一道2020年高考橢圓定值問題的探究

湖北省監利市實驗高級中學(433300) 萬平方

圓錐曲線中的定值問題是高考的熱點和難點問題之一,定值問題動中有靜,靜中有動,變化中有不變,解決此類問題需要動中窺靜,以靜制動.定值問題與定點問題可以相互轉化,它們背后往往蘊藏著豐富的幾何背景,探究問題的背景,能拓展思維空間、培養合情推理能力與發散思維能力.

2020年高考數學北京卷第20 題保持了北京卷“入口易、口徑寬、深入緩、出口難”的一貫風格,表面是求值問題,實質是定值問題.它以能力立意,強調數學方法和數學本質的考查,考查解析幾何中的主要方法,需要學生具備一定的數學運算核心素養,并能夠程序化思考問題.此題背景熟悉、解法多樣,細細品讀實感底蘊深厚,余味綿長.

題目(2020年高考數學北京卷第20 題)已知橢圓過點A(-2,-1),且a=2b.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)過點B(-4,0)的直線l交橢圓C于點M,N,直線MA,NA分別交直線x=-4 于點P,Q.求的值.

本題(Ⅰ)比較簡單,容易求得橢圓C方程為:1.本文只對(Ⅱ)進行研究.

1 解法探究

解析幾何的核心思想是用代數方法研究幾何問題,解題過程中,首先要用代數語言描述幾何要素及其關系,實現幾何條件代數化.因此,必須重視對幾何關系的深人研究,探究用代數形式恰當表示幾何關系,方便代數運算,形成正確的解題策略.

(Ⅱ)的條件中涉及橢圓、4 條直線和6 個點.4 條直線中一條已知, 另外三條都是三點共線的動直線.6 個點中M、N、A三點在橢圓上,P、B、Q三點在定直線上.三條動直線如何表征,M、N在橢圓上如何表征是運用解題條件解題應該思考的二個問題.由于P、B、Q三點在直線x=-4 上,因而解題目標中比值問題轉化為P、Q縱坐標的關系問題,P、Q縱坐標關系如何表征成為解題思考的第三個問題.解題過程中如何消元、如何運算是核心問題與關鍵所在.

思路1直線l的方程用點斜式方程

解法1設P(-4,p),Q(-4,q),M(x1,y1),N(x2,y2),直線MN的方程為:

與橢圓C方程聯立化簡可得:(4k2+1)x2+ 32k2x+(64k2-8)=0,則

直線MA的方程為:y+1=(x+2),令x=-4 得

同理可得:

5 個方程,6 個未知數,可以求出p、q的關系,消元可用3種方法.

方法1消去y1,y2,計算過程中把與k有關的式子整體用(x1+x2)代換.求p、q的比值.

方法2消去y1,y2,尋找x1x2與(x1+x2)的關系,求p、q的比值.因為

故

方法3消去y1,y2,尋找x1x2與(x1+x2)的關系,求p+q.p=-2×-1 =,同理可得:

又x1x2+8 =-3(x1+x2).故p+q= 0,p=-q.從而

評析p+q與中,方程根的結構顯然都不對稱,無法直接應用韋達定理, 方法1 先把能用韋達定理的應用韋達定理, 不能直接應用韋達定理的將與k有關的式子整體用(x1+x2)代換.方法2、3 通過x1x2與(x1+x2)的關系將非對稱問題轉化為對稱問題.這兩種方法是處理此類非對稱結構問題的常用方法,值得重視.思路2 中也是用這樣的方法處理此類問題的.

思路2直線l的方程用橫截式方程

解法2設P(-4,p),Q(-4,q),M(x1,y1),N(x2,y2).當直線l的斜率為0 時, 不妨設則AM:y=,得y1=同理,

當直線l的斜率不為0 時, 設l的方程為x=ny -4與橢圓方程聯立化簡得(n2+ 4)y2-8ny+ 8 = 0,Δ = (8n)2-32(n2+ 4)＞0, 得n ＜ -2 或n ＞2.由韋達定理有y1+y2=,y1y2=由A,M,P三點共線有kAM=kAP, 即有同理q=

消去y1、y2同樣可用3 種方法,這里僅給出方法2.

方法2尋找y1y2與(y1+y2)的關系,求p+q.

由韋達定理有:(y1+y2)=ny1y2,則

故p=-q,即

思路3M、N的坐標用P、Q縱坐標表示.

解法3設P(-4,p),Q(-4,q),M(x1,y1),N(x2,y2),則PA:y=-p-2 與橢圓方程聯立化簡得(p2+2p+2)x2+4(p2+3p+2)x+4(p+2)2-8=0,由韋達定理得到:-2x1=所以x1=代入直線PA的方程得y1=即同理可得由kMB=kNB有

2 推廣探究

問題1此題中點B與點A有什么關系? 如圖, 猜想AB為橢圓的切線.事實上, 直線AB的方程為x+2y+4=0,與橢圓方程聯立消去x得y2+2y+1=0,Δ=0.AB為橢圓的切線.

問題2過點B的切線有兩條, 點A改為點C(-2,1),點B是否仍為PQ的中點? 同解法1 不難得到結論成立.

問題3點A在直線x=-2 上移動時,點B是否仍為PQ的中點? 同解法1 不難得到結論成立.于是,本題(Ⅱ)推廣為:過點B(-4,0)的直線l交橢圓C于點M,N,點A是直線x=-2 上一點,直線MA,NA分別交直線x=-4 于點P,Q.則點B為PQ的中點.

問題4點A與點B有什么的關系時,點B為PQ的中點?

解設P(m,p),Q(m,q),M(x1,y1),N(x2,y2),A(s,t).當直線l的斜率為0 時, 不妨設M(-a,0),N(a,0).由A,M,P三點共線有同理,若p+q= 0,則化簡得:

當直線l的斜率不為0 時,設其方程為:x=ny+m與橢圓C的方程聯立化簡得:(a2+b2n2)y2+ 2nmb2y+b2(m2-a2)= 0.則y1+y2==,ny1y2=-(y1+y2).由A,M,P三點共線有則p=同理,

推廣到一般有:

性質1已知橢圓過點B(m,0)的直線l交橢圓C于點M,N,A為直線x=上的一個動點,若直線MA,NA分別交直線x=m于點P,Q,則B為PQ的中點.

探究其逆命題有:

性質2已知橢圓直線l:x=m與x軸交點為B,PQ在直線l上,且B為PQ的中點,過點B的直線交橢圓C于點M,N,則PM,NQ的交點A在定直線上.

簡證由問題4 知

探究其逆命題,定值問題轉化為定點(直線)問題.雙曲線、拋物線也有類似的結論.

3 引申探究

問題5把點A所在直線移到橢圓外面,把B點移到橢圓內部,會有什么結論呢? 利用GeoGebra 探究發現,結論仍然成立.不僅如此,特別地,如圖,當點A在x軸上還新的結論.

變式過點B(-2,0)的直線l交橢圓1 于點M,N, 點A是直線x=-4 與x軸的交點, 則∠NAB=∠BAM.

證明設M(x1,y1),N(x2,y2).直線l:x=ny -2與橢圓C方程聯立化簡得(4+n2)y2-4ny -4 = 0,由韋達定理有:y1+y2=則ny1y2=-(y1+y2).而

故∠OMA=∠OMB.

變式產生了新的定值問題,從變式中可以找到近幾年的高考試題.

例1(2018年高考全國Ⅰ卷理科第19 題)設橢圓的右焦點為F, 過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0).

(Ⅰ)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;

(ⅠⅠ)設O為坐標原點,證明∠OMA=∠OMB.

例2(2015年高考全國Ⅰ卷理科第20 題)在直角坐標系xOy中,曲線C:y=與直線y=kx+a交與M,N兩點.

(Ⅰ)當k=0 時,分別求C在點M和N處的切線方程;

(ⅠⅠ)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN? 說明理由.

依照如上思路,我們也可以得到如下已知結論:

性質3[2]已知橢圓= 1(a ＞b ＞0), 點(0＜|m| ＜a).設不與x軸垂直的直線l與橢圓交于A,B兩點, 則直線l過定點(m,0)充要條件是x軸是∠AMB的角平分線.

雙曲線、拋物線也有類似的結論.有興趣的讀者可自己嘗試總結與證明.

定值問題求解的方法通常有兩種:一種是特殊值求法,另一種是直接推理計算.不論使用哪種方法都需要嚴謹的推理能力,扎實的運算能力,這也是數學核心素養的要求使然.

GeoGebra 動態數學軟件融代數、微積分與幾何功能于一體,以“動態”為特色,對高中數學具有無以倫比的獨特優勢,很多高中數學問題都可以用它進行研究.利用GeoGebra動態數學軟件研究高考題,能發掘其內涵,探索出新結論,領會高考試題命制的背景、意圖及其蘊含的真諦.

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出:在教學活動中,應結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養設計合適的情境和問題,引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題,使用恰當的數學語言描述問題,用數學的思想、方法解決問題.通過探究活動,讓學生體驗數學的發現和創造歷程,引導他們勇于發現問題、提出問題、解決問題,進而在分析、類比、猜想、證明過程中理解數學內容的本質,激發學生的潛能,培養學生邏輯推理、數學抽象、直觀想象等核心素養,促進學生數學學科核心素養的形成和發展.