對2020年高考北京卷第20題的拓展*

江蘇省大港中等專業學校(222047) 陳 杰

江蘇省太湖高級中學(214125) 翟洪亮

圓錐曲線中的定點、定值問題是高考的熱點和難點,而且時考時新.筆者通過對2020年高考北京卷第20 題進行探討,發現其圖形內部蘊涵兩條性質,并將它們推廣到一般情形及其他圓錐曲線.現整理成文,與大家交流.

一、試題呈現

已知橢圓C:=1(a ＞b ＞0)過點A(-2,-1),且a=2b.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)過點B(-4,0)的直線l交橢圓C于M,N兩點,直線MA,NA分別交直線x=-4 于點P,Q.求的值.

二、參考答案

解(Ⅰ)由題設得= 1,a= 2b, 解得a2= 8,b2=2,所以橢圓C的方程為=1.

(Ⅱ)設M(x1,y1),N(x2,y2), 直線MN的方程為y=k(x+ 4), 代入= 1 得(4k2+ 1)x2+ 32k2x+(64k2-8)= 0.由根與系數關系得x1+x2=x1x2=.直線MA的方程為y+1=(x+2),令x=-4, 得yP=.同理可得,yQ=

顯然,yP yQ ＜0,且所以

而

三、試題拓展

本題考查直線與橢圓的位置關系, 試題運算量大, 區分度明顯, 注重對數學運算素養的考查.做完此題, 筆者連結AB, 如圖1, 計算直線AM、直線AN、直線AB斜率,經過探究發現:

圖1

變式1已知橢圓= 1, 點A(-2,-1),若過點B(-4,0)的直線l交橢圓C于M,N兩點, 則kAM+kAN=2kAB.

證明設M(x1,y1),N(x2,y2), 直線MN的方程為y=k(x+ 4), 代入= 1 得, Δ = (32k2)2-4(4k2+1)(64k2-8)＞0,由根與系數關系得x1+x2=

kAB=所以kAM+kAN=2kAB.

思考命題人為什么要取橢圓上的點A(-2,-1)? 這與所給橢圓=1 和直線x=-4 之間有何關系呢? 經過探究發現,xAxB=a2=8,猜想試題結論可推廣到橢圓的一般情形.

性質1已知橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)過點A(x0,y0), 若過點的直線l交橢圓C于M,N兩點, 直線AM,AN分別交直線x=于點P,Q, 則:(1)kAM+kAN=2kAB;(2)|BP|=|BQ|.

證明設M(x1,y1),N(x2,y2), 直線MN的方程為y=k(x -), 代入= 1 得(a2k2+b2)x2-由根與系數關系得x1+x2=

(1)因為kAB=所以

所以kAM+kAN=2kAB.

(2)直線AM的方程為y - y0=令x=得yP=+y0.同理可得,yQ=+y0.顯然,yP yQ ＜0, 且yP+yQ=+ 2y0, 由(1)知所以yP+yQ=×+2y0=0,所以|BP|=|BQ|.

圓錐曲線是由平面截圓錐而得.用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐,當截面與圓錐的軸夾角不同時,可以得到橢圓、雙曲線、拋物線,我們通常把橢圓、雙曲線、拋物線統稱為圓錐曲線.既然橢圓、雙曲線、拋物線都是由圓錐被平面所截,那么它們往往具有類似的性質.經過探究,發現上述性質也可推廣到雙曲線.

性質2已知雙曲線C:=1(a ＞0,b ＞0)過點A(x0,y0),若過點的直線l交雙曲線C于M,N兩點, 直線AM,AN分別交直線x=于點P,Q, 則:(1)kAM+kAN=2kAB;(2)|BP|=|BQ|.

圖2

證明設M(x1,y1),N(x2,y2), 直線MN的方程為= 1 得(a2k2- b2)x2-+a2b2= 0.由根與系數關系得x1+x2=,x1x2=

(1)因為kAB=所以

所以kAM+kAN=2kAB.

(2)直線AM的方程為y - y0=(x - x0),令x=得+y0.同理可得,yQ=+y0.顯然,yP yQ ＜0, 且yP+yQ=+ 2y0, 由(1)知所以yP+yQ=+2y0=0,所以|BP|=|BQ|.

上述性質能否推廣到拋物線呢? 若能推廣,定點坐標又是什么呢? 經過探究可得:

性質3如圖3, 已知拋物線C:y2= 2px(p ＞0)過點A(x0,y0),若過點B(-x0,0)的直線l交拋物線C于M,N兩點, 直線AM,AN分別交直線x=-x0于點P,Q, 則:(1)kAM+kAN= 2kAB; (2)|BP|=|BQ|.

圖3

性質3 的證明思路與性質1 和性質2 的證明相仿,不再贅述.