例說分式方程的驗(yàn)根問題

李海波

解分式方程是人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容。教材著重強(qiáng)調(diào)了解分式方程的方法和步驟，通過具體例子展現(xiàn)了解分式方程可能出現(xiàn)增根的現(xiàn)象，但是考慮到學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和接受能力，教科書沒有對(duì)解分式方程為什么要驗(yàn)根進(jìn)行深入探討。

解分式方程為什么要驗(yàn)根呢？厘清等式的性質(zhì)和方程同解原理是關(guān)鍵。解分式方程第一步是利用等式的性質(zhì)在方程兩邊同時(shí)乘最簡公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，雖然最后方程的解可能會(huì)使最簡公分母為零，即等式兩邊同時(shí)乘零，但這是符合等式的基本性質(zhì)的，這種變形是正確的。為什么會(huì)產(chǎn)生增根呢？很多學(xué)生的困惑就在這里，殊不知方程兩邊同時(shí)乘零，雖然滿足等式的性質(zhì)，但會(huì)擴(kuò)大方程未知數(shù)的允許值范圍，違背了方程的同解原理，這種情況下就有可能產(chǎn)生增根。

解集相同的兩個(gè)方程叫作同解方程。解方程的過程其實(shí)就是不斷用新方程替代舊方程，直到新方程是一個(gè)或幾個(gè)形如x=a的方程。在這個(gè)過程中，下一步和上一步變形必須是同解變形，才能保證新方程和舊方程是同解方程，這樣就不需要對(duì)解進(jìn)行檢驗(yàn)。

常見的同解變形，也可以說是同解原理有：

（1）方程兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得的方程與原方程同解;

（2）方程兩邊都乘（或除以）不等于零的同一個(gè)數(shù)，所得方程與原方程是同解方程;

（3）如果方程的一邊為0，另一邊可以分解為n個(gè)因式的乘積，那么使各個(gè)因式分別等于零，而得出的n個(gè)方程與原方程是同解方程。

解分式方程時(shí)，如果方程兩邊同時(shí)乘同一個(gè)整式（最簡公分母），而不是一個(gè)非零常數(shù)，那么這樣的變形就不是同解變形，就不能保證新方程與原方程同解，此時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生增根，就需要檢驗(yàn)，找出不是方程的根并舍去。

下面，筆者通過舉例進(jìn)行同解性分析，說明分式方程增根產(chǎn)生的原因。

上述方程兩邊同時(shí)乘x2-4，得方程①，此時(shí)x≠±2，x2-4≠0，方程①與原方程同解;由同解原理（1）可知，方程②和方程③是同解方程;由同解原理（2）可知，方程③和方程④是同解方程。增根只可能發(fā)生在由①到②的變形，原因是約去分母后，方程未知數(shù)允許值的范圍擴(kuò)大了，也就是方程①未知數(shù)的允許值集是x≠±2的全體實(shí)數(shù)，而方程②未知數(shù)的允許值集是全體實(shí)數(shù)。

總體說來，將整式方程的解代入所乘的最簡公分母，若最簡公分母為0，則不滿足方程同解原理，整式方程的解為增根;若最簡公分母不為0，則滿足方程同解原理，整式方程的解為原分式方程的解。解分式方程為什么要驗(yàn)根，需要根據(jù)方程的同解原理進(jìn)行解釋，而不是等式的基本性質(zhì)。

（作者單位：廣水市李店初級(jí)中學(xué)）