二維趨化N-S方程解的唯一性準則

2021-01-07 01:24:00郭貓駝苑佳

應用數學 2021年1期

郭貓駝，苑佳

(北京航空航天大學數學科學學院，北京100191)

1.引言

在本文中，我們研究的是不可壓趨化Navier-Stokes方程（簡稱為趨化N-S方程），其表達式如下：

系統(1.1)描述的是不可壓流體中微生物的趨化現象，關于這類方程的解的適定性問題有很多的研究工作.在2010年，DUAN和Lorz[3]證明了系統(1.1)在二維以及三維的有界區域（不含通量的邊界條件）內弱解的局部存在性；隨后，LIU和Lorz[4]在關于χ(c)，f(c)的假設

以及c0，Φ的初值很小的條件下，得到了系統(1.1)在二維空間中的整體存在性.在2013年，系統(1.1)的古典解在二維和三維空間中的局部存在性在文[5]中被建立.在2014年，Chae，KANG和Lee[6]證明了在二維以及三維空間中，系統(1.1)光滑解的局部適定性并且在Hm，m ≤3的框架中建立了解的某些爆破準則.之后，ZHANG[7]把該結果拓展到了Besov空間.同樣在2014年，在κ = 1且χ(c)為常數的情況下，ZHANG和ZHENG[8]獲得了能量解的整體適定性.在2017年，對系統(1.1)考慮一個額外的細菌密度增長源時，Braukhoff[9]在二維空間上建立了古典解的整體存在性和唯一性以及在三維空間下弱解的整體存在性.同時在2018年，在滿足‖n0‖L1(R2)足夠小并且對于χ(c)，f(c)滿足χ(c)，f(c)，χ′(c)，f(c) ≥0時，解的整體適定性以及時間衰減估計在文[10]中被建立.但是在三維條件下，系統(1.1) 帶有大初值問題的解是否整體存在、是否爆破依然是一個公開的問題.

我們要研究的是二維趨化N-S方程系統中的一類，其表達式如下：

對于上述系統(1.2)，在初值屬于X0?{(n0，c0，u0)|n0∈L1∩L2(R2)，n0＞0;c0∈L2∩L∞(R2)，c0＞0;u0∈H1(R2)}時，從文[1]中已經有了弱解的存在性的結果，其結果如下：

并且滿足n(x，t) ＞0，c(x，t) ＞0.但是系統(1.2)弱解的唯一性研究依然是一個公開的問題，本文主要工作就是為系統(1.2)的唯一性研究做進一步的推進工作，我們得到了系統(1.2)的唯一性準則，結果如下.

定理1.1對于任意的(n0，c0，u0)∈X0以及?φ ∈L∞(R2)，若系統(1.2)的弱解滿足

那么系統(1.4)的弱解具有唯一性.

2.預備知識

首先引入如下的單位分解定理[2]：

定理2.1設Ψ是一個以原點為中心，長半徑為短半徑為的環，則存在兩個徑向函數滿足且

在以上單位分解定理的基礎上，引入一些記號如下：

根據以上的Littlewood-Paley算子Δj的定義，有如下的非齊次Littlewood-Paley分解

同時可以有如下非齊次Besov空間的定義：

定義2.1設(p，r)∈[1，+∞]2，s ∈R，那么非齊次Besov空間(Rd) 定義為：

定義2.2當T ＞0，ρ ≥1時，記表示滿足下列表達式的所有緩增廣義函數的集合，

定義2.3當T ＞0，ρ ≥1時，我們記表示滿足如下條件的緩增廣義函數u的集合

根據Minkowski不等式，發現：當s ∈R，ρ ≥1且(p，r)∈[1，∞]2時，如果r ≥ρ，嵌入到如果ρ ≥r，嵌入到在本文定理證明的過程中需要用到以下引理.

引理2.1(Bernstein不等式) 令1 ≤p ≤q ≤∞，假設f ∈Lp，那么存在一個不依賴于f和j的常數C，滿足

3.定理1.1的證明

為證明定理1.1，我們需要首先證明以下的引理3.1與引理3.2，這兩個定理對于定理1.1的證明有很重要的作用.

引理3.1在初值屬于X0條件下，系統(1.2)的弱解有如下正則性:

證首先用算子Δq(q ≥0)作用系統(1.2)的第三個方程兩邊，從而有

然后在上述式子(3.1)兩邊同時乘以Δqu，并且對于空間變量積分，應用Bernstein不等式，可以得到

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