鄰域概率粗糙集的不確定性度量

周艷紅， 張 迪， 莫智文

（1.中國(guó)民用航空飛行學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川 廣漢618307； 2.四川師范大學(xué) 智能信息與量子信息研究所，四川 成都610066）

粗糙集理論作為一種數(shù)據(jù)分析處理的理論［1］，在知識(shí)獲取、機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用［2］.在粗糙集理論中，不確定性度量是描述系統(tǒng)分類能力的重要依據(jù)，對(duì)此很多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究［3-6］.Pawlak［3］提出3 種不確定性度量，即精度、粗糙度和近似精度；文獻(xiàn)［4］通過(guò)引入知識(shí)粒度，提出基于知識(shí)粒度的精度、粗糙度和近似精度；文獻(xiàn)［5］研究了關(guān)于粒的不確定性度量及其關(guān)系；文獻(xiàn)［6］在概率粗糙集模型中揭示了3 種經(jīng)典不確定性度量（即精度、粗糙度和近似精度）的局限性，提出基于期望粒度的3 種單調(diào)不確定性度量，為屬性約簡(jiǎn)奠定良好的基礎(chǔ).

經(jīng)典粗糙集主要采用等價(jià)關(guān)系和等價(jià)類，在應(yīng)用時(shí)需要對(duì)相關(guān)的數(shù)值數(shù)據(jù)進(jìn)行離散化，具有局限性.為此，文獻(xiàn)［7］提出比等價(jià)關(guān)系更為通用的鄰域關(guān)系，并廣泛應(yīng)用于不確定性數(shù)據(jù)的特征提取、屬性約簡(jiǎn)等［8-13］.在鄰域系統(tǒng)中，不確定性度量對(duì)屬性約簡(jiǎn)具有重要作用.文獻(xiàn)［8］提出鄰域熵、信息粒、基于鄰域熵的近似精度等多種不確定性度量，并研究其相關(guān)性質(zhì)；文獻(xiàn)［9］在鄰域粗糙集中提出鄰域精度、粗糙度及近似精度.

由于經(jīng)典的鄰域粗糙集模型對(duì)噪聲的容忍性相對(duì)較差，為此，主要對(duì)鄰域粗糙集模型進(jìn)行擴(kuò)展.首先，通過(guò)引入2 個(gè)閥值，構(gòu)造出鄰域概率粗糙集模型，提出3 種不確定性度量；再次，將鄰域概率粗糙集和鄰域粗糙集相結(jié)合，提出3 種改進(jìn)的不確定性度量.

1 鄰域粗糙集

主要介紹鄰域粗糙集中一些基本的概念［8，10，14］.設(shè)NIS=（U，C，V，f，δ）是一個(gè)信息系統(tǒng)，其中，U=｛xi|i=1，…，n｝為非空有限集；C是非空屬性集；V為所有屬性的值域，即表示屬性c所有可能取值的集合）；δ∈［0，1］為鄰域參數(shù).定義NDS=（U，C∪D，V，f，δ）是鄰域決策信息系統(tǒng)，其中C和D分別表示系統(tǒng)的條件屬性和決策屬性.U/D=｛X1，X2，…，Xm｝是決策屬性D在U上的一個(gè)等價(jià)類.

關(guān)于屬性子集A=｛a1，a2，…，a|A|｝的距離函數(shù)為

其中，q=1 時(shí)，dA（x，y）為Manhattan距離；q=2 時(shí)，為Euclidean 距離；q=∞時(shí)，為Chebychev 距離.本文采用Manhattan距離.由dA和δ產(chǎn)生鄰域（類）為

鄰域關(guān)系為

2 鄰域概率粗糙集的不確定性度量

在鄰域粗糙集基礎(chǔ)上，本節(jié)通過(guò)引入2 個(gè)閥值，提出鄰域概率粗糙集模型，并逐步構(gòu)建出3 種改進(jìn)的不確定性度量.

2.1 3 種鄰域概率不確定性度量及其單調(diào)性通過(guò)引入2 個(gè)閥值，提出鄰域概率粗糙集模型，定義3種不確定性度量，即鄰域概率精度、粗糙度和近似精度，并研究這3 種不確定性度量的單調(diào)性.

定義2 在NIS中，0≤β ＜α≤1，A?C，X?U，則X關(guān)于A的鄰域概率下、上近似為：

在NDS中，A?C，U/D=｛X1，X2，…，Xm｝，則U/D關(guān)于A的鄰域概率下、上近似為：

定義3在NIS中，0≤β ＜α≤1，A?C，X?U，則X關(guān)于A的鄰域概率精度和粗糙度分別為：

定義4在NDS中，0≤β ＜α≤1，A?C，則U/D關(guān)于A的鄰域概率近似精度為

定義3 和定義4 根據(jù)鄰域概率上、下近似給出了鄰域概率精度、粗糙度和近似精度的概念.

對(duì)比文獻(xiàn)［6］中概率粗糙集中的概率精度、粗糙度和近似精度，本節(jié)所定義的鄰域概率粗糙集中的概率精度、粗糙度和近似精度更具有一般性，即推論1.

推論1NIS中，若δ=0 時(shí)，則有：

推論1 表明在δ =0 時(shí)，鄰域概率粗糙集退化為概率粗糙集，即鄰域概率粗糙集是概率粗糙集的推廣，更具有一般化.

下面主要通過(guò)例1 討論其單調(diào)性.

例1設(shè)NDS=（U，C∪D，V，f，δ）如表1.

表1 例1 決策表Tab. 1 Decision table of Example 1

表1 中，U=｛x1，x2…，x6｝，C=｛a1，a2，a3｝，U/D=｛X1，X2｝=｛｛x1，x4，x6｝，｛x2，x3，x5｝｝，α =0.4，β=0.3，δ=0.4.

選取B=｛a1｝，A=｛a1，a2｝和C=｛a1，a2，a3｝.首先計(jì)算A所對(duì)應(yīng)的鄰域類，即

表2 例1 中粒度粗化過(guò)程中的鄰域類Tab. 2 Neighborhood classes during granularity coarsening in Example 1

根據(jù)表2，由定義3 和4 分別計(jì)算出鄰域概率精度、粗糙度和近似精度所對(duì)應(yīng)的值，結(jié)果如下：

從例1 中說(shuō)明鄰域概率精度、粗糙度和近似精度不具備單調(diào)性，即

1）在NIS中，0≤β ＜α≤1，B?A?C，X?U，下列結(jié)論不成立：

2）在NIS中，0≤β ＜α≤1，B?A?C，X?U，下列結(jié)論不成立：

由于例1 中所涉及的粗化過(guò)程較少，鄰域概率近似精度的非單調(diào)性并未完全體現(xiàn)，其結(jié)果將會(huì)在UCI數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)中充分體現(xiàn).

2.2 3 種改進(jìn)鄰域概率不確定性度量及其單調(diào)性在粗化過(guò)程中，由于鄰域概率粗糙集中的上下近似不具備單調(diào)性.因此，鄰域概率粗糙集中的精度、粗糙度和近似精度也不具備單調(diào)性，進(jìn)而需要對(duì)鄰域概率精度、粗糙度和近似精度進(jìn)行改進(jìn)，使其滿足粒化單調(diào)性，即為改進(jìn)的鄰域概率精度、粗糙度和近似精度，并討論相關(guān)性質(zhì).下面通過(guò)結(jié)合鄰域粗糙集的上下近似，建設(shè)性地提出改進(jìn)的鄰域概率精度、粗糙度及近似精度，并對(duì)單調(diào)性進(jìn)行研究.

定義5在NIS中，0≤β ＜α≤1，A?C，X?U，則X關(guān)于A的改進(jìn)鄰域概率精度和粗糙度分別為：

定義6在NDS中，0≤β ＜α≤1，A?C，X?U，U/D=｛X1，…，Xm｝，則U/D關(guān)于A的改進(jìn)鄰域概率近似精度為

定義5 和定義6 將鄰域概率粗糙集和鄰域粗糙集相結(jié)合，分別提出了改進(jìn)的鄰域概率精度、粗糙度和近似精度的概念.下面主要討論其單調(diào)性.立，性質(zhì)3 說(shuō)明改進(jìn)的鄰域概率精度、粗糙度具有參數(shù)單調(diào)性.

由推論4 和推論5 看出，文獻(xiàn)［6］在概率粗糙集中所提出的概率精度、粗糙度和近似精度是改進(jìn)鄰域概率精度、粗糙度和近似精度的一種特例.

下面通過(guò)例2 對(duì)改進(jìn)鄰域概率精度、粗糙度和近似精度單調(diào)性進(jìn)行驗(yàn)證說(shuō)明.

例2利用定義5 和定義6，通過(guò)計(jì)算，其改進(jìn)的鄰域概率精度、粗糙度和近似精度的值如表3.

表3 3 種改進(jìn)鄰域概率不確定性度量的值Tab. 3 Values of three improved neighborhood probabilistic uncertainty measures

在粒度粗化過(guò)程中，3 種改進(jìn)的鄰域概率不確定性度量具有明確的單調(diào)性.例如，針對(duì)例1 選取的粗化過(guò)程“｛a1，a2，a3｝→｛a1，a2｝→｛a1｝”，改進(jìn)鄰域概率精度、粗糙度和近似精度分別表現(xiàn)為：

對(duì)比例1，改進(jìn)的鄰域概率精度、粗糙度和近似精度具有單調(diào)性，改良了鄰域概率粗糙集中鄰域概率精度、粗糙度和近似精度的非單調(diào)性.

3 UCI數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

主要選取2 種UCI數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，對(duì)本文所提出的鄰域概率精度、粗糙度和近似精度以及改進(jìn)的鄰域概率精度、粗糙度和近似精度的非單調(diào)性/單調(diào)性進(jìn)行比較分析.

數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)包含2 組數(shù)據(jù)，具體為：wdbc 數(shù)據(jù)集包含569 個(gè)對(duì)象，30 個(gè)條件屬性（只取前12 個(gè)），1個(gè)決策屬性（U/D=｛X1，X2｝），取δ=0.3，α=0.4，β=0.3；sonar數(shù)據(jù)集包含208 個(gè)對(duì)象，60 個(gè)條件屬性（只取前11 個(gè)），1 個(gè)決策屬性（U/D=｛X1，X2｝），取δ =0.05，α =0.4，β =0.3.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1 -10 所示.為方便，將鄰域概率精度、粗糙度和近似精度分別簡(jiǎn)記為PNA、PNR、PNAA以及改進(jìn)的鄰域概率精度、粗糙度和近似精度分別簡(jiǎn)記為MPNA、MPNR、MPNAA.

圖1 2 種鄰域概率精度（wdbc，δ=0.3，X1）Fig. 1 Two kinds of neighborhood probabilistic accuracies（wdbc，δ=0.3，X1）

圖2 2 種鄰域概率精度（wdbc，δ=0.3，X2）Fig. 2 Two kinds of neighborhood probabilistic accuracies（wdbc，δ=0.3，X2）

圖3 2 種鄰域概率粗糙度（wdbc，δ=0.3，X1）Fig. 3 Two kinds of neighborhood probabilistic roughnesses（wdbc，δ=0.3，X1）

圖4 2 種鄰域概率粗糙度（wdbc，δ=0.3，X2）Fig. 4 Two kinds of neighborhood probabilistic roughnesses（wdbc，δ=0.3，X2）

圖5 2 種鄰域概率近似精度（wdbc，δ=0.3，U/D）Fig. 5 Two kinds of neighborhood probabilistic approximation accuracies（wdbc，δ=0.3，U/D）

圖6 2 種鄰域概率近似精度（sonar，δ=0.05，U/D）Fig. 6 Two kinds of neighborhood probabilistic approximation accuracies（sonar，δ=0.05，U/D）

圖7 2 種鄰域概率精度（sonar，δ=0.05，X1）Fig. 7 Two kinds of neighborhood probabilistic accuracies（sonar，δ=0.05，X1）

圖8 2 種鄰域概率精度（sonar，δ=0.05，X2）Fig. 8 Two kinds of neighborhood probabilistic accuracies（sonar，δ=0.05，X2）

圖9 2 種鄰域概率粗糙度（sonar，δ=0.05，X1）Fig. 9 Two kinds of neighborhood probabilistic roughnesses（sonar，δ=0.05，X1）

圖10 2 種鄰域概率粗糙度（sonar，δ=0.05，X2）Fig. 10 Two kinds of neighborhood probabilistic roughnesses（sonar，δ=0.05，X2）

在wdbc 和sonar 中，從圖1、2 和圖7、8 看出，隨著屬性的增加，鄰域概率精度的值變化較平緩且具有非單調(diào)性，而改進(jìn)的鄰域概率精度變化明顯且具有良好的單調(diào)性.而圖3、4 和圖9、10 顯然體現(xiàn)出鄰域概率粗糙度具有非單調(diào)性，而改進(jìn)的鄰域概率粗糙度具有單調(diào)性.圖5、6 表明鄰域概率近似精度具有非單調(diào)性，而改進(jìn)的鄰域概率近似精度具有明顯的單調(diào)性.

4 結(jié)論

通過(guò)引入2 個(gè)閥值，提出鄰域概率粗糙集模型，利用上下近似定義3 種不確定性度量，即鄰域概率精度、粗糙度和近似精度；再將鄰域概率粗糙集與鄰域粗糙集相結(jié)合，提出3 種改進(jìn)的不確定性度量，即改進(jìn)的鄰域概率精度、粗糙度和近似精度，并討論其單調(diào)性.最后通過(guò)UCI數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)對(duì)以上的不確定性度量的非單調(diào)性/單調(diào)性進(jìn)行有效性說(shuō)明.實(shí)驗(yàn)表明3 種改進(jìn)的不確定性度量具有良好的單調(diào)性，為后期的屬性約簡(jiǎn)研究奠定良好的基礎(chǔ).同時(shí)鄰域概率粗糙集也是概率粗糙集［6］的推廣.

致謝中國(guó)民用航空飛行學(xué)院面上項(xiàng)目（J2019-037）對(duì)本文給予了支助，謹(jǐn)致謝意.