x可以繼續(xù)取3.5，4，4.5，…所以該函數(shù)的圖象最后面要多畫一些出來。

師：畫函數(shù)圖象的一般步驟是什么？

生：列表、描點(diǎn)、連線。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過實(shí)際操作，經(jīng)過層層設(shè)問，體會(huì)到畫函數(shù)圖象的一般步驟，這些經(jīng)驗(yàn)為后續(xù)學(xué)習(xí)新的函數(shù)起到積極的遷移作用。同時(shí)，通過觀察[S=x2x>0]的函數(shù)圖象，可以直觀地看出正方形的面積S隨著正方形的邊長x的增大而增大，從而感受到函數(shù)圖象的直觀性。

3. 類比學(xué)習(xí)，鞏固新知

在下列式子中，對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一的對應(yīng)值，即y是x的函數(shù)。畫出這些函數(shù)的圖象。

（1）[y=x+1;]

（2）[y=6x x>0。]

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生獨(dú)立操作，初步學(xué)習(xí)畫函數(shù)圖象，進(jìn)一步內(nèi)化畫圖步驟。通過觀察這些圖象，初步認(rèn)識有的函數(shù)的圖象是一條直線，有的函數(shù)的圖象是一條光滑的曲線，有的函數(shù)的圖象是不規(guī)則的。

問題1：為什么函數(shù)[y=x+1]的圖象是一條直線？

生4：從表達(dá)式可以看出，x每增加1，y都會(huì)增加1。這里變量y關(guān)于變量x的函數(shù)值是均勻變化的。

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生觀察不同函數(shù)的圖象，養(yǎng)成聯(lián)想、類比、反思的習(xí)慣，從“形”和“數(shù)”兩個(gè)方面體會(huì)均勻變化，為后面學(xué)習(xí)一次函數(shù)的圖象為什么是直線做鋪墊。

4. 綜合應(yīng)用，深化理解

運(yùn)用所學(xué)知識，談?wù)勅绾窝芯亢瘮?shù)[y=x+1x。]

【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生的思考、討論、發(fā)言，加深學(xué)生對函數(shù)研究經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)化，發(fā)展學(xué)生的遷移能力。

5. 回顧總結(jié)，展望新知

問題1：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)勀銓瘮?shù)圖象的認(rèn)識。

問題2：在今后的學(xué)習(xí)中，你還想研究什么？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在回顧課堂經(jīng)歷的基礎(chǔ)上，從知識、方法等角度總結(jié)自己的收獲，并通過相互分享、啟發(fā)，體會(huì)研究函數(shù)的一般方法，感悟知識的整體性。

五、教學(xué)反思

1. 循序漸進(jìn)，關(guān)注知識生長

數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，就是將要學(xué)習(xí)的新知識看作是舊知識的提高或延伸，在教學(xué)中需要將已有的知識經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)能力融會(huì)貫通。本節(jié)課回顧與解讀“氣溫變化圖”，通過對“氣溫圖上的（關(guān)鍵）點(diǎn)的意義”和“氣溫圖是如何作出的”兩個(gè)方面的深入剖析，讓學(xué)生進(jìn)一步理解圖象的優(yōu)越性，即直觀且包含大量信息。在讀圖的過程中，讓學(xué)生感受到每個(gè)時(shí)刻都有唯一的氣溫與它對應(yīng)，揭示函數(shù)本質(zhì)，加深對函數(shù)概念的認(rèn)識，借助圖象的生成過程，完成了對新知識（函數(shù)圖象的畫法）的建構(gòu)，找到畫函數(shù)圖象的重要生長點(diǎn)。

2. 抽絲剝繭，體會(huì)逼近思想

數(shù)學(xué)課堂承載教學(xué)體驗(yàn)的任務(wù)。數(shù)學(xué)體驗(yàn)源于實(shí)踐操作，學(xué)生可以在體驗(yàn)中獲得數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)表達(dá)。畫函數(shù)圖象是函數(shù)教學(xué)中十分重要的體驗(yàn)，列表、描點(diǎn)、連線操作的生成過程，教師先讓學(xué)生列舉幾個(gè)時(shí)刻，通過追問“一天就這么幾個(gè)時(shí)刻嗎？”，再提供幾組數(shù)據(jù)，充實(shí)表格中的數(shù)據(jù)，描出所對應(yīng)的點(diǎn)，再追問“一天有多少時(shí)刻？”“應(yīng)該有多少對對應(yīng)點(diǎn)？”“我們能描完嗎？”“無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成了什么？”，通過不斷追問和點(diǎn)的“加密”過程，讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)實(shí)在在的思考，體會(huì)這些點(diǎn)結(jié)合起來“擠”在一起形成了函數(shù)的圖象，學(xué)生一定能感受到“連（光滑）曲線”的必要性，體會(huì)數(shù)學(xué)結(jié)合的思想。

3. 一以貫之，拓展思維寬度

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)思維的深度是衡量數(shù)學(xué)有效性的標(biāo)準(zhǔn)，思維活動(dòng)的關(guān)鍵是要把握思維的方向性和層次性。通過層層設(shè)問、追問，在互動(dòng)中形成環(huán)環(huán)緊扣的思維過程，解決了為什么要研究函數(shù)圖象，能不能繪制函數(shù)圖象，如何繪制函數(shù)圖象等問題。在新知識的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對一次函數(shù)的圖象為什么是直線，并沒有停留在表面和感性的認(rèn)識，而是通過觀察表達(dá)式、表格得出“從自變量每增加一個(gè)單位，函數(shù)值的變化量是固定值”，既讓學(xué)生理解一次函數(shù)表達(dá)式的數(shù)字特征，讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)與圖象之間有一種必然聯(lián)系，內(nèi)化了數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識，實(shí)現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)了學(xué)生思考的習(xí)慣，為學(xué)生繼續(xù)研究新的函數(shù)積累了數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，拓展了學(xué)生的思維寬度。

六、結(jié)束語

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)是螺旋上升的，在課堂教學(xué)中需要激發(fā)學(xué)生對知識的渴求，讓知識的魅力征服學(xué)生，從知識生成、發(fā)展的視角導(dǎo)入新知識，突破原有認(rèn)知的障礙，引發(fā)學(xué)生的深度思考，體會(huì)探究數(shù)學(xué)問題的樂趣，讓學(xué)生的思維觸角不斷生長，幫助學(xué)生建立良好的思維模式，達(dá)到提升學(xué)生思維層次的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]卜以樓. 生長數(shù)學(xué)：卜以樓初中數(shù)學(xué)教學(xué)主張[M]. 西安：陜西師范大學(xué)出版總社，2018.