初中數學微專題設計案例舉隅

陳 冬

初中數學微專題是常規數學教學的一種補充。它強調立足于學生實際和學習要求，對一些問題進行仔細梳理、篩選與提煉，從中遴選出切入口小、針對性強、角度新的微型問題進行突破，以達到相關教學目標?；谶@樣的特點，筆者以為，微專題中，“微”只是形式，“?！辈攀瞧浔举|。微專題設計，不宜標新立異，而應有機穿插，以“小”見“大”，旨在對常規教學做補充。為此，微專題的設計應更符合學生實際，例如可以從初中數學教學中“考點”的細化、“知識點”的延伸、“易錯易混點”的辨析、“思維角度”的轉換、“邊緣知識”的滲透等角度去研究與設計微專題。此外，微專題教學還有利于學生相關能力的培育，筆者從自己的實踐出發，現舉例如下。

一、培養學生直觀感知能力

微專題1：銳角三角函數的應用。

筆者的大體設計如下：

首先，給學生提供如圖1所示的兩塊三角板（其中BC=EF），由學生進行拼接，引出本節課的主題圖（圖2和圖3）；

其次，分別給圖2和圖3中三角形的角度與邊長賦值，讓學生求其他邊長。例如在圖2 中，已知∠A=30°，∠BDA=45°，問：若BD=2，則能求出其他的邊長嗎？若AB=2呢？

最后，給出一道拓展題，供學生研討。

如圖4，在一筆直的海岸線上有A、B兩個觀測站，A在B的正西方向，AB=2km，從A測得船C在北偏東56°的方向，從B 測得船C 在北偏西20°的方向，求船C離海岸線的距離（精確到0.1km）。（sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

【設計意圖】數學教學專家羅增儒教授在《解題學引論》中提出：“學習數學的過程中，所積累的知識經驗經過加工，會得出有長久保存價值或基本重要性的典型結構與重要類型——模式，將其有意識地記憶下來，并作有目的的簡單編碼。當遇到一個新問題時，我們辨認它屬于哪一類基本模式，聯想起一個已經解決的問題，以此為索引，在記憶貯存中提取出相應的方法來加以解決，這就是模式識別的解題策略?！绷_教授這里說的“模式”，筆者的理解就是指數學模型。因此，在平時數學教學中，我們要提醒學生重視數學模型，注意積累和運用數學模型，從而提高解題能力。本案例從學生十分熟悉的兩塊三角板入手，通過拼接逐漸發展變化形成“主題圖”，在“主題圖”變化的過程中，不僅發展了學生的直觀感知與思維能力，而且讓學生思考如何解決此類問題。找到了解決此類問題的關鍵，總結出了解決此類問題的策略，學生解決此類問題的能力才能得到提升。

二、培養學生邏輯推理能力

微專題設計往往從根源上一挖到底，將某一類問題研究透徹，使學生對這類問題能有一個清晰而透徹的認識，也使學生的學習能由橫向上的“細致”走向縱向上的“深入”。由此，微專題設計要由“表”及“里”，著力培養學生的邏輯推理能力。

微專題2：圖形的翻折。

筆者的大體設計為：

先帶領學生回顧如何找出對稱點、利用對稱性畫出翻折后的圖形、翻折后圖形的性質等已學知識，再精選例題進行講解。

例1：（1）如圖5，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM 為斜邊上的中線，將△ACM 沿著直線CM 折疊，點A 落在點D 處，若CD⊥AB，則∠A=_____°。

（2）如圖6，長方形紙片ABCD 的長為9，寬為3，將其折疊，使點D與點B 重合，求折疊后DE的長。

例2 ：如圖7，已知矩形ABCD，將△BCD沿對角線BD 折疊，點C落在點E 處，BE 交AD 于點F。根據圖形，先畫出翻折后的圖形，你能發現圖中有哪些因翻折而產生的相等的角和線段？

（1）若∠ADE=40°，則∠EBD=____°；

（2）若AB=4，BC=8，求AF的長度；

（3）連AE，求證：AE∥BD。

延伸思考：

（4）在（2）的情況下，S△AEF=________；

（5）延長BA、DE 相交于點G，聯結GF 并延長交BD于點H，求證：GH垂直平分BD。

【設計意圖】本案例要求學生能理解圖形翻折的直觀意義，認識平面圖形翻折的過程，在實例中理解軸對稱的意義。根據要求能畫出依線翻折后的圖形，知道翻折后圖形的形狀、大小保持不變，能運用翻折后的圖形的性質解決數學問題，提高學生解綜合問題的能力。例1 的第（1）小題，先顯示翻折圖形，問學生這個圖是如何作出來的，教師演示作圖過程。第（2）小題可以師生互動完成作圖，通過動態演示，達到直觀效果，也啟發學生由翻折后圖形的性質作為已知條件解決本題。例2 第（1）小題是相關角度的計算，第（2）小題是相關線段的計算，第（3）小題是相關幾何證明。這三個小題都圍繞“折疊的性質”展開，折疊是一種對稱變換，屬于軸對稱。折疊前后圖形形狀、大小不變，只是位置變化，對應邊、對應角相等。思考題屬于提高部分。第（1）題與面積相結合，兩個三角形是同高，面積之比等于底之比；第（2）小題需要用到“線段垂直平分線的判定定理”。本案例看似是簡單的“圖形翻折”，但就“圖形翻折”深挖，層層推進，不僅讓學生看到了“圖形翻折”的很多知識，而且也利用“圖形翻折”漸漸地培養了學生邏輯推理能力。

三、培養學生綜合應用能力

微專題設計的一個明顯特征就是“精”，主要體現在精選例題，讓學生就題目的不同特點選擇不同的方法，提高選擇合適方法解決問題的能力；精準練習，讓學生去悟透其包含的數學思想方法，從中獲得一定的數學活動經驗。因此微專題要設計“精”益求“精”，培養學生的綜合應用能力。

微專題3：動態問題中的相似三角形——全等變換與相似三角形。

筆者設計了4 個環節6 道例題來進行此微專題的教學。

（1）課前導學。

例1：如圖8，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，將△ACD 沿AD 折疊，使點C 落在斜邊AB 上的點E 處。則線段CD 的長度為_____。

例2：如圖9，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3。將直角△ABC 繞點C 按順時針方向旋轉90°到△A1B1C 位置，再將△A1B1C 沿射線CB平移到△A2B2C1位置，若點B2恰好落在AB 上，則平移的距離是______。

（2）典例導悟。

【設計意圖】通過“課前導學”的兩道例題，師生一起回顧了“平移、旋轉、翻折”三種變換；初步感受了動態變換中雖然圖形位置發生了改變，但對應線段、對應角沒有改變的特征，從而抓住“變中不變”這個特點，通過相似三角形的性質，建立方程模型求解問題。例1和例2讓學生經歷了“通過相似三角形的性質建構方程模型來解決問題”的過程，例2 還出現了“一線三等角”相似模型。變式1是在例2的基礎上進行的，讓學生充分接觸并體會了“多題一解、變中不變”的解題策略。變式2 再次出現“一線三等角”相似模型，通過相似三角形的性質建構函數模型解決問題。整堂課雖然題目不多，但是精挑細選，一題多變，題題相連，三種變換一應俱全，讓學生經歷了“尋相似三角形，證相似三角形，用相似三角形”的過程，充分感受到了相似三角形在解決動態變換問題中發揮的作用，達到“會一道，明一串”的效果。

綜上，微專題設計是常規課堂教學的有機穿插和補充，可以彌補傳統數學教學的不足和缺陷，從而實現數學教學的優化和創新。借助微專題設計，可以在復習數學基礎知識的同時，幫助學生形成良好的認知結構，活化數學知識的運用，真正實現從知識本位的掌握走向關鍵能力的培養。但微專題設計中選擇的難易度、切入的角度、挖掘的深度等方面的把握仍需要我們一線數學教師展開進一步探討。