壽命指數分布類型裝備可靠性指標估計方法的應用分析

魏國東，俞 翔

(1.海軍工程大學 動力工程學院， 武漢 430033； 2.陸軍軍事交通學院鎮江校區，江蘇 鎮江 212003；3.海軍工程大學 艦船與海洋學院， 武漢 430033)

檢驗裝備的實際平均故障間隔時間(Mean Time Between Failures，MTBF)是否滿足理論值的下限要求，是裝備可靠性評價工作中至關重要的活動之一。在種類繁多的艦船裝備中，艦船電子元器件裝備的維修工作特點比較鮮明，該類部件發生故障一般采用直接更換備件的方式進行維修，如電阻、電容、集成電路等部件。維修工作具有調整時間短、更換迅速等特點，由于受保障性影響因素影響較小，這類裝備的故障間隔時間統計較為精確，且近似等價于裝備的壽命，因此，通過估計裝備的壽命分布參數，便可對該類裝備的MTBF指標進行評價分析[1]。常見的裝備壽命分布類型有：指數分布、正態分布、威布爾分布等。通過概率模型及統計模型法可以基本確定裝備壽命分布類型，在此基礎上，運用壽命分布的擬合檢驗方法可以確定部件的壽命分布類型。

一般，裝備的壽命分布類型可通過大量的工程試驗確定，這種方法比較可靠、準確。實際中，由于現代艦船裝備制造精密、造價昂貴，試驗所需時間較長、費用較高，造成收集到的試驗數據樣本量較小。但是，使用部隊和裝備維修保障單位累積了大量的故障匯編、歷史維修記錄。因此通過分析裝備使用數據信息來確定部件的壽命分布類型是一種很好的嘗試[2]。在實際操作過程中，可以采取觀測裝備壽命取代做專門壽命試驗觀測壽命的方法，在艦船裝備使用階段，通過對艦船裝備保障維修數據進行收集，獲得故障部件的失效前累積工作時間。

1 壽命分布參數估計方法

當裝備的壽命分布類型確定后，需要對分布參數進行估計，極大似然估計和Bayes估計是進行壽命分布參數估計最常用的兩種方法[3-6]。極大似然估計通過樣本確定參數的似然函數，并將該似然函數用于度量參數出現的可能性，一般假設使似然函數取得最大值的參數值即為該參數的估計值。極大似然估計的優點是具有較好的大樣本性質并符合人們的直觀經驗。主要缺點是在樣本容量較小的情況下，由于樣本中包含的信息較少，使得所估參數值的準確性得不到保障。

Bayes 統計方法與經典統計方法相比最大區別在于它利用了先驗分布。Bayes估計認為任何一個未知量都可以作為一個隨機變量，可以通過先驗分布進行描述。將樣本結合先驗分布，根據Bayes定理獲得后驗分布，并基于后驗分布對未知量進行估計。Bayes估計由于充分利用了歷史信息，擴大了信息源，并且基于后驗分布比較容易實現點估計和區間估計。主要缺點是先驗分布的選取較困難。在信息量較少時，多會采用專家經驗或者工程經驗給出先驗分布，分布的主觀性太強，容易導致后驗分布估計效果較差。

到底選用何種方法進行壽命分布類型部件的參數估計并用于裝備MTBF參數的評價，有何適用范圍，則需要結合艦船裝備維修保障數據實際情況詳細分析。本文在已知壽命分布類型的情況下，比較了采用兩種方法對艦船電子元器件裝備壽命分布參數進行估計的結果，并分析了艦船電子元器件裝備的MTBF參數值。

2 指數分布型部件的參數估計

艦船電子元器件類裝備的壽命一般服從指數分布。指數型部件的壽命分布擬合檢驗方法主要有χ2擬合檢驗及F擬合檢驗方法[7-8]。通過收集某電子元器件維修保障數據，確定該電子元器件的壽命服從指數分布。

指數分布壽命T的失效分布函數一般表示為：

F(t)=1-e-λt,λ>0,t≥0

(1)

可以稱T服從參數為λ的指數分布，其失效密度函數為：

f(t)=λe-λt,λ>0,t>0

(2)

下面討論指數分布型部件的極大似然與Bayes參數估計的使用情況。

2.1 極大似然估計

當對n個裝備進行試驗，直至全部失效，假設裝備每次的失效前時間為t1,t2,…,tn，則失效時間可用于表示這個裝備的壽命，如果假設裝備的壽命是獨立且同分布的，若數據無刪失，則指數分布失效密度函數的似然函數表達式可寫為：

(3)

數學上，為了更好地處理逼近于零的問題，可利用自然對數轉換為負對數似然函數[9]，有：

(4)

即：

(5)

若想L取最小值，令：

(6)

得：

(7)

則：

(8)

因此，指數分布參數的極大似然估計可以用平均失效前時間的倒數表示。

2.2 Bayes估計

Bayes估計一般可按如下步驟進行：

步驟1當隨機變量參數θ取某個給定值時，記總體的條件概率函數為p(x|θ)。

步驟2通過參數θ的先驗信息確定先驗分布π(θ)。

步驟3假設X=(x1,x2,…,xn)是從先驗分布π(θ)產生的θ條件下的裝備失效前時間的一個樣本，則樣本X=(x1,x2,…,xn)的聯合條件概率函數為：

(9)

步驟4由于θ是通過先驗分布π(θ)產生的，可以通過考慮θ的其他值對π(θ)綜合先驗信息，從而得到樣本X和參數θ的聯合分布為：

h(X,θ)=p(X|θ)π(θ)

(10)

步驟5在樣本觀測值X=(x1,x2,…,xn)的條件下，依據h(X,θ)對未知參數θ進行推斷，將h(X,θ)分解為：

h(X,θ)=π(θ|X)m(X)

(11)

式(11)中，m(X)是X的邊際概率函數；

(12)

式(12)與θ無關，因此僅用條件分布π(θ|X)就可以對θ進行推斷，計算公式為：

(13)

式(13)稱為θ的后驗分布。

步驟6在平方損失函數下，θ的Bayes估計即為后驗分布π(θ|X)均值[10]。

對于指數分布型裝備，其參數λ的共軛先驗分布為gamma 分布Ga(a,b)[11]，參數λ的先驗分布的核為：

π(λ)∝λa-1exp(-bλ)

(14)

式(14)中，a、b為超參數。

對于指數型部件來說，理論失效率λ0滿足：

(15)

當先驗分布確定參數λ后，其數學期望E與MTBF關系為：

(16)

從而有：

a=b/MTBF

(17)

為了獲得超參數(a,b)的關系式，可以將工作失效率λ的熵最大化考慮。λ的熵為：

(18)

當a=1時，λ的熵H(λ)可以得到最大值。此時，將a的值a0=1代入式(17)，得到b的值b0=MTBF。

通過確定超參數a、b的值，便可以得到參數λ先驗分布的核為：

π(λ)∝λa0-1exp(-b0λ)

(19)

一般情況下，在裝備使用過程中，可以收集到n個部件一段時間τ內的故障時刻ti(i=1,2,…,r)，因此可以將收集到的故障數據看為定時截尾數據，即：

t1≤t2≤t3≤…≤tr≤τ(r≤n)

(20)

聯合條件概率函數為：

(21)

h(t,λ)=P(t|λ)π(λ)∝λr+a0-1exp(-λTa-λb0)

(22)

根據Bayes估計后驗分布的計算公式，參數λ后驗分布的核可表示為：

π(λ|t)∝λr+a0-1exp(-λTa-λb0)

(23)

參數λ的后驗均值滿足：

(24)

式(24)中，c是和λ無關的常數。通過式(24)便可以得到參數λ的Bayes估計。

3 算例分析

為驗證以上兩種方法在指數分布型部件參數估計中的實際使用情況，通過以下算例進行研究。

通過收集某電子元器件維修保障數據，確定該電子元器件的壽命服從指數分布。其理論失效率λ0=180×10-6h，理論MTBF=5 000 h，任務時間T=1 000 h。現有10個相同元器件同時工作，至任務結束，有1個部件失效，失效時刻t為57 h，部件工作時間如表1所示。

表1 部件工作時間

通過前面的計算方法，可以得到該電子元器件參數λ的極大似然估計和Bayes估計值分別為110.5×10-6和 142.3×10-6。兩種參數估計方法計算得到的估計值和標準值對應的裝備失效前時間的失效概率密度函數曲線如圖1所示。

圖1 兩種估計方法在指數分布中計算得到的失效概率密度函數曲線

由圖1可以發現，在只有1個失效數據的情況下，Bayes估計的結果值與標準值更為接近，也可以說此時Bayes估計具有更好的適用性。

通過增加任務時間來增加失效數據，觀察兩種方法的估計值與標準值的偏差，如表2所示。

表2 兩種估計方法計算結果與標準值

可以發現，在實際MTBF與理論MTBF較接近的情況下，隨著任務時間的增加，極大似然估計和Bayes估計計算的結果與標準參數值都比較接近，但Bayes估計始終比極大似然估計得到的參數值要更加接近于標準參數值。當任務時間增加至7 000 h后，此時該電子元器件的失效數據個數為7，極大似然估計和Bayes估計的計算結果相差很小，且都很接近于標準參數值。通過對多個同類電子元器件采用同樣方法并求均值發現： MTBF實際值與標準值比值約等于0.7時，為兩種方法的適用臨界點，即可通過此臨界點判斷哪種方法更適用。

4 結論

在對指數分布型部件進行參數估計時，Bayes估計具有更高的準確性、更強的適用性。由于Bayes估計的計算依賴于先驗信息的MTBF值，因此裝備說明書提供的MTBF理論值的準確程度對Bayes估計結果的影響很大，通過大量計算發現，當MTBF實際值與標準值比值小于0.7左右時，就會出現極大似然估計優于Bayes估計計算結果的情況。那么，在實際計算過程中，當出現極大似然估計計算結果優于Bayes估計結果時，也可以間接說明裝備實際MTBF值與理論MTBF值存在較大偏差，可以用于評價裝備的實際MTBF是否符合指標要求。