基于閉式解算法的粘彈性振子系統阻尼效應分析

孫 寶，張文超，李占龍，秦 園

(1.太原科技大學 應用科學學院， 太原 030024； 2.太原科技大學 機械工程學院，太原 030024)

由于大型工程車輛工作環境的特殊性，使其在作業時會產生嚴重的振動和噪聲，對周邊環境造成很多負面的影響。研究發現粘彈性阻尼結構能夠很好的解決這一問題，且制造和維修費用較低，所以被廣泛的應用到工程車輛的振動控制中。在工程車輛的建模中，主要是通過結構的應力、應變和位移的三變量關系構造系統的基本關系，由于整數階微分模型的局限性，很多情況下無法準確的表達出粘彈性材料的本構關系及其力學特性，所以分數階微分已經被廣泛應用于粘彈性材料及其緩沖結構動態阻尼分析等方面的建模中[1-2]。

近年來，求解分數階微分方程的方法層出不窮，但是由于求解分數階微分方程的解析解難度較大，且一般解的形式都是帶有特殊函數的(例如多變量的Mittag-Leffler函數、Green函數等)，這些特殊函數計算起來比較困難，甚至無法得到最終的確切值，所以對分數階微分方程數值解的研究就尤為重要[3-5]。常見的數值方法有Adomain分解法[6]，變分迭代法[7]，同倫分析法[8]等。此外，任建婭等[9]將Haar小波[10]與算子矩陣思想結合在一起，利用小波矩陣獨有的性質求解分數階微分方程，使得計算更加簡便，且精度較高。B.K.Singh等[11]在同倫攝動法的基礎上結合Laplace變換提出了一種新的同倫攝動變換法(簡稱HPTM)，該數值方法所求得的級數形式的解收斂速度快，常用來求解各種工程中的物理模型。Wang Z[12]提出了一種用廣義Adams-Bashforth-Moulton方法與線性插值方法相結合的方法來求解一類非線性分數階微分方程，并驗證了其數值格式是有效的。 M.Khan等[13]在同倫分析法的基礎上結合Laplace變換思想形成了一種新的同倫分析變換法，該方法在選取合適的參數后，能夠用較少的迭代次數求得方程的數值解且精度較高，但是在實際的應用中不易實現。Golbabai A等[14]提出了一種利用Bernoulli多項式的性質求解的方法，但求解過程較為復雜且計算量較大。

本文建立了一種可用于構建大型工程車輛阻尼緩沖結構的Maxwell分數粘彈性振子系統(以下簡稱MFVEO)。針對MFVEO系統進行建模，根據粘彈性材料的分數階本構關系及動力學關系，建立分數階數學模型。采用閉式解算法求解零初值下系統模型的數值解，并對該粘彈性系統的阻尼效應進行分析。

1 MFVEO模型的建立及求解

1.1 預備知識

為了方便對分數階微分方程的研究，不同的研究者在研究過程中給分數階微分算子賦予了不同的定義。常見的有Riemann-Liouville、Caputo和Grünwald-Letnikov三種定義，由于Grünwald-Letnikov定義下的微分算子不含積分形式，可寫為離散形式，所以在此用到的算子均為Grünwald-Letnikov定義下的分數階微分算子，定義如下[15]：

定義1：函數f(t)在Grünwald-Letnikov定義下的分數階微分為

(1)

分數階微分是對整數階的一個擴充，所以與整數階微分算子一樣，分數階微分算子也具有以下性質：

(2)

(3)

Laplace變換是分數階微分方程中最常用的積分變換，對分數階常微分方程的求解具有重要的作用，下面對其相關定義進行一些簡單的介紹。

定義2：設函數f(t)在[0,+∞]上有定義，對任意一個實數(或復數)s，如果有

(4)

則稱F(s)為函數f(t)的Laplace變換，F(s)和f(t)分別為像函數和原函數。

1.2 MFVEO模型的建立

在MFVEO系統中，該阻尼系統是由理想胡克彈性元k和分數階粘彈性元〈c,α,β〉兩部分組合構成的，如圖1所示，其中α和β為材料系數，0<α<1,0<β<1。

圖1 MFVEO模型結構示意圖

設其本構關系為

(5)

給該阻尼系統外接一個質量為m的物體(圖2)，當該物體受到一個大小為f的外力時，該阻尼系統發生變形時提供的阻尼力為fd，設S為物體的受力面積，a為該阻尼系統的長度，x為物體受到外力作用時發生的位移，與所受外力方向相反。

圖2 MFVEO模型受力分析圖

根據物理中的動力學方程及運動學關系，我們可以得到以下關系：

(6)

(7)

(8)

將式(6)、式(7)和式(8)代入式(5)，得：

(9)

根據G-L分數階微分的性質，上式可寫為：

(10)

將式(10)整理后得到MFVEO系統的分數階微分方程為

(11)

將式(11)進一步簡化為

(12)

1.3 MFVEO模型的求解

在零初值的條件下，對方程式(12)的第一個式子兩邊同時作用于Laplace變換，則得到系統的分數階傳遞函數為

(13)

根據式(1)中Grünwald-Letnikov的定義，其離散形式可寫為

(14)

其中

(15)

將式(14)代入式(12)的第一個式子中，得：

(16)

將含xt的項提出，整理得：

(17)

所以，由式(17)可知式(12)在零初值條件下的閉式解為

(18)

該方法主要用到了離散的G-L分數階算子的定義，相對于其他的數值解方法來說，計算量較小，易得出分數階微分方程的數值解，可用于求解零初值下MFVEO系統的數值解。下面討論分析不同激勵下參數變化對MFVEO阻尼效應的影響。

2 MFVEO系統阻尼效應分析

2.1 正弦激勵下系統的阻尼效應分析

現假設系統所受外界激勵為正弦激勵f=sinωt，其中ω為外力激勵頻率。取m=80，令系數a1=0.1,a2=0.5,b1=0.012 5,b2=0.001 25,ω=2π，分析MFVEO系統參數改變對系統阻尼效應所帶來的影響。

1) 階數α對系統阻尼效應的影響。固定階數β的值為0.1且方程系數不變時，分析階數α取值變化對系統阻尼效應的影響。為了能夠更加方便簡潔的觀察響應曲線的變化，現將其分為α∈(0,0.5)和α∈(0.5,1)兩部分來進行討論，結果如圖3所示。

圖3 階數α取不同值時粘彈性振子隨時間變化曲線

從圖3中可知當β=0.1且方程系數都不發生變化時，當α取值為0.1時，系統響應曲線的波動最為強烈。隨著分數階微分的階數值α的不斷增大，該粘彈性振子振動的幅值不斷減小，系統的阻尼效應不斷增強。

2) 階數β對系統阻尼效應的影響。固定階數α的值為0.3和0.8且方程系數不變時，分析階數β變化對系統阻尼效應的影響，結果如圖4所示。

圖4 階數β取不同值時粘彈性振子隨時間變化曲線

由圖4可知：無論α取何值，隨著β取值的不斷增大，該粘彈性振子振動的幅值不斷增大，系統的阻尼效應越來越弱。

3) 外力激勵頻率ω對系統阻尼效應的影響。固定階數α=0.4，β=0.1，在其他系數不變時，討論當系統所受外力激勵的頻率ω取2π，4π和6π時，對系統阻尼效應的影響，結果如圖5所示。

圖5 頻率ω=2π,4π,6π時粘彈性振子隨時間變化曲線

由圖5可知：隨著外力激勵頻率ω的不斷增大，該粘彈性振子的幅值不斷減小，系統的阻尼效應不斷增大。對比圖3和圖4，當固定方程的系數不變時，系統的阻尼效應受階數α的影響較大，受階數β的影響較小。

2.2 單位沖激激勵下系統的阻尼效應分析

當外界激勵由正弦激勵變為單位沖激激勵后，取m=80，令系數為a1=0.1,a2=0.5,b1=0.0125,b2=0.001 25，分析MFVEO系統的階數發生改變時，對系統阻尼效應所帶來的影響。

1) 階數α對系統阻尼效應的影響。固定階數β=0.1且方程其他系數不變，分析單位沖激激勵下階數α取值變化對系統阻尼效應的影響。結果如圖6所示。

圖6 階數α取不同值時粘彈性振子隨時間變化曲線

由圖6可知：取β=0.1且方程系數都不發生變化，當階數α∈(0,0.5)時，隨著α取值的不斷增大，該粘彈性振子振幅衰減的速度越來越快，系統的阻尼效應不斷增強；當階數α∈(0.5,1)時，隨著α取值的不斷增大，該粘彈性振子振幅衰減的速度越來越慢，系統的阻尼效應不斷減弱。由于粘彈性材料的特性，當α的取值越小，越趨于0時，粘彈性振子的波動曲線越接近于彈簧的振動，即材料的力學特性更趨向于彈性；當α的取值越大，越趨于1時，粘彈性振子的波動曲線的波動變化幅度越小，即材料的力學性能更趨向于粘性。

2) 階數β對系統阻尼效應的影響。固定階數α的值為0.3和0.8且方程系數不變時，分析單位沖激激勵下，階數β變化對系統阻尼效應的影響，結果如圖7所示。

由圖7可知：固定階數α及方程系數不變時，隨著階數β取值的不斷增大，該粘彈性振子振幅衰減的速度越來越快，系統的阻尼效應不斷增強。

圖7 階數β取不同值時粘彈性振子隨時間變化曲線

3 結論

1) 在正弦函數激勵下，MFVEO系統的阻尼效應與階數α的變化與呈正相關，與階數β的變化呈負相關；且該系統的阻尼效應對階數α的變化較敏感，對階數β的變化不敏感；隨著外力頻率ω的不斷增大，系統的阻尼效應不斷增強。

2) 在單位沖激激勵下，當階數α∈(0,0.5)時，隨著α取值的不斷增大，系統的阻尼效應不斷增強；當階數α∈(0.5,1) 時，隨著α取值的不斷增大，系統的阻尼效應不斷減弱。隨著階數β取值的不斷增大，系統的阻尼效應不斷增強。

3) 該閉式解算法可用于求解零初值下的分數階微分方程的數值解。而在實際工程中，系統的初值不一定都為0，所以如何求解初值不為0的分數階微分方程的解，需進一步探討和研究。