半群CIn 的秩

呂 會， 羅永貴， 趙 平*

（1.貴州師范大學 數學科學學院，貴州 貴陽550025； 2.貴陽市清華中學，貴州 貴陽550025）

設［n］=｛1，2，3，…，n-1，n｝（n≥3）并賦予自然數的大小序.PTn是［n］上的部分變換半群，令POn=｛α∈PTn：x，y∈dom（α），x≤y?xα≤yα｝，稱POn為保序部分變換半群.In是［n］上的一一變換半群，稱POIn=POn∩In為保序部分一一變換半群，記SPOIn=POIn＼Sn，稱SPOIn為保序嚴格部分一一變換半群. Sn是［n］上的對稱群，記S In=In＼Sn，則S In是In的子半群，稱S In為奇異一一變換半群.對任意的α∈S In，ker（α）=｛（x，y）∈［n］×［n］：xα=yα｝和im（α）分別表示α的核和像集.設S是有限變換半群，A是S的子集，則〈A〉表示半群S的由A生成的子半群.若半群S的子集A滿足〈A〉=S，則稱〈A〉為S的生成集.

通常，一個有限半群S的秩定義為

變換半群秩的相關研究一直以來都是半群理論研究中的熱點之一［1-8］.文獻［1］研究了［n］上的奇異一一變換半群的SPn的秩和冪零秩為n+1.文獻［2］證明了一一變換半群的理想I（n，r）=｛α∈In：|im（α）|≤r｝的秩為Cnr+1.文獻［3］研究了半群Tn=Sn∪Singn的生成元和秩.文獻［4］研究了一些部分變換半群的最小相關生成集，并證明了半群A（n，r）=An∪Tn，PA（n，r）=An∪PTn（An是［n］上的正交群，PT（n，r）=｛α∈PIn：|im（α）|≤r｝，1≤r≤n，PTn是Xn上的部分變換半群）的相關秩.

設

則Cn=〈g〉為g生成的循環群.記CIn=Cn∪S In.本文在文獻［1 - 8］的基礎上繼續考慮新半群CIn=Cn∪S In的秩，證明了如下主要結果.

定理設n為自然數，則

本文未定義的術語及符號參考文獻［9 -10］.

1 預備知識

為了方便起見，用符號

表示半群CIn中滿足以下條件的元素α：

xα=?，x∈［n］＼（a1∪a2∪…∪ak）.在CIn上引入如下二元關系，對任意α，β∈CIn有：α R◇β當且僅當ker（α）=ker（β），αL◇β當且僅當im（α）=im（β），α J◇β 當且僅當|im（α）| =|im（β）|.令H◇= L◇∩R◇，易見，R◇、L◇、J◇與H◇都是半群CIn上的等價關系，H J◇=L◇∩R◇，對任意的α∈CIn，記

用Xn（n-1）表示自然序集［n］（n≥3）的所有n-1 元子集，則Xn（n-1）中共有n個元素.

記Xn（n-1）=｛Z1，Z2，…，Zn-1，Zn｝.為了方便，假設：

2 定理的證明

為了完成定理的證明，先給出若干引理與推論.文中凡是整數（Z）的加法運算，均是在模n的剩余類環中進行的，例如n+i=i.

引理1對n≥3，有

引理2對任意的α，β∈CIn，若（α，β），（α，αβ）∈J◇，則（α，αβ）∈R◇且（αβ，β）∈L◇.

證明若（α，β），（α，αβ）∈J◇，則

再由im（αβ）?im（β），ker（α）?ker（αβ）與［n］的有限性知，im（αβ）=im（β），ker（α）=ker（αβ），即（α，αβ）∈R◇，（αβ，β）∈L◇.

引理3設n≥3，S In=〈s1，s2，…，sn-1，＾sn，s0〉.

證明首先由文獻［2］可知，2≤r≤m-1，3≤m≤n-1，有Jr◇?Jr+1◇·Jr+1◇.

然后

時，其中：

1）i1≠0，sp≠0 時，j1與tq可能等于0，可能不等于0，其中若j1=0 時，t1≠0，若tq=0 時，jq≠0，共4 種情形；

2）i1≠0，sp=0，ip≠0 時，j1與tq可能等于0，可能不等于0，其中若j1=0 時，t1≠0，若tq=0 時，jq≠0，共4 種情形；

3）i1=0，s1≠0，sp≠0，時，j1與tq可能等于0，可能不等于0，其中若j1=0 時，t1≠0，若tq=0 時，jq≠0，共4 種情形；

4）i1=0，s1≠0，sp=0，ip≠0，時，j1與tq可能等于0，可能不等于0，其中若j1=0 時，t1≠0，若tq=0時，jq≠0，共4 種情形.

先考慮其中1 種情形，若

易驗證其他情形和以上一樣.

易知n＞3 時，有στ≠τσ成立，則

推論2當1≤n≤3 時，rank（CIn）=2.

定理的證明由引理3 與引理5 可知，當n≥3時，rank（CIn）≤3.再由推論2 知，當1≤n≤3 時，rank（CIn）=2.由引理7 知，當n＞3，rank（CIn）≥3.因此，結合推論1 與引理5，當n為自然數時，有