基于熱對流模型的爐溫曲線優化模型

王 磊 錢微微

（浙江中醫藥大學 浙江·杭州 310053）

0 引言

在集成電路板等電子產品生產中，需要將安裝有各種電子元件的印刷電路板放置在回焊爐中，通過加熱，將電子元件自動焊接到電路板上。在這個生產過程中，回焊爐的各部分工藝要求，對產品質量至關重要。本文基于熱對流原理，建立了回焊爐溫度場模型，用于研究爐溫曲線的變化及工藝參數的研究。

1 基于熱對流模型的建立

電路板經回焊爐加熱時，以錫膏為例，當空氣溫度大于電路板的溫度時，電路板會吸收空氣的熱量，當空氣溫度小于電路板的溫度時，電路板會釋放自身的熱量到空氣中。溫度高于熔點時錫膏融化，低于熔點時錫膏凝固，以此對電子元器件進行焊接。回焊爐從功能上可分成預熱區、恒溫區、回流區、冷卻區 4個大溫區，每個溫度區的溫度恒定設為，內部有N個小溫區，溫度記為，電路板在傳送帶的作用下以勻速v進入爐內進行加熱焊接。記溫區內空氣的溫度為，被加熱的電路板的表面溫度為T，印刷電路板的面積為A，電路板被加熱的時間為t，電路板的密度為P，電路板在一定壓強下的比熱容為，電路板的體積為V。

假設每個小溫區中的熱空氣和電路板之間的換熱系數h在整個溫區是均勻的，并且近似為一個已知的常數，則空氣與電路板之間的熱對流傳遞的熱量即為牛頓冷卻定律，表達式如下：

對公式(1)兩側進行積分，在回焊爐中加工的過程中，某個時間段內的最低溫度記為T1，最高溫度記為T2。計算可得：

2 空氣溫度分布

回焊爐的爐前，爐后區域以及小溫區之間的間隙不做特殊的溫度控制，故其溫度受相鄰溫區的溫度影響。記相鄰的小溫區之間的間隙為，將回焊爐中某位置的空氣溫度記為，焊接膏熔點為，焊接膏為固體時，空氣對其的值，記為，當溫度高于時，記為；而當溫度再回到時，由于固體物質不同于之前的固體，故此處又存在。

在此設定每個小溫區之間的間隙熱傳遞方式為一維穩態熱傳導，由于該間隙無內熱源，由此可得如下方程：

由于每個小溫區的表面為平壁，將邊界條件代入式（5）中，由此可得存在溫差的相鄰小溫區之間的溫度分布如下表達式：

因為電路板在進入爐前區域一段距離后才發生溫度改變，故認為爐前區域的前段部分的溫度為室溫。記表示爐前區域在室溫部分的長度，表示實際升溫情況時首個小溫區的起始位置與到達設定溫度的位置之間的距離，爐前區域的長度記為。記回焊爐中某個位置到爐前區域的起始點的直線距離為，由此得出，在爐前區域以及首個小溫區的起始位置到達設定溫度的位置的這段區域的空氣溫度表達式為：

3 參數識別

為驗證模型的科學和有效性，本文選取2020年全國大學生數學建模大賽A題的初始條件進行參數識別優化。回焊爐中共計11個小溫區及爐前區域和爐后區域，小溫區長度均為30.5cm，間隙均為5cm，爐前區域和爐后區域長度均為25cm，生產車間的溫度保持在25℃。各溫區設定的溫度分別為175℃(小溫區15)、195℃(小溫區6)、235℃(小溫區 7)、255℃(小溫區 89)及 25℃(小溫區 1011)；傳送帶的過爐速度為70cm/min。

表1：各階段各參數的值

為了進一步體現該模型的有效性，將模型所計算的模型結果與實際值進行比較，可得到如下理論值與實際值的對比圖（見圖 1）。

由圖1可知，實際溫度與理論溫度的偏差不超過1.5%，可以認為該結果具有一定的科學性。

4 結語

本文基于熱對流機理建立了關于爐溫曲線的一般化模型，確立了各個參數之間的關系，并通過實際問題用matlab軟件進行相關參數的遍歷求解，結果顯示，理論溫度與實際溫度有較高的吻合度，該模型能夠在之后實際生產中，具有一定的指導作用。

圖1：實際爐溫和理論爐溫曲線對比示意圖