Heisenberg群上與Schrdinger算子相關(guān)的Poisson半群的分數(shù)階導數(shù)估計

孫傳紅，李澎濤

(青島大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，山東 青島266071)

1.引言

令L=-ΔHn+V 為Heisenberg群Hn上的Schrdinger算子，其中ΔHn為Heisenberg群Hn上的次Laplace算子，非負位勢V 屬于逆Hlder類BQ/2，這里Q為Heisenberg群Hn的齊次維數(shù).Heisenberg群Hn在Lie群上的底流形是R2n× R，它的乘積為(x，t)(y，s) = (x + y，t + s +它的左不變向量場的Lie代數(shù)為

這里所有非平凡關(guān)系為[Xj，Xn+j] = -4X2n+1，j = 1，2...，n.次Laplace算子ΔHn定義為梯度?Hn定義為?Hn=(X1，...，X2n).

Hn上的伸縮為δr(x，t) = (rx，r2t)，r ＞0，左不變距離為d(η，g) = |η-1g|，那么以g為球心，r為半徑的球可以表示為

球的體積為|B(g，r)|=cnrQ，這里并且Q=2n+2為Hn的齊次維數(shù).

設(shè)V 是一個Hn上非負局部Lq可積函數(shù)，如果對Hn上的每個球B，都存在C ＞0使得逆Hlder不等式

性質(zhì)1.1[1]存在C ＞0和m0≥1使得對任意的Hn上的g和η，有

在文[11]中，MA等人得到了Rn上與Schrdinger算子有關(guān)的Poisson核正則性估計，本文中，我們將其推廣到Hn上.

定義1.1Hn上的一個連續(xù)函數(shù)f屬于(Hn)，0 ＜α ≤1，如果

且

令Un是在Cn+1上的Siegel上半空間，

這里Un全純等價于Cn+1中的單位球.Heisenberg群Hn是Un的一個自同構(gòu)的冪零子群.Heisenberg群Hn也可以用邊界?Un定義[12].我們用Heisenberg坐標(g，t) = (x，s，t)來表示在Un上的點，這里

對于Hn上的任意球B =B(g，r)，我們定義在球B上的Carleson方體Ω(g，r)為

如果Un上的一個非負的Borel測度μ滿足

則稱μ為分數(shù)階的Carleson測度.

下面我們給出與L相關(guān)的BMO型空間.

定義1.2一個局部可積的函數(shù)f屬于(Hn)，0 ≤α ≤1，如果存在一個常數(shù)C使得

注1.1如果0 ＜α ≤1，那么和是等價的，參見文[13].

2.主要定理及其證明

設(shè)β是一個正數(shù)，m = [β] + 1表示大于β的最小整數(shù).令F(g，t)是一個函數(shù)，其中g(shù) ∈Hn和t ＞0.類似于[14]，我們定義

本文我們用Γ和B分別表示Gamma函數(shù)和Beta函數(shù).

引理2.1令0 ＜γ ＜1，f是一個連續(xù)函數(shù)，并且使得|f(g)|≤Cρ(g)γ，這里ρ是在(1.1)中定義的輔助函數(shù).那么有

(i) 對任意的ε ＞0，函數(shù)f(g)(1+|g|)-(Q+γ+ε)可積;

(ii) 對任意的β ＞γ和N ＞0，存在一個常數(shù)Cβ，N，f使得

(iii) 對任意的N ＞0，存在一個常數(shù)CN，f使得

證對于(i)，只需證明積分

是有限的.通過不等式(1.2)，我們得到ρ(g)≤Cρ(0)2j，因此

對于(ii)，由命題2.1(b)和引理1.1，對于常數(shù)C =Cβ，N，f，我們有

(iii) 可以類似的證明，這里我們略去細節(jié).

引理2.2[1]對于任意的N ＞0，存在一個常數(shù)c，并且對于每一個N都有一個常數(shù)CN＞0使得

令

引理2.3[1]令δ =2-Q/q ∈(0，1)，存在一個常數(shù)c，并且對于每一個N都有一個常數(shù)CN使得

(i)

(ii) 對所有|u|≤t，

(iii)

注2.1令0 ＜δ′≤δ，從引理2.3(iii)可以得到對于任意的N ＞0，存在一個常數(shù)CN使得

通過(2.2)式和參考文[15]中的Bochner從屬公式，我們有

對于任意的g ∈Hn，t ＞0，Poisson核可以表示為

下面通過(2.1)計算Poisson核的分數(shù)階導數(shù)，我們利用Hermite多項式Hm(r)，這里m ∈通過(2.3)和(2.4)，可得

因此，對任意m ≥1，有

由β ＞0和m=[β]+1，我們可以得到

命題2.1令β ＞0，對任意的0 ＜δ′≤δ，0 ＜δ′＜β和N ＞0，存在一個常數(shù)C = CN，β，δ′，使得

證首先證明(a)，通過(2.4)的第二個等式和引理2.2，可以得到

對于I1，進行變量替換: z =(t2+|η-1g|2)/u，我們有

對I2，有

故(a)得證.

下面證明(b)，我們估計在(2.5)中括號里的積分

通過(2.5)和引理2.3(i)，可得

這就證明了(b).

對于(c)，通過(2.5)和(2.6)式的估計，以及引理2.3(ii)，可得

對于(d)，令0 ＜δ′≤δ和0 ＜δ′＜β，通過注2.1和變量替換: w =t/v，可得

我們把(2.7)式中的積分分為兩部分，一方面，

另一方面，我們分兩種情況討論.當t/ρ(g)≤1時，有

當t/ρ(g)＞1時，可得

因此，(d)成立.

引理2.4算子從L2(Hn)到是等距的，并且有

命題2.2令f ∈0 ＜α ≤1，B = B(g，r)，其中r ＜ρ(g)，那么存在一個常數(shù)C =Cα使得

證設(shè)j0是一個正整數(shù)，使得2j0r ≤ρ(g)＜2j0+1r，因為所以有

注2.2從命題2.2的證明可以看出，如果f屬于BMOL(Hn)=(Hn)，B =B(g，r)和r ＜ρ(g)，我們有

在文[10]中，YANG等證明了如下函數(shù)空間的對偶關(guān)系.

定理2.1令q ＞Q和0 ≤α ＜1，則的對偶空間是

類似于[11]中的結(jié)果，我們可以得到如下BMO型空間的等價刻畫.

定理2.2令0 ＜α ＜1，f是一個使得對任意ε ＞0，都有f(g)(1+|g|)-(Q+α+ε)可積的函數(shù)，當β ＞α，q ＞Q時，下面的敘述是等價的：

(ii) 存在一個常數(shù)c1，β使得

(iii) 存在一個常數(shù)c2，β使得對Hn上所有的球B =B(g0，r)，令={(g，t): g ∈B，0 ＜t ≤r}，有

證證明(i)?(ii).令我們有

通過命題2.1(b)，可得

對I2，我們分兩種情況討論.當ρ(g)≤t時，由命題2.1(b)，有

當ρ(g) ＞t時，因為q ＞Q，所以δ = 2-Q/q ＞1.我們?nèi)ˇ摹涫沟忙?＜δ′≤δ，δ′＜β.通過命題2.1(d)，可得

證明(iii)?(i).類似于文[16]，利用Hardy型空間的原子分解，我們可以證明下面平方函數(shù)

定理2.3假設(shè)q ＞Q，令σ是一個正數(shù)，0 ＜α ＜1，并且

(iii) 令a是一個在[0，∞)上的有界函數(shù)并且定義

證首先證明(i).因為所以有

通過引理2.1(iii)，由|f(g)|≤Cρ(g)α，可得

這里0 ＜N1＜σ，并且N2＞α+σ.因此，Lf(g) ≤Cρ(g)α+σ.通過引理2.1和定理2.2，對任意的β ＞α+σ，可以證明由(2.9)式和引理2.1，用Fubini定理，可得

這里w =t+s.因為β ＞α+σ，通過定理2.2可得

下面證明(ii).對任意的β ＞α，由于0 ＜σ ＜α ＜1，我們有

這里I1(g，t)表示從0 到t的積分.因為通過引理2.1(ii)，可得

在引理2.1(iii)中，取N =α，有

由于β ＞α，通過定理2.2，可得

通過定理2.2和Fubini定理，可得

所以(ii)得證.

通過引理2.1(ii)，β =1和N ＞α，可得

因此，|m(L)f(g)|≤Cρ(g)α.

通過定理2.2和Fubini定理，得到