“質疑”誠可貴 “證明”價更高

摘? 要：一次數學小測驗，說明一次函數、二次函數、反比例函數圖象需要“正名”. 數學教學中，要堅持勇于質疑、善于思考、尊重證據、依照邏輯、實事求是、嚴謹求實的價值取向，要維護與強化學生敢質疑、敢證明、敢證偽的思維銳氣，這無疑是時代的要求.

關鍵詞：數學測驗;函數圖象;圓錐曲線;邏輯證明

一、問題提出

回顧學生初中學習函數的過程，當學生以一次函數三五對（或有限對）對應值為橫坐標和縱坐標描點作圖時，發現這些點共線，就稱一次函數的圖象是一條直線. 此時，大多數學生不會懷疑，但不排除少數學生可能擔心是否存在某一對函數對應值，以其為坐標描點后破壞了各點共線的規律. 而二次函數和反比例函數的圖象是學生幾乎完全未知的圖形，教師（教材）說什么就是什么，更談不上懷疑. 進入高中學習了“曲線與方程”之后，學生類比“直線與方程”與一次函數及其圖象，澄清上述懷疑，應該問題不大. 但是在沒有坐標軸平移與旋轉知識儲備的前提下，學生對于“初中學習的二次函數、反比例函數的圖象，與高中所學的拋物線與雙曲線是不是一回事”就可能、也應該心生疑惑.

二、調查問卷

為評估學生的理性精神和科學態度，我們從北京某示范校高二學生中，選擇了數學成績較好的65名學生作為調查對象，針對上述問題，進行了一份小測驗，題目如下.

1. 在初中，我們學習一次函數的圖象時，找幾對函數的對應值作為橫坐標和縱坐標，描點，發現幾個點共線，我們就稱一次函數的圖象是一條直線.

（1）當時對這個結論，你有過懷疑嗎？（? ? ）

（A）懷疑 （B）不懷疑

（2）有沒有擔心多描一些點，就可能發生不共線的情況？（? ? ）

（A）有 （B）沒有

（3）試用高中知識解釋：一次函數[y=kx+b]的圖象為什么是直線？

2. 初中學習的二次函數圖象稱為拋物線.

（1）與高中學習的拋物線是同一種曲線嗎？（? ? ）

（A）是 （B）不是

（2）試用拋物線的定義說明二次函數[y=（1/4）]的圖象是否為拋物線.

3. 初中學習的反比例函數圖象稱為雙曲線.

（1）與高中所學的雙曲線是同一種曲線嗎？（? ? ）

（A）是 （B）不是

（2）根據雙曲線的定義，說明反比例函數[y=1/x]的圖象是否為雙曲線.

三、統計結果

65名學生在同一時間內做題，收回65份答卷，結果統計如下.

第1題，（1）選擇選項A和選項B的人數分別為29，36，分別占44.6%，55.4%;（2）選擇選項A和選項B的人數分別為21，44，分別占32.3%，67.7%;（3）解釋其圖象為什么是直線，沒有1人完成，僅有5人想利用直線方程解釋，但沒有說清楚.

第2題，（1）選擇選項A和選項B的人數分別為54，11，分別占83.1%，16.9%;（2）有17人放棄了簡答題部分，有39人把二次函數[y=（1/4）]轉化為[x=4y]，從形式上說明了二次函數的圖象是拋物線. 這雖然正確，但不符合題目用拋物線定義說明的要求. 其余9人試圖用定義說明，提到焦點和準線，但不完整，即沒有通過計算說明二次函數圖象上的任意一點到焦點和準線的距離相等.

第3題，（1）選擇選項A和選項B的人數分別為54，11，分別占83.1%，16.9%;（2）有42人放棄了簡答題部分，其余23人試圖用定義證明，但除3名學生基本完成外，大多數學生只寫出了兩個頂點的坐標，至多確定了焦點的坐標，缺乏完整的證明.

四、幾點啟示

1. 教師要倡導并培育學生敢質疑、敢證明、敢證偽的思維品質

令我們驚訝的是，在3道測試題中，選擇“懷疑、擔心與否定”的人數相對偏多. 這從客觀上說明：在解析幾何教學中，教師沒有在講直線、拋物線、雙曲線時，分別聯系一次函數、二次函數和反比例函數. 這恰好歪打正著，減少了做測試的干擾因素.

第1題的解答耐人尋味，懷疑一次函數圖象是直線的竟有29人之多，不懷疑的有36人，擔心不共線的有21人，不擔心不共線的有44人. 這種數據“正相關”的特征說明學生的答卷是認真的. 同時，“懷疑”和“擔心”的人數遠遠超過了我們的預想. 這雖然在沒有“對比組”的情況下，說服力不強，但是也從一個角度說明這些學生具有一定的理性精神和科學態度. 再聯系到第2題和第3題，有11人認為二次函數、反比例函數的圖象與高中所學的拋物線、雙曲線不是同一種曲線，這雖然是錯誤的選項，但卻反映出他們不輕信、重證據、謹慎求真的態度，至少可以說是學好數學的一種潛質.

在實際課堂教學中，在一定程度上存在著這種現象：教師照本宣科，多說一句怕錯了;學生被動聽講，唯命是從，少有獨立思考、提出不同見解，少有從心存疑慮的困惑到質疑辨析的爭論. 如此這般，何談創新人才的培養？看了這份答卷，筆者略感欣慰，同時感到有責任在教學中維護好這份可貴的“懷疑”，實時創造一些值得懷疑的問題，強化學生敢質疑、敢證明、敢證偽的思維銳氣，這無疑是時代的要求.

2. 要深化理解方程刻畫動點坐標的功能

第1題的解答部分無1人完成，這是非常意外的事情，聯想到第2題和第3題，解答部分的答題情況都遠遠優于第1題. 如此反常，個中緣由值得我們深刻反思.

首先，可能因為拋物線、雙曲線都有明確的定義，要說明函數圖象是拋物線、雙曲線，可以從定義入手，而直線是個只能描述的不定義概念，所以雖然圖象簡單，但卻無從下手.

其次，可能囿于學生的推理能力. 有的學生復雜問題也許能推導幾步，面對簡單的推理過程，反倒無話可說了. 試想，既然二元一次方程[Ax+By+C=0]表示直線，那么一次函數解析式[y=kx+b]是二元一次方程，所以一次函數的圖象是直線. 這在邏輯中是典型的“三段論”模式. 甚至從一次函數解析式與直線的斜截式形式完全相同，直接下結論即可.

最后，與學生對“曲線與方程”的關系理解不到位有關. 有的學生可能會背誦“曲線上的點的坐標是方程的解，以方程的解為坐標的點在曲線上”，但不解其意，認識不到方程是對曲線上的動點運動不變量的刻畫，方程反映出曲線上動點坐標在運動變化中的相互依存、相互制約的關系. 從這個角度來看，方程與函數解析式在揭示動點坐標變化的規律方面并無二致. 另外，系統觀察動點運動，可以發現這樣的規律，如果動點沿直線運動，其坐標[x，y]之間的關系可由線性方程表達，如果動點運動成曲線，其坐標[x，y]之間的關系便不能用線性方程表達.

話已至此，請寬恕筆者的節外生枝，額外回答一個廣泛存在的疑問：圓與其他圓錐曲線都有明顯的動點運動不變量（如半徑、定長等），便于利用方程來刻畫，而直線的動點運動不變量是什么？這個問題教材沒有明示，筆者愚見，直線的動點運動不變量是其斜率[k]（不含垂直于[x]軸的直線），運用直線上的兩點[P0x0，y0，Px，y]確定斜率的公式，即得[k=y-y0x-x0]. 若視[P0x0，y0]為定點，[Px，y]為動點，則[k=y-y0x-x0]就反映出直線上動點坐標[x，y]在運動變化中的依存、制約關系，所以稱[k=y-y0x-x0]為缺少點[P0x0，y0]的直線方程也不為過. 那么，如何把點[P0x0，y0]補回來呢？只需去分母，[k=y-y0x-x0]即可整理成直線方程的點斜式，從而確定了點斜式在直線方程中的奠基地位.

3. 如何說明二次函數的圖象是拋物線

在筆者的教學實踐中，在講“拋物線”一節時，往往設計一個探究題：根據拋物線的定義，證明二次函數[y=14x2-x]的圖象是拋物線. 之所以明確要求用定義證明，是因為如果把[y=14x2-x]化為[x-22=4y+1]，從形式上說明該曲線是由拋物線[x2=4y]經過平移得到的，在學生沒有學習坐標軸平移知識的前提下，這理解起來有些困難. 相反，根據定義證明，不僅自然，還有利于培養學生從定義出發思考問題的習慣.

問題的解決并不難，學生可以根據函數圖象開口向上、對稱軸是[x=2]、頂點為[2，-1]，再借鑒拋物線的焦點、頂點和準線的相對位置關系，設點[F2，-1+t]，直線[y=-1-t t>0]，二次函數圖象上的任意一點[P0x0，y0]，記點[P]到直線[y=-1-t]的距離為[d]，根據[PF=d]來計算[t]的值. 如果存在[t]的某個合理的定值，就肯定函數的圖象是拋物線，否則就不是. 事實上，由[x0-22+y0-t+12=y0+t+1]，得[x0-22=][y0+t+12-y0-t+12]. 進一步，化簡，可得[x0-22=][2t2y0+2]. 再把[y0=14x20-x0]代入，得[t=1]. 由此說明函數[y=14x2-x]的圖象是以[F2，0]為焦點、[y=-2]為準線的拋物線.

至于一般的二次函數[fx=ax2+bx+c]（不妨設[a>0]），我們可以參閱人教A版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第一冊第133頁的“探索與發現”欄目. 教材為我們提供了沿向量平移的方法，證明了其圖象是拋物線. 也可以根據初中已經掌握的結論，二次函數[fx=ax2+bx+c]的圖象與函數[fx=ax2]的圖象，除位置可能不同外，形狀完全相同. 因此，只需證明函數[fx=ax2]的圖象是拋物線即可. 于是，運用上例的方法，易知函數[fx=ax2]的圖象是以[0， 14a]為焦點的拋物線.

4. 如何論證函數[gx=kx k≠0]的圖象是雙曲線

不像二次函數，教材對這個問題無任何提示. 為方便讀者，在不旋轉坐標軸的前提下，給出如下討論.

類比解析幾何中的雙曲線，先為反比例函數[gx=kx]（不妨設[k>0]）尋找兩個定點[F1，F2]，核實圖象上的任意一點[P]，是否滿足[PF1-PF2]是一個常數. 考慮到雙曲線的焦點在對稱軸上，那么，此處的點[F1，F2]，我們也在函數圖象的對稱軸[y=x]上尋找. 如圖1，假設反比例函數[gx=kx]的圖象就是雙曲線，那么，顯然它有兩條相互垂直的漸近線（坐標軸），于是可知它的離心率為[2].

根據題意，易知函數的圖象與對稱軸[y=x]的交點（可能的頂點）可能為[A1-k，-k]，[A2k， k].再根據離心率，則得可能的焦點為[F1-2k，-2k]，[F22k， 2k].

設[Px0， kx0]是函數[gx=kx k≠0]的圖象上的任意一點，則可以得到[PF1]和[PF2].

綜上所述，函數[gx=kx k>0]的圖象上任意一點到定點[F1-2k，-2k，F22k， 2k]的距離之差的絕對值是常數[22k].

因為[F1F2=4k]，并且[22k<F1F2]，所以函數[gx=kx k>0]的圖象是雙曲線. 對于函數[gx=kx][k<0]，類似可證.

5. 意外收獲

在討論反比例函數圖象是否為雙曲線的過程的啟發下，部分學生把研究的觸角指向一對司空見慣的函數[y=x±1x]（俗稱對勾函數），因為他們憑直觀感覺，這兩個函數的圖象似乎也是雙曲線. 經過一番深入的討論，我們發現函數[y=x±1x]的圖象是一對共軛雙曲線. 下面以函數[y=x+1x]的圖象為例，介紹一下我們的討論過程.

（1）假設函數[y=x+1x]的圖象是雙曲線，推斷可能的焦點坐標.

根據函數圖象的走向，不難猜想[y]軸和直線[y=x]是雙曲線的兩條漸近線，且斜率為正的對稱軸是傾斜角為[3π8]的直線，它的方程為[y=xtan3π8=2+1x]，對稱軸與函數圖象的交點即為頂點.

綜上所述，函數[y=x+1x]的圖象上任意一點[P]滿足[PF2-PF1=222+1]，且[222+1<F1F2].

所以函數[y=x+1x]的圖象是雙曲線.

關于“函數[y=x-1x]的圖象也是雙曲線，且與[y=x+1x]的圖象共軛”的討論，限于篇幅，不再贅述，其圖象如圖2所示.

五、結束語

章建躍先生指出，科學精神與理性思維是數學學科素養的靈魂. 那么，廣大一線教師怎樣的教學行為，才能把科學精神與理性思維習慣的培育自然融入日常的教學中呢？反觀本文所述為一次函數、二次函數、反比例函數圖象“正名”的系列工作，這與日常單純以應試備考為目的的教學工作相比，反差很大，堪稱“另類”. 但是這種“另類”是教師引導學生“用數學眼光觀察，用數學思維思考，用數學語言表達”的一次小小的實踐. 在這個過程中，體現出倡導勇于質疑、善于思考、尊重證據、依照邏輯、實事求是、嚴謹求實的價值取向，這對全面提升學生的數學學科核心素養來說，無疑是十分有益的.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

收稿日期：2021-07-16

作者簡介：崔浩（1968— ），男，中學高級教師，主要從事中學數學教學研究.