次線性期望空間下行END陣列的完全收斂性

占周婷，吳群英

( 桂林理工大學(xué)理學(xué)院，廣西 桂林541004)

1.引言及引理

隨著社會和科學(xué)的發(fā)展，極限理論被廣泛的應(yīng)用到統(tǒng)計、經(jīng)濟和金融等領(lǐng)域中.經(jīng)典極限理論是在模型確定的條件下成立，然而模型確定性假設(shè)在現(xiàn)實生活中許多應(yīng)用領(lǐng)域是不成立的，因為不確定性現(xiàn)象無法用確定性模型解釋.在經(jīng)典極限理論中，概率和期望是具有可加性的，而現(xiàn)實生活中很多不確定現(xiàn)象不符合線性可加的條件.因此為解決經(jīng)典極限理論在應(yīng)用方面受到的限制，彭實戈院士[1]引入了次線性期望空間理論，并給出了次線性期望理論的完整公理體系.次線性期望是經(jīng)典線性期望的延伸，近幾年一系列新的研究結(jié)果被大量應(yīng)用于統(tǒng)計、金融、經(jīng)濟和風(fēng)險度量等方面.如PENG[2]證明了次線性期望下的中心極限定理；ZHANG[3-5]研究了次線性期望下END序列的Kolmogorov強大數(shù)定律、矩不等式、重對數(shù)律以及獨立和ND情況下的Rosenthal’s不等式; WU和JIANG[6]研究得到次線性期望下的強大數(shù)律與Chover’s型重對數(shù)律; HU[7]研究得到次線性期望空間下一般矩條件的強大數(shù)律;WANG和WU[8]研究了次線性期望下行END陣列的完全收斂性.

完全收斂性最初是由統(tǒng)計學(xué)者HSU和ROBBINS[9]在1947年提出，至此吸引了廣大學(xué)者的興趣.現(xiàn)如今，經(jīng)典概率空間中關(guān)于完全收斂性的研究成果已經(jīng)碩果累累.如KATE[10]和BAUM[11]得到了獨立同分布隨機變量部分和完全收斂的充分必要條件; 白志東和蘇淳[12]加強并改進了KATE和BAUM獨立同分布隨機變量部分和完全收斂性的研究結(jié)果; WU[13-14]分別給出了ND序列和ND陣列隨機變量完全收斂性的證明; 孟兵和吳群英[15]證明了ND陣列加權(quán)乘積和的完全收斂性; YI等[16]研究了NOD序列加權(quán)和的完全收斂性; SUNG[17]運用指數(shù)不等式得到了一個針對于獨立隨機變量陣列的新的完全收斂的結(jié)果; HU[18]等得到了行END陣列的完全收斂性.在次線性期望下雖然有LI和WU[19]證明了廣義獨立陣列的完全收斂和完全積分收斂性.但作為一種誕生不久的理論，次線性期望空間中關(guān)于極限理論的研究還需大量投入與輸出.本文在現(xiàn)有的理論基礎(chǔ)上，進一步將文[18]中定理3.1從概率空間中行END陣列的完全收斂性推廣到次線性期望下行END陣列的完全收斂性，并且進一步擴展了條件范圍得到相應(yīng)的結(jié)果.

我們使用彭實戈院士[1-2]提出的次線性期望空間的框架，假設(shè)(Ω，F(xiàn))是給定的可測空間，H是定義在(Ω，F(xiàn))上由實函數(shù)構(gòu)成的線性空間，使得如果X1，X2，··· ，Xn∈H，則對于任意的φ ∈Cl，Lip(Rn)有φ(X1，X2，··· ，Xn) ∈H，其中Cl，Lip(Rn)表示在線性空間的局部Lipschitz函數(shù)，即對任意φ ∈Cl，Lip(Rn)，存在常數(shù)c ＞0，m ∈N取決于φ，都有

也稱H是由隨機變量所構(gòu)成的空間，并記X ∈H.

定義1.1[4]在空間H上的如果對任意的X，Y ∈H滿足以下四個條件：

定義1.2[4]令G ?F，如果函數(shù)V :G →[0，1]滿足以下兩個條件:

1) V(?)=0，V(Ω)=1;

2) 對任意A ?B，A，B ∈G，則有V(A)≤V(B).

則稱V 為容度.如果對所有的A，B ∈G，有V(A ∪B)≤V(A)+V(B)，則稱V 具有次可加性; 如果對任意An∈F，有則稱V 具有可數(shù)次可加性.

在次線性期望空間中對上容度V和下容度V的定義如下:

其中，Ac為A的的補集.因此根據(jù)定義很容易可以看出V具有次可加性，且

如果I(A)∈H，有

如果f ≤I(A)≤g，f，g ∈H，則有

對于?X ∈H，p ＞0，x ＞0，因為

成立.

定義1.3[4]定義Choquet積分為

其中V 可由上容度V和下容度V替換.

定義1.4[3](END) 在次線性期望空間(Ω，H，)下隨機變量序列{Xn;n ≥1}被稱為END隨機變量序列，如果存在常數(shù)K ≥1，使得對任意的屬于Cb，Lip(R)的非降(或非增)的非負函數(shù)φi，都有

成立.

設(shè){kn;n ≥1}是正整數(shù)序列，如果對任意固定的n ≥1，{Xni;1 ≤i ≤kn}是END序列，則稱{Xni;1 ≤i ≤kn，n ≥1}為行END陣列.

顯然，根據(jù)END隨機變量序列的定義很容易可以得到，如果{Xn;n ≥1}是END隨機變量序列，f1(x)，f2(x)，··· ∈Cl，Lip(R)是非降(或非增)的函數(shù)，則{fn(Xn);n ≥1}也是END隨機變量序列.

本文約定，C總代表一個正常數(shù)，在不同的地方可取不同的值; an?bn表示存在常數(shù)C使得對充分大的n都有an≤Cbn; I(·)表示示性函數(shù).

為證本文的結(jié)論，我們需要下面的引理.

引理1.1[3]設(shè){Xn;n ≥1}是次線性期望空間下的END隨機變量序列，且0，令則

且對任意的p ≥2，存在常數(shù)Cp≥1，使得

其中K是END隨機變量序列定義中的控制常數(shù).

引理1.2設(shè){Xn;n ≥1}是次線性期望空間下的END隨機變量序列，且Xk≤0，令且存在y ＞0使得|Xk|≤y，則對任意的x ＞0，n ≥1和0 ＜p ≤2，都有

其中K的定義同(1.4).

證由END序列的定義可知，對任意的t ＞0，{etXk;k ≥1}也是END序列，則有

對t ＞0和0 ＜p ≤2，定義函數(shù)k(x) = (etx-1-tx)/xp，?x ＞0，則容易證得k(x)在x ＞0上單調(diào)遞增.因此當(dāng)t ＞0和0 ＜p ≤2 時，函數(shù)k(x)=(etx-1-tx)/xp，?x ＞0是增函數(shù)，以及|Xk|≤y可得

又由ex＞x+1，?x ＞0可得

因此由(1.2)和(1.6)式可得

所以就完成了引理1.2的證明.

2.主要結(jié)果及其證明

在次線性期望空間中，由于次線性期望和容度不再具有可加性，所以對次線性期望空間的完全收斂性的研究與經(jīng)典概率空間的相比有所不同，且更具挑戰(zhàn)性.

假設(shè){Xni;1 ≤i ≤kn，n ≥1} 是次線性期望空間下的行END隨機變量陣列，{kn}是正整數(shù)序列，{an;n ≥1}是非減的正常數(shù)序列.由END序列的定義可知，為了確保截尾后的隨機變量陣列也是行END陣列，需采用定義在Cl，Lip(R)上的非減函數(shù)或非增函數(shù)來進行截尾.令fb(x)=-bI(x ＜-b)+xI(|x|≤b)+bI(x ＞b)，?b ＞0.

對ε ＞0 和λ ＞0，令

顯然Xni=Yni+Zni.因為fb(x)∈Cl，Lip以及fb(x)是非減的，所以{Yni;1 ≤i ≤kn，n ≥1}也是行END 隨機變量陣列.

定理2.1假設(shè){Xni;1 ≤i ≤kn，n ≥1}是次線性期望空間下的行END隨機變量陣列，{kn;n ≥1}是正整數(shù)序列，{an;n ≥1}是非減的正常數(shù)序列，其中{Yni;1 ≤i ≤kn，n ≥1}由(2.1)定義，如果

存在λ ＞0和0 ＜p ≤2或者0 ＜λ ≤1和p ＞2使得

則

注定理2.1是將文[18]中定理3.1的結(jié)論從概率空間推廣到了次線性期望空間，并推廣得到更一般的結(jié)果.文[20]的定理3.2雖然也是將文[18]中定理3.1的結(jié)論推廣到次線性期望空間，但是它的期望定義與本文不同，所以得到的結(jié)論與本文的結(jié)論互不包含.

證由(2.1)可知

所以要證明(2.4)式，只需證

首先將所有自然數(shù)分為如下A11和A12兩個數(shù)集：

由A12的定義和(2.3)式很容易可以得到

因此，只需證明

首先證明j =1時的(2.8)式.由(2.2)式就有

再證明j =2時的(2.8)式.下面分為三種情況來證明.

由此便完成了在0 ＜p ≤2和0 ＜λ ≤1條件下的(2.4)式的證明.

由此完成了在0 ＜p ≤2和λ ＞1條件下的(2.4)式的證明.

所以要證明j = 2時的(2.8)式，只需證明I21＜∞和I22＜∞.首先證明I21＜∞.由0 ＜λ ≤1和(2.3)式可得

再證明I22＜∞.由當(dāng)x ＞0時和(2.3)式可得

由此就得到了在p ＞2和0 ＜λ ≤1條件下的(2.4)式.

結(jié)合1)，2)和3)便完成了(2.4)的證明.

因此有

這樣就得到了(2.5)式.

這便得到式子(2.6)，即完成了定理2.1的證明.