曲線定點張定角 指點迷津富瑞吉
——以2020年新高考山東卷為例

安徽省合肥市第一中學(230601) 丁毓琪

2020年, 山東及海南率先使用新高考Ⅰ卷.其中,第22題因其考察的綜合性和不俗的運算量,對學生的邏輯推理能力、轉化與化歸能力和運算能力都提出了很高的要求.題目如下:

題目(2020年高考山東卷)已知橢圓C:=1(a ＞b ＞0)的離心率為且過點A(2,1).

(1)求C的方程;

(2)點M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點Q,使得|DQ|為定值.

解(1)易得橢圓C的方程為

(2)①當直線MN的斜率存在時, 設其方程為y=kx+m,聯立得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-6 = 0,由Δ = (4km)2-4(2k2+1)(2m2-6)＞0,知m2＜8k2+3,設M(x1,y1),N(x2,y2),則

因為AM⊥AN,所以

即(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+m2-2m+5=0,

所以(k2+1)·+(km-k-2)(-)+m2-2m+5 = 0, 化簡整理得, 4k2+8km+3m2-2m-1 =(2k+m -1)(2k+ 3m+ 1)= 0, 所以m= 1-2k或

當m= 1-2k時,y=kx-2k+1,過定點A(2,1),不符合題意,舍去;當m=時,y=kx-,過定點設D(x0,y0),則y0=kx0+m.

(i)若k ?= 0, 因為AD⊥MN, 所以k·=-1,解得所以

所以點D在以為圓心,為半徑的圓上,故存在使得|DQ|=為定值.

(ii)若k=0,則直線MN:y=因為AD⊥MN,所以所以|DQ|=為定值.

②當直線MN的斜率不存在時, 設其方程為x=t,M(t,s),N(t,-s),且=1,因為AM⊥AN,所以

運算何其浩繁,讓多少考生鎩羽而歸.事實上,本題的核心在于說明直線MN過定點P,因此點D在以AP為直徑的圓上運動.而對于過定點張直角的二次曲線弦問題是解析幾何上一類非常常見的考題,廣泛出現在高考及各類考試上.本文擬就此類問題提出一般性的解法,并做推廣.

而對于常見的二次曲線,其實本類問題都有定論.但常規方法是假設直線的斜截式方程,聯立橢圓方程與直線方程,消元y后,由韋達定理并利用向量數量積形式表示垂直關系,計算量蔚為大觀.這是本類問題頻繁出現的原因,但由于龐大的計算量也讓學生苦不堪言.

事實上,該題的題設條件可視為富瑞吉定理的特殊情形,表述如下:

性質1(福瑞吉定理的特殊情形)設橢圓方程C:= 1(a ＞b ＞0)上有定點A(x0,y0), 不過點A的直線l交橢圓C于M,N兩點,則AM⊥AN的充要條件為直線l恒過定點

證明1設l:y=kx+m與橢圓方程b2x2+a2y2=a2b2分別交于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點.聯立可得:(b2+a2k2)x2+ 2a2kmx+a2(m2- b2)= 0, 由Δ = (2a2km)2-4(b2+a2k2)a2(m2-b2)＞0, 知m2＜a2k2+b2.則x1+x2=,x1·x2=由得,

化簡可得:

即

因為y0-m-kx0?= 0,所以b2(y0-m+kx0)-a2(m+kx0+y0)= 0,可得所以直線l恒過定點

這種常規方法是眾多考試中,通常會考察的類型.然而,我們不禁要追問,能否有更加簡便普適的方法來解決該類問題? 事實上,對于二次曲線上一點A,對此點張直角的直線恒過定點的結論,稱為富瑞吉定理[1].

證明2選二次曲線上定點O為坐標原點建立坐標系,設經過原點的二次曲線的一般方程是Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=0,不過原點的直線l:mx+ny=1 與二次曲線相交于M,N兩點.

可得

即

我們不妨以富瑞吉定理來解決這道高考題:

以定點A為原點建立直角坐標系, 則該橢圓方程是= 1, 即x2+2y2-4x-4y= 0, 由富瑞吉定理知直線過定點從而,在原直角坐標系下直線lMN過定點即可知動點D在以AP為直徑的圓上運動,所以點D與AP中點Q點距離為定值

與常規方法相比,富瑞吉定理無疑是大大簡化了運算過程,并且可以對該類問題提出通用的解決辦法,統一處理各種曲線.

我們甚至驚喜地發現,該方法甚至可以推廣到定角不為直角的情況,對于二次曲線上過定點的兩條弦張定角(設定角正切值是t),由=t,只需借助韋達定理即可求解.

但是對于二次曲線上過定點的兩條弦張直角問題,值得注意的一點是,對于平面上任意一點,是否總能過該點做兩條互相垂直的弦且與二次曲線相交? 顯然,其臨界條件是過該點的兩條切線互相垂直.而對于二次曲線,任意兩條互相垂直的切線的交點軌跡是圓,即蒙日圓[2].

證明設兩條直線相交于點A(x0,y0), 切線斜率是k,y-y0=k(x-x0).聯立直線與橢圓方程可得:

由直線與橢圓相切,得

化簡得:(a2- x20)k2+ 2x0y0k+b2-= 0, 顯然該方程有兩根k1,k2,k1·k2=-1, 即=-1, 化簡得x2+y2=a2+b2.

拋物線y2= 2px(p ＞0)上任意兩點做拋物線的切線,兩切線交點的軌跡是準線x=

我們以如下高考題為例來說明蒙日圓的應用:

例1(2014年高考廣東卷理科第20 題)已知橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)的右焦點為離心率為

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)若動點P(x0,y0)為橢圓C外一點,且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點P的軌跡方程.

解(1)易得橢圓方程為

(2)顯然點P在橢圓C的蒙日圓上, 所以點P軌跡是x2+y2=9+4,即x2+y2=13.

由上述例題可知,若是師生在高三總復習中,提綱挈領,集中解決與富瑞吉定理、蒙日圓相關的問題,必然會有良好的收效.在復習時間緊張的高三,綜合統一解決一類問題的教學策略,更易獲得學子們的青睞.