淺談含參二次函數壓軸題的解法

林東斌

摘 ?要：含參的二次函數壓軸題，因其抽象、靈活多變而顯得深奧，對學生綜合能力要求很高，是近幾年全國各地中考壓軸題的必考類型之一。大多數學生對這類問題都望而生畏，找不到思維方向。其實，含參二次函數壓軸題也有一定的解題思路，消參、數形結合、化動為定是解決上述問題的三大主要策略。

關鍵詞：含參函數;消參;數形結合;化動為定

函數是初中數學的重要知識板塊，所涉及的性質與數學思想方法多，所涉及的問題很廣，綜合應用性很強。特別是含參的二次函數壓軸題，更是因其抽象、靈活多變而顯得深奧，對學生綜合能力要求很高，是近幾年全國各地中考壓軸題的必考類型之一。大多數學生對這類問題都望而生畏，找不到思維方向。其實，含參二次函數壓軸題也有一定的解題思路，下面以廣州市近幾年中考壓軸題為例，淺談一下含參二次函數壓軸題的類型及其基本思路。

一、消參

多參函數，就是函數解析式中包含多個參數，顯然參數的數量越多越不利于問題的解決，因此“消參”是解決多參函數的重要策略。在實際問題中，通常可以根據所給條件找到兩個參數之間的關系，將其中一個參數用另一個參數來表示，使多參變為一參，從而實現“消參”的目的，降低題目的難度。

例1（2020年廣州市第25題）

平面直角坐標系xOy中，拋物線G：y=ax2+bx+c（0

（1）用含a的式子表示b;

（2）求點E的坐標;

（3）若直線DE與拋物線G的另一個交點F的橫坐標為

+3，求y=ax2+bx+c在1<x<6時的取值范圍（用含a的式子表示）.

分析：

（1）將點A坐標代入解析式可得b=-6a，得到拋物線G：y=ax2-6ax+c，將三個參數先變成兩個;

（2）分兩種情況討論，由三角形面積關系，可得BE=CE+1，由對稱軸為x= ? ? ? =3，可求BC中點M的坐標（3，3），由線段的數量關系，可求EM= ? ? ，可求解;

（3）此時拋物線G：y=ax2-6ax+c還有兩個參數，要想辦法繼續“消參”，直到只剩下一個參數。

解法如下：

∵直線DE與拋物線G：y=ax2-6ax+c的另一個交點F的橫坐標為 ? ? ?+3，

∴y=a（ ? ? +3）2-6a×（ ? ? ?+3）+c= ? ? -9a+c，

∴點F（ ? ?+3， ? ?-9a+c），

∵點D是拋物線的頂點，

∴點D（3，-9a+c），

∴直線DF的解析式為：y=6x-18+c-9a，

∵點E坐標為（ ? ?，3）在直線DF上，

∴3=21-18+c-9a，∴c=9a，

∴拋物線解析式為：y=ax2-6ax+9a，

∵1<x<6，

∴當x=3時，ymin=0，當x=6時，ymax=9a，

∴0≤y<9a.

求出c=9a，得到拋物線解析式為：y=ax2﹣6ax+9a是本題的關鍵。

函數中含有多個參數是很難直接解決問題的，在初中階段，通常可以籠統地認為多參便是消參的提示，看到多個參數就可以利用題目中給出的有效信息進行轉化、消參，使得多個參數最后消成一個參數，讓問題變得清晰，降低問題難度，從而進一步解決問題。

二、數形結合

抽象是函數的本質特征，也是很多學生感到函數問題難度較大的原因之一，對于初中生而言，函數的概念確實比較抽象，而通過畫圖，數形結合，可以讓抽象的函數變得直觀，讓條件與問題變得明顯。

例2（2018年廣州市第24題）

已知拋物線y=x2+mx-2m-4（m>0）.

（1）證明：該拋物線與x軸總有兩個不同的交點;

（2）設該拋物線與x軸的兩個交點分別為A，B（點A在點B的右側），與y軸交于點C，A，B，C三點都在⊙P上.

①試判斷：不論m取任何正數，⊙P是否經過y軸上某個定點？若是，求出該定點的坐標;若不是，說明理由;

②若點C關于直線x=- ? ? ?的對稱點為點E，點D（0，1），連接BE，BD，DE，△BDE的周長記為l，⊙P的半徑記為r，求

的值.

分析：

（1）令y=0，再求出判別式，判斷即可得出結論;

（2）令y=0，∴x2+mx-2m-4=0，

∴（x﹣2）[x+（m+2）]=0，∴x=2或x=-（m+2），

∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），

∴OA=2，OB=m+2，

令x=0，∴y=-2（m+2），

∴C（0，-2（m+2）），

∴OC=2（m+2），

①通過定點（0，1）理由：如圖，

∵點A，B，C在⊙P上，

∴∠OCB=∠OAF，

在Rt△BOC中，tan∠OCB= ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ，

在Rt△AOF中，tan∠OAF= ? ? ? = ? ? ? ?= ? ? ?，

∴OF=1，

∴點F的坐標為（0，1）;

②如圖1，由①知，點F（0，1），

∵D（0，1），∴點D在⊙P上，

∵點E是點C關于拋物線的對稱軸的對稱點，

∴∠DCE=90°，

∵⊙P是△ABC的外接圓，∴點P在拋物線的對稱軸上，

∴點E在⊙P上，∴DE是⊙P的直徑，

∴∠DBE=90°，∵∠BED=∠OCB，

∴tan∠BED= ? ? ? ?，設BD=n，

在Rt△BDE中，tan∠BED= ? ? ? = ? ? ? = ? ? ?，

∴BE=2n，

根據勾股定理得，DE= ?BD2+BE2 = ?5 n，

∴1=BD+BE+DE=（3+ ?5 ?）n，r= ? ? DE= ? ? ?n，

∴ ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? .

圖像是函數的三種表達形式之一，它能形象地呈現出函數多方面性質。含參函數問題一般都比較抽象，直接根據題意無法理解其含義和厘清數量之間的關系，因此需借助圖像讓問題變得明顯。

很難想象不畫圖能解出此題，通過圖象易得三角形相似或者運用三角函數的知識來求定點。圖像不需要很精準，但頂點、對稱軸、開口方向、特殊點等關鍵要素要嚴謹準確，這樣才能利用圖像直觀的性質巧妙地解決含參函數抽象的問題。

近幾年廣州市的函數解答題都沒給出圖形，需要學生自己動手畫。所以在平時教學時要重視數形結合、強調在分析題目時畫示意圖，讓學生參與動手畫圖、分析圖象和使用圖象，學會根據圖象解決問題，讓學生經歷由數到形和由形到數的過程，感受數形結合的優越性。

三、化動為定

動態問題是數學經久不衰的經典問題，對數學基礎及思維的靈活性有很高的要求。含參函數問題，本身就是動態問題。參數的變化自然引起函數的變化。然而萬變不離其蹤，含參函數的變化不是毫無規律可循的，它的運動也是存在軌跡的。找定點，化動為定，是解決動態問題的基本原則。

例3（2019年廣州市第25題）

已知拋物線G：y=mx2-2mx-3有最低點.

（1）求二次函數y=mx2-2mx-3的最小值（用含m的式子表示）;

（2）將拋物線G向右平移m個單位得到拋物線G1.經過探究發現，隨著m的變化，拋物線G1頂點的縱坐標y與橫坐標x之間存在一個函數關系，求這個函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍;

（3）記（2）所求的函數為H，拋物線G與函數H的圖象交于點P，結合圖象，求點P的縱坐標的取值范圍.

分析：

（1）拋物線有最低點即開口向上，m>0，用配方法或公式法求得對稱軸和函數最小值.

（2）寫出拋物線G的頂點式，根據平移規律即得到拋物線G1的頂點式，進而得到拋物線G1頂點坐標（m+1，-m-3），即x=m+1，y=-m-3，x+y=-2即消去m，得到y與x的函數關系式.再由m>0，即求得x的取值范圍.

（3）如圖，函數H：y=-x-2（x>1）圖象為射線x=1時，y=-1-2=-3;x=2時，y=-2-2=-4

∴函數H的圖象恒過點B（2，-4）

∵拋物線G：y=mx2-2mx-3

∴拋物線G過定點（0，-3），由對稱性知

拋物線G過定點A（2，-3）

由圖象可知，若拋物線與函數H的圖象有交點P，則yB<yP<yA

∴點P縱坐標的取值范圍為-4<yP<-3

滿足條件的拋物線G有無數種情況，但不管怎么變化，拋物線G都恒過點A（2，﹣3），找到定點是此題的關鍵。

含參函數因為有參數的存在，看似是“動”的，但它常常與定點有關，所以求出定點、挖掘隱含條件對于解決含參函數問題非常必要。

消參、數形結合和化動為定是解決含參二次函數壓軸題的三大主要策略。當然含參二次函數問題還經常要對參數進行分類討論、運用“十字相乘法”對含參的一元二次方程進行因式分解等。

參考文獻：

[1]廣州市教育研究院.2020年廣州市初中畢業生學業考試年報[N].廣州：廣東教育出版社，2019.

（作者單位：廣東第二師范學院廣州南站附屬學校，廣東 ? 廣州 ? 510000）