芻議中美小學“異分母分數加減法”的異同點

吳哲棟 吳海青

數學運算是數學學科的核心素養之一。培養學生的運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑來解決問題。異分母分數加減法是小學數學計算的重要內容之一，也是學生較難掌握的內容。本文通過對美國Go Math教材（以下簡稱“Go Math教材”）與北師大版教材中異分母分數加減法內容進行比較分析，希望能給一線教師在教學該部分內容時提供參考，同時對教材編寫者提出一些建議。

一、教材內容編排相同點

1. 異分母分數加減法均安排在五年級。Go Math教材與北師大版教材均把異分母分數加減法內容安排在五年級，北師大版教材安排在五年級下冊第一單元的第2至第10頁;Go Math教材的五年級數學只有一本教材，共11單元，異分母分數加減法安排在第六單元，從第241頁至第288頁。可以說，兩個版本教材異分母分數加減法內容安排的年級以及學習時間基本相同。

2. 控制分母的大小，降低計算難度。兩個版本教材異分母分數加減法中的分母均以小于20的數為主，偶爾出現大于20的分母也是像60、80一類的整十數。 由于分母數字較小，求公分母通分的計算過程難度不大，重在引導學生理解算理及對計算方法的掌握。

3. 注重幾何直觀操作，在豐富學生數學體驗與思維經驗基礎上理解算理。兩個版本教材均注重借助幾何直觀圖形，采用數形結合的方法，通過畫一畫、涂一涂等環節，把抽象內容具象化，讓學生參與整個操作探究過程，達到理解算理的目的。如Go Math教材創設了長方形面積模型，把長方形看成“1”，如果平均分成二份，每一份就是，如果平均分成四份，每一份就是，把抽象的異分母分數加法算式+轉化為兩個圖形面積的相加（圖1）。

北師大版教材設計了折紙活動，學生通過畫一畫、折一折等具體操作，借助分數的面積模型，體會異分母分數+相加的意義和過程，幫助學生理解異分母分數加減法的計算道理。

4. 均利用轉化的數學思想，注重知識間的內在聯系，完善認識結構。在學習異分母分數加減法之前，學生們已經掌握了同分母分數加減法的計算方法，也就是“分母不變，分子相加減”。異分母分數分母不同，分數單位不同，要進行加減，就必須把它們轉化成相同的分數單位，然后再按同分母分數加減法的計算方法進行計算，所以關鍵是怎么把異分母分數轉化成同分母分數。兩個版本教材均提供了兩種通分方法，一是以兩個分母直接相乘的乘積為公分母;二是以兩個分母的最小公倍數為公分母。

5. 均注重計算教學與解決問題相結合。計算教學通常比較枯燥，兩個版本教材均創設了讓學生應用異分母分數加減法知識解決實際問題的情境，盡量做到情境的生動有趣。如北師大版教材創設“折紙”“星期日的安排”等學生熟悉的情境;Go Math教材也創設了“設計種植花園”“制作餡餅烘焙義賣”以及“用殼珠子和玻璃珠子編織籃子活動”等學生熟知的情境。

二、教材內容編排不同點

1. Go Math教材本單元的內容更多、范圍更廣、分得更細，北師大版教材更簡潔明了。如北師大版教材的第一節“折紙（異分母分數加減法）”，一般為一個課時，Go Math教材把這一內容分成了五個課時來完成，分別是：第一節“異分母分數加法”，第二節“異分母分數減法”，第四節“公分母與相等分數”以及第五節“異分母分數加減法”。Go Math教材專門安排了一節“估算異分母分數的和與差”內容，利用一節課時間專門針對異分母分數加減法進行估算訓練，這一點很獨特。另外，Go Math教材還涉及異分母帶分數加減法（被減數的分數部分比減數的分數部分更小，需要借位進行異分母帶分數減法）、分數數列的找規律的內容，這些是北師大版教材中沒有的。

北師大版教材本單元只有三節新課，第一節“折紙” （異分母分數加減法），第二節“星期日的安排”（異分母分數的加減混合運算），第三節“分數王國”與“小數王國” （分數與小數互化），內容非常簡潔明了。

2. 北師大版教材更注重知識間的層次性，Go Math教材更重視幾何模型的建構。異分母分數加減法有三種情況，一是分母互質的分數，二是分母具有倍數關系的分數，三是分母具有相同因數的分數。北師大版教材在第一節“折紙”的情境中出現的是+這種分母有倍數關系的分數;在“試一試”環節出現分母具有相同因數的分數;然后在練習中出現分母互質的分數。教材先在例題中安排最簡單的分母有倍數關系的分數，要求所有學生都能掌握;當學生掌握了異分母分數加減法后，在“試一試”安排最難的分母具有倍數關系的分數，便于深入討論學習。最后在練習中出現分母互質的分數，讓學生體驗完整的類型。整個安排由易到難，層次性很強，符合學生認知發展規律。

Go Math教材第一節“異分母分數加法”及第二節“異分母分數減法”，兩節內容都是讓學生體驗如何根據長方形面積直觀模型及分數的意義，利用畫圖方法得出異分母分數加減法答案，而不是通過通分計算出答案。如異分母分數減法“-”，Go Math教材分成三步完成教學。第一步，先把一個長方形的面積看成整體“1”，在長方形“1”下面分兩行分別畫出它的和。第二步，教學4和8有倍數關系，1個可以分成2個，所以3個就是可以分成6個，再減去1個。第三步，得出結論是5個，也就是。整個計算過程全部依據畫圖（圖2）的方法，利用幾何模型得出結果。

3. 北師大版教材中的問題更具啟發性，Go Math教材中的指引更具操作性。北師大版教材第一節“折紙”，教材中提出三個問題。第一個問題“他倆一共用了這張紙的幾分之幾”，引導學生去探究異分母分數加法的算法和算理;第二個問題“笑笑比淘氣多用了這張紙的幾分之幾”，引導學生去探究異分母分數減法的算法和算理;第三個問題“分母不同的分數相加減怎樣計算？算一算，說一說”，引導學生總結異分母分數加減法的計算方法。問題層次性非常強，一環扣一環，一步比一步更深入，學生依據問題的提示與引導就可以探究出異分母分數加減法的計算方法。

Go Math教材通常是把問題的解決分成幾步來完成，每一步都很明確告知學生要做什么，學生按照步驟去做，就可以解決問題。如教學“估算+”，教材以填空的方式分三步進行教學。第一步，用黑點在數線上標出，在（0）和（）之間，更靠近（0），所以約等于（0）。第二步，用黑點在數線上標出，在（0）和（）之間，更靠近（），所以約等于（）。第三步，“+”就變成“0+”，所以“+”的答案就約等于。

三、建議與反思

1. 兩個版本教材均注重幾何直觀操作，通過豐富學生的數學體驗與思維去理解算理;均重視引導學生利用轉化思想，讓學生懂得發現知識間的內在聯系，以完善認識結構;均注重計算教學與解決問題相結合。筆者認為兩個版本教材的以上相同之處是當今小學數學教育發展的趨勢，我們應當堅持這個方向。

2. 控制分母的大小，降低計算難度，重在引導學生對算理的理解及計算方法的掌握。這是前些年我國課改的方向，也是當今世界數學計算教學發展的方向，國內教材已經朝這個方向做得很好，這一點我們應當保持。

3. 一線教師經常會遇到這種現象：部分學生知道怎么算異分母分數加減法，但總是說不清或不完全理解算理。針對這種情況，筆者建議一線教師可以嘗試借鑒Go Math教材的幾何模型方法，讓學生多操作、多動手畫一畫，把抽象的異分母分數計算與直觀的幾何圖形聯系起來，既生動又形象，學生自然就會理解算理，這么處理也符合這一年齡段學生的心理特點和認知規律。

4. 建議教材編寫者考慮增加“異分母分數加減法的估算”這一內容，這對學生學會對運算結果進行估計有積極作用，也是幫助學生形成數感的重要途徑。另外，Go Math教材中“異分母分數加減法中的估算”采用數形結合的辦法，把抽象的估算與具體形象的數線圖結合起來，既使學生學會通過數形結合的方法，把抽象的估算轉化成直觀的數線圖，也能提升估算能力，形成數感。這些都是非常值得借鑒的地方。

（作者單位：香港理工大學 廣東省深圳市寶安區實驗學校 責任編輯：王振輝）