考慮交易費(fèi)用的均值-VaR 多階段投資組合優(yōu)化模型

王曉琴, 高岳林,

(1- 寧夏理工學(xué)院理學(xué)與化學(xué)工程學(xué)院，石嘴山 753000;2- 北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，銀川 750021;3- 寧夏智能信息與大數(shù)據(jù)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，銀川 750021)

1 引言

現(xiàn)代證券投資組合理論開(kāi)始于Markowitz 1952 年提出的“均值-方差”模型，為理性投資者在不確定條件下進(jìn)行資產(chǎn)組合的理論和方法開(kāi)創(chuàng)了先河，在考慮投資收益的同時(shí)考慮風(fēng)險(xiǎn)，闡述了如何利用投資組合，創(chuàng)造更多的可供選擇的投資品種，以達(dá)到分散風(fēng)險(xiǎn)獲取最大可能的投資收益.但該理論是以靜態(tài)的觀(guān)點(diǎn)研究和論述投資組合的理論和方法，不符合實(shí)際的具有動(dòng)態(tài)特征的投資組合問(wèn)題.由于在不同時(shí)期，資產(chǎn)的收益率不同以及投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益的偏好會(huì)發(fā)生改變等因素，投資者會(huì)考慮多階段的投資組合策略，在每個(gè)階段的開(kāi)始對(duì)資產(chǎn)進(jìn)行重新分配.Chan 等[1]利用可視化的情景樹(shù)構(gòu)建了資產(chǎn)分配的最優(yōu)動(dòng)態(tài)平衡投資策略.20 世紀(jì)90 年代，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VaR)被Jorion[2]提出，其本質(zhì)就是概率分布中的分位數(shù)，因簡(jiǎn)單實(shí)用被廣泛采納.閆偉等[3]研究了帶約束的多階段均值-方差投資組合問(wèn)題.高岳林和苗世清[4]提出了基于收益和風(fēng)險(xiǎn)控制下的投資組合優(yōu)化模型.賀月月等[5]研究了基于條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值下的多階段投資組合優(yōu)化模型.Roorda[6]提出了在二叉樹(shù)中的一種序列尾部風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的算法.周忠寶等[7]提出了考慮交易成本的多階段投資組合評(píng)價(jià)方法.Filomena 和Lejeune[8]研究了同時(shí)具有固定和比例交易成本以及徐永春[9]研究的非線(xiàn)性交易費(fèi)用的多階段投資組合優(yōu)化.Liu 等[10]研究了考慮基數(shù)約束和張鵬等[11]研究的考慮最小交易量限制的多階段投資組合選擇模型.考慮到度量的約束性，Krokhmal 等[12]研究了多階段均值-方差投資組合.吳慶洪等[13]對(duì)粒子群優(yōu)化算法及其應(yīng)用進(jìn)行了研究.之后，郭文忠等[14]對(duì)離散粒子群優(yōu)化算法又做了進(jìn)一步的研究.

本文以風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VaR)為約束控制風(fēng)險(xiǎn)，構(gòu)建了考慮交易成本的均值-VaR 多階段投資組合優(yōu)化模型，并運(yùn)用帶有罰函數(shù)處理機(jī)制的粒子群算法對(duì)新建立的多階段投資組合優(yōu)化模型進(jìn)行求解，并進(jìn)行實(shí)證分析.本文內(nèi)容安排如下：第2 節(jié)給出模擬路徑；第3 節(jié)給出VaR 的定義；第4 節(jié)建立考慮交易成本的均值-VaR 多階段投資組合優(yōu)化模型；第5 節(jié)給出實(shí)證分析；第6 節(jié)給出本文的結(jié)論.

2 模擬路徑

為了模擬某一特定市場(chǎng)的隨機(jī)性情況，本文采用情景樹(shù)描述整個(gè)多階段投資周期的不同路徑，見(jiàn)圖1 所示.某一特定情況由市場(chǎng)指數(shù)的變化定義，市場(chǎng)指數(shù)的變化有兩種情況：市場(chǎng)指數(shù)下降(用0 表示)和市場(chǎng)指數(shù)上升(用1 表示)[1].

圖1 模擬路徑的情景樹(shù)

3 VaR 的定義

目前關(guān)于市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的度量方法已經(jīng)有很多種，比如方差、下半方差、絕對(duì)偏差、風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值等等，但以VaR 方法[2]使用最為廣泛，VaR 所測(cè)度的是在一定概率的保證下，在一定的投資期內(nèi)，投資組合在未來(lái)潛在的最大可能的損失值.它可以動(dòng)態(tài)的測(cè)量不同情況下的不同風(fēng)險(xiǎn)并將它用一個(gè)確切的數(shù)值表示出來(lái)，因此適用性比較廣泛.假設(shè)用f(x,y)表示投資組合x(chóng) 的損失函數(shù)，y 表示影響損失的一些不確定性因素，如證券市場(chǎng)的波動(dòng)性或資產(chǎn)的收益率.在此我們假設(shè)p(y)為y 的密度函數(shù)，f(x,y)不超過(guò)ε 的概率為

與x 對(duì)應(yīng)的損失累積分布函數(shù)用φ(x,ε)，VaR 在置信水平α 下的損失值用εα(x)表示，有

ε 所在區(qū)間的左端點(diǎn)也包含在εα(x)內(nèi)，所以φ(x,εα(x)) = α，那么f(x,y) ≥εα(x)的概率為1 ?α.因此φ(x,εα(x))是損失f(x,y)大于等于εα(x)的條件期望.

假定資產(chǎn)的收益率服從正態(tài)分布.由VaR 的定義得損失f(x,y)在α(0<α<1)置信水下的VaR 值為

其中R(x)為投資組合的期望收益，σ(x)為R(x)的標(biāo)準(zhǔn)差，φ 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù)，φ?(α)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的α-下側(cè)分位數(shù).

4 考慮交易成本的均值-VaR 多階段投資組合模型

假設(shè)證券市場(chǎng)上有n 種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和1 種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，投資者從0 時(shí)刻起到T 時(shí)刻末，進(jìn)行為期T (t = 1,2,··· ,T)個(gè)階段的投資，并且在每個(gè)階段的初始時(shí)刻進(jìn)行資產(chǎn)的重新分配.為此，我們有：

(a) 模型參數(shù)

2) πs：表示第s 條路徑發(fā)生的概率，即∑sπs=1；

3) W0：表示投資開(kāi)始時(shí)的資產(chǎn)總量；

4) Wst：表示路徑s 下第t 階段結(jié)束時(shí)所擁有的資產(chǎn)總量；

5) T：投資階段的總數(shù)；

(b) 決策變量

在實(shí)際的證券交易中，不管是買(mǎi)入還是賣(mài)出證券，總存在著交易成本的問(wèn)題，且交易成本影響著投資的最終收益.因此在模型中忽略交易費(fèi)用會(huì)導(dǎo)致無(wú)效的資產(chǎn)組合.

根據(jù)投資組合理論，投資者偏好收益而厭惡風(fēng)險(xiǎn).因此，一般情況下，投資者在最大化終端財(cái)富的同時(shí)，也希望投資組合的風(fēng)險(xiǎn)能達(dá)到最小，因此本文所建立的模型如下

其中i = 1,2,··· ,n+1，當(dāng)i = 1 時(shí)表示現(xiàn)金；s = 1,2,··· ,S 為多階段投資組合的路徑數(shù)；t = 1,2,··· ,T 為投資組合的階段數(shù)；mit和Mit是資產(chǎn)i 在階段t 的最小和最大投資比例；是一個(gè)二元變量，= 1 表示在路徑s 下，資產(chǎn)i 在階段t 進(jìn)行投資，= 0 表示不投資；γ 表述指投資者對(duì)投資風(fēng)險(xiǎn)的偏好程度，γ 值越小，表示投資者對(duì)投資風(fēng)險(xiǎn)越敏感.第一個(gè)約束條件表示在給定的置信水平α 下，將路徑s 中每個(gè)階段的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR 都控制在閾值ω 范圍內(nèi).第二、三個(gè)約束條件表示投資開(kāi)始時(shí)所擁有的資產(chǎn)量.第四個(gè)約束條件表示每個(gè)階段開(kāi)始時(shí)的總資產(chǎn).第五個(gè)約束條件表示路徑s 下第t 階段的資產(chǎn)量與t ?1 階段的資產(chǎn)量之間的關(guān)系.第六、七個(gè)約束條件表示現(xiàn)金和其他種類(lèi)資產(chǎn)在平衡后的凈資產(chǎn)量.第八個(gè)約束條件表示每一種資產(chǎn)在同一階段通過(guò)同一結(jié)點(diǎn)的不同路徑上的投資數(shù)量相同.

本文僅考慮γ = 1 的情況，且利用外點(diǎn)半罰函數(shù)方法把模型P0 中的不等式約束放到目標(biāo)函數(shù)中構(gòu)造罰函數(shù)，產(chǎn)生一系列含有等式約束和界約束的如下優(yōu)化問(wèn)題P1 進(jìn)行求解，從而得到對(duì)原問(wèn)題P0 的求解

其中i = 1,2,··· ,n+1，當(dāng)i = 1 時(shí)表示現(xiàn)金；s = 1,2,··· ,S 為多階段投資組合的路徑數(shù)；t = 1,2,··· ,T 為投資組合的階段數(shù).設(shè)置懲罰因子δ 的初值為10，通過(guò)迭代δ = δ+i ?10 得到{δt}為正的數(shù)列且δt→+∞，把模型P0 轉(zhuǎn)化為模型P1.其中模型P0 和P1 不是凸優(yōu)化問(wèn)題.

5 求解多階段投資組合的粒子群算法

粒子群算法(Particle Swarm Optimization, 簡(jiǎn)稱(chēng)為PSO)，是由Kennedy 等提出的一種新的進(jìn)化算法.PSO 算法屬于進(jìn)化算法的一種，和其他的智能優(yōu)化算法類(lèi)似，隨機(jī)產(chǎn)生一群粒子，通過(guò)不斷的更新粒子的速度和位置來(lái)找到最優(yōu)解，通過(guò)適應(yīng)度函數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)模型的目標(biāo)函數(shù).該算法因容易實(shí)現(xiàn)、求解精度高等的優(yōu)點(diǎn)引起了許多學(xué)者的高度關(guān)注.

5.1 需要求解的問(wèn)題

文中所建立的是一個(gè)在給定的風(fēng)險(xiǎn)水平下最大化終端財(cái)富的單目標(biāo)模型，在算法求解過(guò)程中，約束條件中的max 是非光滑函數(shù)，實(shí)際計(jì)算時(shí)首先需要把原來(lái)的可行區(qū)域松弛為一個(gè)凸區(qū)域，使得凸區(qū)域包含原來(lái)的可行區(qū)域，再將非光滑函數(shù)在擴(kuò)展的凸區(qū)域內(nèi)進(jìn)行線(xiàn)性化處理.把不等式約束采用罰函數(shù)法放到目標(biāo)函數(shù)中，等式約束在不同路徑的每個(gè)階段都進(jìn)行求解.在多階段投資組合的求解算法中，各個(gè)階段之間的財(cái)富傳輸方式就是在第一階段初所擁有的資金分配到幾種不同的資產(chǎn)上，把每條路徑中第一階段末所得財(cái)富作為第二階段的初始財(cái)富，在第二階段進(jìn)行重新分配.依次下去，直到第T 階段.

5.2 粒子群算法步驟[14]

步驟1 初始化每條路徑，隨機(jī)生成初始粒子的位置和速度.設(shè)置最大迭代次數(shù)Tmax(Tmax=120).對(duì)第一個(gè)約束條件和第二個(gè)約束條件進(jìn)行判斷，如果滿(mǎn)足則繼續(xù)步驟2，不滿(mǎn)足則重新初始化，因?yàn)榱Ｗ尤核惴ㄖ谐跏蓟Ｗ拥奈恢脤?duì)全局最優(yōu)解的搜索有一定的影響，我們通過(guò)這個(gè)判斷使得初始化的粒子盡可能的靠近可行解所在的區(qū)域；

步驟2 根據(jù)構(gòu)造的罰函數(shù)，依次評(píng)價(jià)粒子的適應(yīng)度值；

步驟3 根據(jù)下面的方法確定當(dāng)前代的個(gè)體最優(yōu)解Pi(t)及當(dāng)前代的群體最優(yōu)解Pg(t)，本文的目標(biāo)函數(shù)為最大化問(wèn)題，則第i 個(gè)粒子的個(gè)體極值由下式確定

群體的最好位置由下式確定

步驟4 對(duì)第i 個(gè)粒子的位置和速度按照以下公式進(jìn)行更新

其中慣性權(quán)重ω 根據(jù)如下公式取值ωmax和ωmin分別為ω 的最大值和最小值，一般取值0.9 和0.4，t 為當(dāng)前迭代次數(shù)，tmax為最大迭代次數(shù)；

步驟5 若滿(mǎn)足算法所設(shè)定的終止條件，就停止迭代并輸出所需求解的最優(yōu)解；否則進(jìn)行下一步的迭代.

6 實(shí)證分析

表1 和表2 中的數(shù)據(jù)來(lái)自文獻(xiàn)[5]，文中的路徑用0-1 二進(jìn)制代碼表示，1 表示未來(lái)市場(chǎng)發(fā)展趨勢(shì)表現(xiàn)為上升，0 表示未來(lái)市場(chǎng)發(fā)展趨勢(shì)表現(xiàn)為下降，如101 表示在第一階段市場(chǎng)發(fā)展表現(xiàn)為上升趨勢(shì)，在第二階段市場(chǎng)發(fā)展表現(xiàn)為下降趨勢(shì)，而在第三階段市場(chǎng)發(fā)展表現(xiàn)為上升趨勢(shì).

表1 從標(biāo)準(zhǔn)普爾100 指數(shù)中選取的9 只成分股

表2 每條路徑發(fā)生的概率

將表1 中的9 只股票和銀行存款作為投資的對(duì)象，將整個(gè)投資周期劃分為三個(gè)階段，根據(jù)市場(chǎng)指數(shù)的上升和下降共產(chǎn)生了8 條投資路徑.粒子群算法中的參數(shù)分別設(shè)置為：種群規(guī)模為NP = 100，最大迭代次數(shù)Tmax= 120，投資者所能承受的最大風(fēng)險(xiǎn)水平ω = 0.3，置信水平為α = 0.95.投資比例的下界為0，上界為0.4.按照以上參數(shù)計(jì)算得出各路徑各階段的最優(yōu)投資策略，如表3 至表11 所示.

從表11 可以看出，隨著置信水平的不斷增大，VaR 和期望收益的值也在不斷的增加，即高風(fēng)險(xiǎn)高收益，符合實(shí)際的金融市場(chǎng).

一般情況下取風(fēng)險(xiǎn)水平ω = 0.5，如文獻(xiàn)[5,8]，為確保投資得到的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值ω ≤0.5，又由于外點(diǎn)半罰函數(shù)法得到的解可能不滿(mǎn)足風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值ω ≤0.5，所以取ω′= 0.3 時(shí)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，雖然解不滿(mǎn)足?= φ?(α)?< 0.3，當(dāng)罰函數(shù)無(wú)窮大以后?=φ?(α)?的數(shù)值結(jié)果接近0.3，但滿(mǎn)足φ?(α)?≤0.5.

表3 路徑(1,1,1)的最優(yōu)投資策略

表4 路徑(1,1,0)的最優(yōu)投資策略

表5 路徑(1,0,1)的最優(yōu)投資策略

表6 路徑(1,0,0)的最優(yōu)投資策略

表7 路徑(0,1,1)的最優(yōu)投資策略

表8 路徑(0,1,0)的最優(yōu)投資策略

表9 路徑(0,0,1)的最優(yōu)投資策略

表10 路徑(0,0,0)的最優(yōu)投資策略

表11 不同置信水平下的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值和期望收益

7 結(jié)束語(yǔ)

考慮到金融市場(chǎng)在不斷的變化，投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好以及資產(chǎn)收益也在不斷的變化，為了盡可能避免投資者在投資過(guò)程中遭受非正常的損失，引入VaR 約束對(duì)每條路徑下每個(gè)階段的投資比例進(jìn)行不斷調(diào)整，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)資產(chǎn)組合收益的優(yōu)化和風(fēng)險(xiǎn)的控制.使得模型的建立更貼近實(shí)際證券市場(chǎng)的投資情況，這樣得到的投資決策更為合理.