（α，β）型Bazileviˇc 函數相鄰兩系數模之差的估計

牛瀟萌， 李書海

（赤峰學院 師范學院，內蒙古 赤峰024000）

設f（z）與g（z）在單位圓盤U=｛z：|z| ＜1｝內解析，如果存在U內滿足|ω（z）|≤|z|的解析函數ω（z），使得f（z）=g（ω（z）），則稱f（z）從屬于g（z），記作f（z）?g（z）.特別地，如果g（z）在U上是單葉的，則

的全體.顯然P（C，D）?P（1，-1）=P，P為熟知的正實部函數類.

設S表示在單位圓盤U內單葉解析函數

構成的函數類.S*、C和Bα分別表示通常的星象函數類，近于凸函數類和Bazileviˇc 函數類，它們都是S的子類且S*?C?Bα.

設

其級數中相鄰兩系數模之差‖Dn+1| - |Dn‖的估計是單葉函數論中的一個重要問題.對于f∈S的形式，還尚未完全解決，而且對于相鄰兩系數模之差的準確估計，在整個單葉函數族中要辦到，是一件不容易的事情.記

其中A為絕對常數.尋求最佳的b（λ）是一個有趣的問題.這個問題最初是由Goluzin 研究的，并證明了b（1）=3/2，b（1/2）=1/2，在文獻［1］中有詳細介紹.這引起了國內外許多學者的興趣.對1/4 ＜λ ＜1，胡克［1］證明了

這是目前比較好的結果，但不是最佳結果.當0 ＜λ ＜1 時，b（λ）的最佳值是什么呢？此后這個問題雖然屢有進展，但至今尚未解決，仍是一個很值得探討的問題［1］.近年來，許多學者主要研究單葉函數中一些特殊函數族的相鄰系數模之差的估計［1-8］.當0 ＜λ ＜1 時，鄧琴［3］證明了當f（z）∈Bα時，，階λ -1 為最佳值.

本文研究由Kim［9］給出的（α，β）型Bazileviˇc函數類B（α，β）和由牛瀟萌［10］給出的Bα，β（C，D）.

定義1［9］設f（z）∈S，α ＞0，β∈R，如果存在g（z）∈S*使得

則稱f（z）∈B（α，β）.顯然

定義2［10］設f（z）∈S，α ＞0，β∈R，-1 ≤D＜C≤1，如果存在g（z）∈S*使得

本文首先利用復分析中的一些初等方法研究Bα，β（C，D）的相鄰兩系數模之差的估計，進一步給出（α，β）型Bazileviˇc 函數相鄰兩系數模之差的估計，獲得最佳結果，推廣了鄧琴［3］給出的結果，并給出幾何刻畫.

1 預備引理

為了得到Bα，β（C，D）相鄰兩系數模之差的估計，需要如下引理.為方便，函數f（z）的冪級數展開式中zn系數an表示為an=｛f｝n.

引理1［3］設

2）設f（z）∈Bα，β（C，D），則存在g（z）∈S*滿足

證明由文獻［3］證明過程可得此引理.

引理6［3］設f（z）∈S，ψ（z）由（1）式定義，則

2 主要結果

定理1設f（z）∈Bα，β（C，D），Dn（λ）由（1）式定義，則對n≥2 有

是絕對常數，階λ-1 是最佳的.

證明因為

下面分別計算|｛（z-z2）ψ′（z）｝n+1|的界和|｛-zψ（z）｝n+1|的界.

由（1）式可算出

圖1 λ=0.3Fig. 1 λ=0.3

圖2 λ=0.7Fig. 2 λ=0.7

圖3 λ=0.3Fig. 3 λ=0.3

圖4 λ=0.7Fig. 4 λ=0.7

因為Bα，β（1，-1）=B（α，β），所以由定理1 可得如下（α，β）型Bazileviˇc函數B（α，β）的相鄰兩系數模之差的估計.

定理2設f（z）∈B（α，β），Dn（λ）由（1）式定義，則對n≥2 有

是絕對常數，階λ-1 是最佳的.

證明當C=1，D= -1 時，由定理1 可知

在定理2 中取β=0，則B（α，0）=Bα，所以由定理2可得到文獻［3］中的定理.

推論1設f（z）∈Bα，Dn（λ）由（1）式定義，則對n≥2 有

其中

是絕對常數，階λ-1 是最佳的.

證明設f（z）∈Bα，由定理2 可知

其中

易知

是絕對常數.

因為B（1，0）=C，所以由定理2 可得如下近于凸函數C的相鄰兩系數模之差的估計.

推論2設f（z）∈C，Dn（λ）由（1）式定義，則對n≥2 有

是絕對常數，階λ-1 是最佳的.

致謝內蒙古自治區高等學校科學研究項目（NJZY18217）和內蒙古自治區高校青年科技英才支持計劃（NJYT-18 -A14）對本文給予了資助，謹致謝意.