單位思想視角下小學數學內容本質與結構

劉加霞 孫海燕

劉加霞

北京教育學院初等教育學院院長，教育心理學博士，教授，教育部國培專家庫成員;提出“把握數學本質是一切教學法的根”“實證研究學生是有效教學的根本”“培訓實質是改變與創新”等觀點，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《課程·教材·教法》《中國教育學刊》《中小學管理》《人民教育》《小學數學教師》《小學教學》等期刊發表論文百余篇，著作有《小學數學有效教學》《小學數學有效學習評價》《小學數學課堂教學設計》等。

單位貫穿小學數學學習內容的始終，計數、計算、測量以及各類數量關系等內容中都蘊含著單位思想，它是小學數學知識體系的“骨架”。以此為抓手有利于教師把握數學本質與整體結構，幫助學生整體化、結構化地學習。

一、單位及單位思想的內涵與操作方式

單位不只是常見的計數、計量單位，更是一種思想，即單位思想或單位化思想。

通常，人們為了規范、統一地計數、度量、比較某一類或幾類對象，需要約定統一的“標準”，以便于表達、交流與運用，這個“標準”被稱之為單位。例如，常見的計數單位：一、十、百、千、十分之一等;常見的計量單位：米、平方米、千克等。需要指出的是，這些單位的前面應該有“1”這個數量，但習慣上，人們常將其省略（度量的本質是“比”，是乘法結構，乘法運算中“1”是單位元，可以省略），比如，我們說長度單位是米、厘米等，嚴格地說，應該是長度單位是1米、1厘米等，米、厘米只是長度單位的名稱。

數學上也把“單位”定義為不是“1”但被看成是“1”的數或集合，這時的單位是人類通過抽象創造出來的，稱之為復合單位。例如，每行有5朵花，有這樣的6行，其中“5朵”就是復合單位。又如，小明有3個蘋果，小紅有6個蘋果，小紅的蘋果數量是小明的2倍，就是把“3個”作為單位。如果說小明與小紅的蘋果數量之比是3∶6，則“1個”是單位;如果說兩者之比是1∶2，則“3個”是單位。兩個數量比較的過程中，“單位”不同，但倍比關系不變，可能會導致學生難以真正理解比和分數的基本性質。復合單位與小學數學中的“單位1”本質相同但含義略有不同，“單位1”用來輔助學生思考并解決問題，而復合單位更注重的是學生頭腦中所操作的單位。

在比較或度量事物時，往往設定一個或多個標準量作為度量單元（單位或單位體系），有意識地定義單位并操作單位來量化研究對象，可使問題解決的思維簡化與結構化。定義與操作單位的過程稱之為“單位化”，它是產生新概念并運用概念解決問題的思維策略，故稱之為單位化思想或單位思想。

小學數學中單位化的對象從實物逐漸發展為自然數計數單位、群組、測量單位和分數與小數計數單位等。學生單位化思想的發展從簡單形象過渡到復雜抽象，無論其單位化的對象是什么，最終都能將其看作“1”，并對其進行計數、度量、比較等思維操作。

東北師范大學丁銳、美國科羅拉多大學丹佛分校Tzur將單位的“操作”方式總結為兩類：單位的組合與分解、單位協同。前者是學生發展加法思維的基本操作;后者是發展乘法思維的基本操作，指學生可以同時關注和操作不同的單位，具體包括：迭代（累加）、分割（平均分）、分配（搭配問題）、分割與迭代的混合（例如已知線段長15cm，畫出長度是6cm的線段）。前述這些單位的操作方式具體體現在數概念、測量、計算、倍比關系以及較復雜的問題解決中。因此，單位思想貫穿小學數學內容的始終。

二、計數單位統領下的數概念實質與結構

史寧中認為，就度量單位的形成過程而言，單位大體可分為兩類：一是通過抽象得到的，是思維的結果;二是借助工具得到的，是實踐的結果。前者指計數單位，后者指度量單位。計數、度量及加減法計算的本質就是對標準單位個數的操作。

1.用自然數刻畫離散量的多少

獲知事物數量多少的本源方法是“數數”，最為樸素的方法是“一個一個地數”。數手指、結繩與刻痕計數等都以1為單位，用1可以計數出離散量的個數。當數目較大時，這樣計數太麻煩，因此人們創造性地將10個“一”作為1個“十”，生成第二個計數單位，然后類似地產生無數個自然數計數單位，如百、千、萬等，這些計數單位及其個數累加就形成自然數，所以我們用自然數衡量離散量的多少。此過程中，十進制思想自然地產生，正如亞里士多德所言，“十進制不過是由人有十根手指這一生理解剖學的事實決定”，同樣，我們也可以創造二進制、五進制等。

自然數有最小的計數單位1，沒有最大的計數單位。為了簡便、清晰地記錄自然數，古印度人創造了現在通用的數碼：0～9，并用數碼所在“位置”表示數碼的計數單位，即位值制思想。在位值制體系下，0具有重要的“占位”作用。這種表示方法經由阿拉伯傳入歐洲，所以習慣上將這種計數體系稱為阿拉伯十進位值制記數法，嚴謹的名稱應該是印度—阿拉伯十進位值制記數法。我國漢語讀數是乘法分群記數法，讀數不同于寫數，約定了特殊讀數規則，例如中間、末尾有0時的讀數方法。無論是數的認識還是四則運算，怎么讀數不重要，理解每個“數字”的含義，或者說數的展開式表示，例如“223=2×100+2×10+3×1”，更為重要。

2.用分數（有限小數）刻畫連續量的大小

測量連續量，用1作單位“太大”，需將1進一步平均分，產生更小的單位。將1平均分成兩份，產生第一個分數單位1/2，同理也能產生其他更小的分數單位。因此，分數產生于度量。從這個角度看，我們應該用分數表示連續量的大小，但由于分數的符號表示，既不是十進制的，也不是位值制的，不利于和自然數建立聯系而形成統一結構，所以17世紀時人們創造出結構與自然數相通的小數，其中，0.1的計數單位是1/10、0.01的計數單位是1/100……分數、小數有最大計數單位，沒有最小計數單位。用自然數或有限小數表示連續量的大小，便于比較和計算。

3.數概念的本質與結構

小學階段，數字“1”具有“中心地位”。任何一個數都是計數單位及其個數的累加，這是數概念的本質。如下圖所示，在書寫自然數與小數時，確定了“1”所在的位置即個位后，向左依次是十位、百位等;緊靠個位右下角的是小數點，小數點的重要作用是“標識”出個位，向右依次是十分位、百分位等。以1為中心，自然數其他計數單位與小數的計數單位所在位置呈“對稱關系”，相鄰的計數單位之間都是十進制的。分數則不同，它的分母是幾就是幾進制，例如[78]可以看成八進制。每一個分數都有無數個計數單位，其相應個數也有無數種情況，所以分數的結構最為復雜。

數是對量的抽象。度量的發展史也是度量單位的發展史。人們為了更精準地刻畫現實中的連續量，如長度，需要將“米”平均分成十份、百份、千份等并進一步進行測量，于是產生了小數的計數單位。用有限小數能準確、方便地表達連續量的大小。

三、廣義度量中的單位及單位化思想

小學階段，廣義的度量主要包括連續量的度量和倍比（比例）關系。

1.連續量的單位及單位化思想

如果事物具有可以量度的屬性，并且有量度的需要時，就要先“定義單位”，度量對象如果沒有單位，就無法進行量度和比較。

長度單位的產生與發展過程（單位化過程）極其復雜且意義重大，有必要讓學生經歷“了解為什么要定義單位、怎樣定義單位、有哪些標準單位以及單位體系，體驗定義單位的過程，提煉其中蘊含的思想方法”的學習過程。正如史寧中所言，對“個數多少、距離長短”的感知和認識是量感建立的基礎，各類幾何量中對長度及長度單位的認識是本源。其他連續量，如面積、體積，則是在長度基礎上來定義單位的。

另一個需要經歷單位化的量是角度。任何一個角都可以用“單位角（小角）”去度量另一個角，但這樣不便于表達和交流，于是人們規定將圓過圓心、沿半徑平均分成360份，每份角的大小為1°。而時間、質量等量的學習，不需要經歷單位化的過程，只需要知道其單位及進率關系。

2.倍數（比例）關系中的單位化思想

計數與度量都是用單位的個數刻畫絕對數量的多少與大小。刻畫數量之間的相對大小也是度量，也須“定義單位”，進而產生兩個或兩個以上量之間的倍比關系。例如，現實中分數（百分數、倍、比）常用來表示部分與整體、一個量與另一個量之間的倍數（比例）關系，該表達過程中就有單位化思想。我們一般將“整體”或“另一個量”作為比較的標準，這個標準實際上也是單位，理解“誰”是比較的標準、確定被比較的量中含有多少個標準，這個過程就是單位化思想的體現。

現實生活中，基于倍數倍比關系產生了更復雜的數學問題，如“和倍問題”與“差倍問題”，時間—速度—路程、單價—數量—總價、工效—工時—工總等問題。這些復雜問題的解決都離不開單位化思想。

四、四則運算中的單位化思想

1.加減運算的本質是相同計數單位個數相加減

任何數的加減法計算算理都是相同計數單位個數相加減，筆者不做贅述。下文概要分析加法、乘法結構中的單位元概念。

在加法結構中，0是單位元，即任何一個數加或減0，不改變其大小。如果任意兩個數相加的和是0，則稱這兩個數互為逆元，也叫互為相反數，例如+4與-4。“加上”和“去掉”是互逆的，即加上一個數再去掉這個數之后，結果是0，所以加法與減法是互逆運算。在乘法結構中，1是單位元，任何一個數乘或除以1不改變運算結果，所以乘1可以省略。乘積是1的兩個數也互為逆元，在小學階段稱之為互為倒數，例如4與1/4。同樣，乘法與除法互為逆運算。

2.乘除法運算中的復合單位化思想

求相同加數和的簡便運算是乘法，也就是說，乘法是復合單位——乘數的迭代。乘法的算法算理較為復雜，乘法口訣是計算出結果的根本與基礎，兩位數乘兩位數是學習乘法的關鍵，其他多位數相乘屬于遷移，無須學習。分數乘法更為重要，其算理解釋要緊扣分數的含義，尤其是分數乘分數。借助分數乘法理解小數乘法的含義及其算理，然后轉化為自然數乘法計算，無須過多訓練小數乘法的筆算內容。

單位化思想對于學習除法更有意義。學生認識除法時，先學習“包含除”，既符合除法產生的本源，也符合學生的認知經驗。除法來源于“平均分”，平均分的結果——“每一份”就是單位。“每一份”既是平均分的結果，又可以作為平均分的標準，獲得每一份的過程（等分除）以及將每一份作為標準進行平均分（包含除）都蘊含著單位化思想。分數除法、小數除法的計算過程都離不開單位化，尤其是分數除以分數，也可以從單位化角度理解算理，即轉化為相同分數單位的個數做除法運算。

（孫海燕，北京市東城區教師研修中心）