材料中帶有記憶項(xiàng)的隨機(jī)熱方程在薄域上的隨機(jī)吸引子

李 輝， 舒 級(jí)， 白欠欠， 李林妍

（四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 可視化計(jì)算與虛擬現(xiàn)實(shí)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都610066）

近年來(lái)，許多學(xué)者從不同的角度對(duì)薄域問(wèn)題進(jìn)行了廣泛的討論，用漸近展開(kāi)、奇異攝動(dòng)等方法研究了這類(lèi)問(wèn)題.確定耗散系統(tǒng)在薄域上的漸近行為的系統(tǒng)研究首先由Hale等［1］提出.后來(lái)他們的結(jié)果被大量引用［2］.除此之外，Chueshov 等［3］研究了薄域T2×（0，ε）上隨機(jī)3D Navier -Stokes 方程的遍歷性，其中T2為一個(gè)二維環(huán)面.Caraballo等［4］研究了一類(lèi)半線性拋物型隨機(jī)方程組在薄有界管狀域內(nèi)的同步問(wèn)題.

設(shè)Q是Rn（n≥1）上光滑有界區(qū)域，Oε是如下定義的n+1 維區(qū)域：

其中g(shù)∈C2（ˉQ，（0，+∞）），0 ＜ε≤1.易知存在正數(shù)r1、r2，使得對(duì)?x*∈ˉQ，有

本文考慮薄域Oε上加性噪聲驅(qū)動(dòng)的帶有記憶項(xiàng)的隨機(jī)熱方程

初值為

其中τ∈R，λ0，β ＞0，γ 是一個(gè)非負(fù)遞減的記憶核，是定義在?O ×R上的非負(fù)函數(shù)，h（x）∈C2（ˉQ ×［0，r2］），W是定義在概率空間上的雙邊實(shí)值Wiener 過(guò)程.s）Δ＾uε（s）ds是與＾uε有關(guān)的依賴過(guò)去歷史的擴(kuò)散項(xiàng).

眾所周知，方程（2）來(lái)源于帶記憶項(xiàng)的熱流理論［5］，它描述了一個(gè)依賴于溫度的反應(yīng)過(guò)程.當(dāng)γ=0，方程（2）不含記憶項(xiàng)，方程（2）簡(jiǎn)化為帶噪聲的隨機(jī)拋物方程.在這種情況下，文獻(xiàn)［6 -7］中證明了隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程的遍歷性和隨機(jī)吸引子的存在性.當(dāng)不含噪聲時(shí)，方程（2）在文獻(xiàn)［8］中進(jìn)行了一些討論.

由于隨機(jī)偏微分方程開(kāi)始出現(xiàn)在各種各樣的應(yīng)用中，需要考慮一些不確定性因素或隨機(jī)影響，它們被稱為噪聲.全局隨機(jī)吸引子的研究可以追溯到Ruelle的結(jié)果［9］.隨機(jī)系統(tǒng)的拉回吸引子的概念首先被文獻(xiàn)［10］引入，推廣了文獻(xiàn)［11］中確定性方程的全局吸引子.隨機(jī)偏微分方程的隨機(jī)吸引子已被許多學(xué)者討論，比如自治隨機(jī)方程［12-17］、非自治隨機(jī)方程［18-22］.最近，文獻(xiàn)［5］得到了一些關(guān)于帶有記憶項(xiàng)的隨機(jī)方程的隨機(jī)吸引子的結(jié)果.另外，文獻(xiàn)［23］證明了薄域上隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程的隨機(jī)吸引子的存在性.然而在薄域上帶有記憶項(xiàng)的隨機(jī)方程卻很少有結(jié)果.受文獻(xiàn)［23 -24］的啟發(fā)，在本文中將研究方程（2）（3）的隨機(jī)拉回吸引子的存在性.為了在薄域Oε上處理方程（2）（3），需要轉(zhuǎn)換方程（2）（3）到一個(gè)固定區(qū)域O上.另一方面，由于記憶項(xiàng)包含了現(xiàn)象過(guò)去的全部歷史，無(wú)法證明其隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的緊性，但是它的漸近緊性可以通過(guò)分解方法［8］來(lái)證明.

1 隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)

本節(jié)給出問(wèn)題（2）（3）解的存在性和唯一性，并且該解在薄域Oε上能生成一個(gè)連續(xù)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).考慮如下方程

初值為

假設(shè)f滿足如下條件：對(duì)所有x∈?Q，＾uε∈R，

下面將方程（1）（2）轉(zhuǎn)化為區(qū)域O上的有界邊值問(wèn)題.對(duì)?x=（x*，xn+1）∈Oε，定義變換：

對(duì)于上述薄域空間，引入新的函數(shù)空間并定義相關(guān)的內(nèi)積與范數(shù).首先賦予空間Hg（O）內(nèi)積

現(xiàn)在考慮概率空間（Ω，F(xiàn)，P），其中Ω =｛ω∈C（R，R）：ω（0）=0｝，F(xiàn) 是由Ω 的緊開(kāi)拓?fù)鋵?dǎo)出的Borel σ-代數(shù)，P是（Ω，F(xiàn)）上對(duì)應(yīng)的Wiener 測(cè)度.這里規(guī)定W（t，ω）= ω（t），t∈R.定義時(shí)間平移算子

那么（Ω，F(xiàn)，P，｛θt｝t∈R）是一個(gè)度量動(dòng)力系統(tǒng).

給定ω∈Ω，令

2 解的一致估計(jì)

ω、ε、B無(wú)關(guān)的正常數(shù).

證明將（28）式與vε在空間Hg（O）中做內(nèi)積，有

引理2.2假設(shè)（6）-（12）式成立，則存在ε0＞0，對(duì)?0 ＜ε ＜ε0，ω∈Ω，τ∈R，B=｛B（τ，ω）：ω∈Ω，τ∈R｝∈D，存在與ε 無(wú)關(guān)的T=T（τ，ω，B）＞1，使得對(duì)?t≥T，方程（28）-（31）的解滿足

由（8）和（9）式可得

從而結(jié)論得證.

3 漸近緊性

顯然，問(wèn)題（44）-（47）和（48）-（51）的適定性可由Galerkin方法得到.

類(lèi)似引理2.1 得

引理3.1假設(shè)（6）-（11）和（32）式成立，則存在ε0＞0，對(duì)?0 ＜ε ＜ε0，ω ∈Ω，τ ∈R，B=｛B（τ，ω）：ω∈Ω，τ∈R｝∈D，存在與ε 無(wú)關(guān)的T=T（τ，ω，B）＞0，使得對(duì)?t≥T，方程（44）-（47）的解滿足

由引理3.1 易得：

引理3.2假設(shè)（6）-（11）和（32）式成立，則存在ε0＞0，對(duì)?0 ＜ε ＜ε0，ω ∈Ω，τ ∈R，B=｛B（τ，ω）：ω∈Ω，τ∈R｝∈D，存在與ε 無(wú)關(guān)的T=T（τ，ω，B）＞0，使得對(duì)?t≥T，方程（48）-（51）的解滿足

引理3.3假設(shè)（6）-（12）式成立，則存在ε0＞0，對(duì)?0 ＜ε ＜ε0，ω∈Ω，τ∈R，B=｛B（τ，ω）：ω∈Ω，τ∈R｝∈D，存在與ε無(wú)關(guān)的T=T（τ，ω，B）＞1，使得對(duì)?t≥T，方程（48）-（51）的解滿足

證明將（8）式與在空間Hg（O）中做內(nèi)積，有

由（49）、（10）和（11）式得：

4 拉回吸引子的存在性

本節(jié)給出隨機(jī)方程（28）-（31）式對(duì)應(yīng)的cocycle Φε的D1-拉回吸引子的存在性.

定理4.1假設(shè)（6）-（11）和（32）（33）式成立，則存在ε0＞0，對(duì)?0 ＜ε ＜ε0，cocycle Φε在空間H1（O）中存在唯一D1-拉回吸引子Aε=｛Aε（τ，ω）：ω∈Ω，τ∈R｝∈D1.

證明由引理3.5 和3.6、問(wèn)題（28）-（31）生成的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)在D1中是漸近緊的.因此，Φε存在唯一D1-拉回吸引子.

致謝可視化計(jì)算與虛擬現(xiàn)實(shí)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.