2020年美國數學競賽(AMC12B)的試題與解答

華南師范大學數學科學學院(510631) 李湖南

的最簡值是多少?

解直接計算,原式=1+2+3+4=10,故(C)正確.

解由平方差公式可知,原式=1,故(A)正確.

3.已知w與x之比為4:3,y與z之比為3:2,z與x之比為1:6.則w與y之比是多少?

(A)4:3 (B)3:2 (C)8:3 (D)4:1 (E)16:3

解化簡即得,故(E)正確.

4.一個直角三角形的兩個銳角分別是a?和b?, 其中a ＞b且a和b均為素數.則b最小可能的值是多少?

(A)2 (B)3 (C)5 (D)7 (E)11

解問題轉化為求a+b= 90 的最小素數解, 可解得a=83,b=7,故(D)正確.

5.球隊A 和B 正在打籃球聯賽,每場比賽都要決出勝負.球隊A 贏了的比賽,球隊B 贏了的比賽,而且球隊B 比球隊A 多贏了7 場比賽也多輸了7 場比賽.則球隊A 打了多少場比賽?

(A)21 (B)27 (C)42 (D)48 (E)63

解設球隊A 和B 分別打了x,y場比賽, 依題意有:解方程組得故(C)正確.

6.對于所有整數n≥9,的值是以下哪個?

(A)4 的倍數(B)10 的倍數(C)一個素數(D)一個平方數(E)一個立方數

解=(n+1)2,它是一個平方數,故(D)正確.

7.xy-坐標平面上的兩條非水平、非豎直的直線相交于點O,且夾角為45?.一條直線的斜率是另一條直線斜率的6倍.則這兩條直線斜率乘積的最大值是多少?

解設兩條直線的方程分別為y=kx,y= 6kx,傾斜角 分 別為α,β, 依題意可 得β=α ±45?.于是6k=tanβ=tan(α±45?)=化簡得±6k2-5k±1 = 0,解得所求的最大值為(k·6k)max=故(C)正確.

8.有多少個整數對(x,y)滿足方程x2020+y2=2y?

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)無窮多

解原方程可化為x2020+ (y-1)2= 1, 容易解得故滿足方程的解共有4 對,(D)正確.

9.如圖示,一個半徑為4 英寸的圓的四分之三連同它的內部正好可以卷成一個圓錐的側面,如果將它的兩條半徑無縫連接.則這個圓錐的體積是多少立方英寸?

解設這個圓錐的底面半徑和高分別為r和h, 則有2πr=·4, r2+h2=42,解得r=3, h=于是該圓錐的體積為V=故(C)正確.10.在單位正方形ABCD中……