一類非自治分?jǐn)?shù)階隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程隨機(jī)吸引子的分形維數(shù)

白欠欠， 舒 級(jí)， 李林妍， 李 輝

（四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 可視化計(jì)算與虛擬現(xiàn)實(shí)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都610066）

0 引言

研究如下帶加性噪聲的非自治分?jǐn)?shù)階隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程

初邊值條件為

其中，U?R3是具有光滑邊界的有界區(qū)域，s∈（0，1），u=u（x，t）是定義在U×［τ，+∞）上的實(shí)值函數(shù)，τ∈R，W是概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上的一維雙邊實(shí)值Wiener 過程，h∈D（（- Δ）s）∩W2s，p（U）（p≥4）.假設(shè)外力項(xiàng)g（x，t）與非線性項(xiàng)f（u）滿足如下條件：

（A2）f（u）具有如下形式

分?jǐn)?shù)階微分方程是指含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)或者分?jǐn)?shù)階積分的一類方程，具有深刻的物理背景和豐富的理論基礎(chǔ).近年來，分?jǐn)?shù)階微分方程在物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)及金融數(shù)學(xué)等許多領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用，其中包括數(shù)學(xué)物理中的經(jīng)典方程，比如分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程［1-2］、分?jǐn)?shù)階Ginzburg -Landau 方程［3-8］、分?jǐn)?shù)階Landau - Lifshitz 方程［9］、分?jǐn)?shù)階Landau-Lifshitz-Maxwell方程［10］和分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程［11-12］.

當(dāng)s∈（0，1）時(shí)，稱（-Δ）s為分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子.在有界域U上，分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子有不同的定義，包括積分分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子和譜分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子2 種定義［13］.當(dāng)s=1 時(shí)，（-Δ）s就是標(biāo)準(zhǔn)的拉普拉斯算子.文獻(xiàn)［14 -19］提出拉回隨機(jī)吸引子的概念，是確定系統(tǒng)整體吸引子［20-23］的推廣，較好地刻畫了隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間行為.近年來，許多學(xué)者已深入研究帶有標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯算子的隨機(jī)方程的隨機(jī)吸引子，比如自治方程［24-38］和非自治方程［12，39-45］.特別地，Zhou 等［45］對(duì)非自治隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程的隨機(jī)吸引子的分形維數(shù)的上界進(jìn)行了估計(jì).對(duì)于分?jǐn)?shù)階隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程，目前僅有文獻(xiàn)［11 -12，46］研究了隨機(jī)吸引子的存在性，而隨機(jī)吸引子的分形維數(shù)的有界性尚未有相關(guān)結(jié)論.受文獻(xiàn)［12，45］的啟發(fā)，本文研究方程（1）的隨機(jī)吸引子的分形維數(shù)有界性.

1 預(yù)備知識(shí)

下面首先給出拉回隨機(jī)吸引子和非自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的基本概念［11，33，42］.對(duì)于自治情形，可參見文獻(xiàn)［16 -19］.

假設(shè)（X，‖·‖X）是一個(gè)可分Hilbert 空間，B（X）為X的Borel σ -代數(shù)，（Ω，F(xiàn)，P）是概率空間，（Ω，F(xiàn)，P，（θt）t∈R）是度量動(dòng)力系統(tǒng)（MDS）.

定義1.1［33］映射Φ：R+×R ×Ω ×X→X稱為X上關(guān)于（Ω，F(xiàn)，P，（θt）t∈R）的連續(xù)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，若它對(duì)所有τ∈R，ω∈Ω及t，s∈R+，滿足下列條件：

1）Φ（·，τ，·，·）：R+× Ω ×X→X是（B（R+）×F×B（X），B（X））-可測(cè)的；

2）Φ（0，τ，ω，·）=idX；

3）Φ（t+s，τ，ω，·）=Φ（t，τ+s，θsω，·）?Φ（s，τ，ω，·）；

4）Φ（t，τ，ω，·）：X→X連續(xù).

定義 1.2［42］1）X中的隨機(jī)有界集｛B（ω）｝ω∈Ω稱為關(guān)于（Ω，F(xiàn)，P，（θt）t∈R）是緩增的，若對(duì)P-a.e.ω∈Ω及?b＞0，有

2）隨機(jī)變量R（ω）稱為關(guān)于（Ω，F(xiàn)，P，（θt）t∈R）是緩增的，若對(duì)P- a. e. ω∈Ω 及?b＞0，有

定義1.3［33］D是X的所有隨機(jī)子集的集合，K=｛K（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω｝∈D，則K稱作Φ 的隨機(jī)吸收集.如果對(duì)?B∈D，存在TB（ω）＞0 使得對(duì)P-a.e.ω∈Ω，有

定義1.4［11］A=｛A（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω｝∈D，A稱作是Φ 的一個(gè)D -拉回吸引子，如果滿足下列條件：

1）對(duì)τ∈R，A（·，τ）：（Ω，F(xiàn)，P→2X是可測(cè)的，且A（τ，ω）在X中是緊的；

2）A是不變的，即對(duì)?τ∈R，ω∈Ω，有Φ（t，τ，ω，A（τ，ω））=A（τ+ t，θtω），t≥0；

3）A吸引D的每個(gè)元素，即對(duì)B∈D，τ∈R，ω∈Ω，有

其中distX（·，·）表示X中2 個(gè)集合的Hausdorff半距離，即對(duì)2 個(gè)非空集合A，B?X，有

定義1.5［11］Φ稱作是D-拉回漸近緊的，如果對(duì)?τ∈R，ω∈Ω，D∈D，tn→∞，xn∈D（τ -tn，在X中有一個(gè)收斂子列.

定理1.6［33］Φ 是X上關(guān)于（Ω，F(xiàn)，P，（θt）t∈R）的連續(xù)Cocycle，若Φ 在X中有緊的隨機(jī)吸收集，則Φ有唯一的D-拉回吸引子

下面介紹分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)及分?jǐn)?shù)階Sobolev 空間的相關(guān)知識(shí)［47］.

記S 是R3上的Schwartz空間，對(duì)0 ＜s＜1，u∈S，分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子（-Δ）s可以定義為

其中C（s）是與s有關(guān)的正常數(shù)，且

特別地，對(duì)?u∈S，有為了方便起見，用‖·‖和（·，·）分別表示L2（R3）的 范 數(shù) 和 內(nèi) 積，用‖· ‖p表 示Lp（R3）（p≥1）的范數(shù)，記Hs（R3）的Gagliardo 半范數(shù)為‖·‖˙H s（R3），有

引理1.7［48］若f，g∈H2s（R3），則有

其中s1與s2是非負(fù)常數(shù)，且s1+s1=s.

最后給出隨機(jī)不變集的分形維數(shù)有界性定理.

定理1.8［45］設(shè)｛Φ（t，τ，ω）｝t≥0，τ∈R，ω∈Ω是可分Banach空間X上的一個(gè)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，且度量動(dòng)力系統(tǒng)（Ω，F(xiàn)，P，｛θtω｝t∈R）是遍歷的.如果在X上存在有界閉的隨機(jī)子集族｛X（τ，ω）｝τ∈R，ω∈Ω滿足下述條件：對(duì)?τ∈R，ω∈Ω，有以下幾種情況：

（H1）存在緩增的隨機(jī)變量Rω（獨(dú)立于τ），使續(xù)的.

（H2）不變性：?t≥0，X（t+τ，θtω）=Φ（t，τ，ω）X（τ，ω）.

（H3）存在正數(shù)λ、δ和t0，隨機(jī)變量C0（ω）≥0，C1（ω）≥0，以及m維正交算子Pm：X→Pm X，（dim（PmX）=m）使得對(duì)?τ ∈R，ω ∈Ω，u，v∈X（τ，ω），有：

其中，λ、δ、t0、m獨(dú)立于τ、ω.

（H4）λ、t0、δ、C0（ω）、C1（ω）滿足

其中“E”表示期望，那么對(duì)于?τ∈R，ω∈Ω，X（τ，ω）的分形維數(shù)有上界

其中Nε（X（τ，ω））表示在X中覆蓋X（τ，ω），以ε ＞0 為半徑的球的最小數(shù)量.

2 連續(xù)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)

方程（1）-（3）生成一個(gè)連續(xù)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).

在概率空間（Ω，F(xiàn)，P）中定義時(shí)間平移算子θt：Ω→Ω，滿足θtω（·）=ω（t+·）-ω（t），那么（Ω，F(xiàn)，P，（θt）t∈R）為一遍歷度量動(dòng)力系統(tǒng).這里規(guī)定，對(duì)所有t∈R，ω∈Ω，W（t，ω）=W（t）（ω）=ω（t）.

設(shè)A=（-Δ）s是一個(gè)自伴且正定的線性算子，其特征值｛λi｝i∈N滿足

下面將帶加性白噪聲的隨機(jī)方程轉(zhuǎn)化為只含有隨機(jī)參數(shù)的方程.考慮一維Ornstein -Uhlenbeck過程

由文獻(xiàn)［14，45］知，z（θtω）是隨機(jī)方程dz+zdt=dW的平穩(wěn)解，關(guān)于t連續(xù)，并且z（θtω）具有如下性質(zhì)：

其中Γ是gamma函數(shù).

令v=v（t，τ，ω，vτ）=u（t，τ，ω，uτ）-h（x）z（θtω），其中u（t，τ，ω，uτ）是方程（1）-（3）的解，uτ∈L2（U）是初始條件，那么方程（1）-（3）在L2（U）中等價(jià)于下述隨機(jī)方程：

應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的Galerkin 方法，可以證明，在條件（A1）和（A2）下，對(duì)每一個(gè)ω ∈Ω，方程（16）在L2（U）中解是適定的［12］，從而可以在L2（U）上定義一個(gè)連續(xù)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)Φ：R+× R × Ω ×L2（U）→L2（U），有

為了簡(jiǎn)便起見，字母ci（i=1，2，…）和kj（j=1，2，…）都表示正常數(shù).

3 隨機(jī)吸引子的存在性

設(shè)D是L2（U）中一些非空隨機(jī)緩增子集構(gòu)成的集族.為了證明隨機(jī)吸引子的存在唯一性，首先給出Φ在L2（U）和Hs（U）中D -拉回吸收集的存在性.

引理3.1假設(shè)（A1）和（A2）成立，則對(duì)?τ∈R，ω∈Ω，D=｛D（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω｝∈D，存在時(shí)間T0（τ，ω，D）≥0 以及一個(gè)緩增隨機(jī)變量

使得對(duì)?t≥T0（τ，ω，D），方程（16）的解v（r，τ -t，ω，vτ-t）∈L2（U），vτ-t∈D（τ-t，θ-tω）滿足

B0（ω）=｛v∈L2（U）：‖v‖≤R0（ω）｝是Φ在L2（U）中的D-拉回吸收集.

證明將方程（16）兩邊與v在L2（U）中作內(nèi)積，得到

下面利用Young不等式、H?lder 不等式和條件（A2）估計(jì)（18）式中右邊的每一項(xiàng)：

由Poincaré不等式以及h∈D（（-Δ）s）∩W2s，p（U）（p≥4），方程（18）變?yōu)?/p>

對(duì)（19）式在［τ -t，r］（r≥τ -t）上運(yùn)用Gronwall引理，并用θ-τω替換ω，得到

由于vτ-t∈D（τ-t，θ-tω），且z（θtω）是緩增的.因此，當(dāng)r= τ 時(shí)，由（20）式自然得到（17）式，且R0（ω）是一個(gè)緩增的隨機(jī)變量.

引理3.2假設(shè)（A1）和（A2）成立，則對(duì)?τ∈R，ω∈Ω，D=｛D（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω｝∈D，存在時(shí)間T1（τ，ω，D）≥1 以及2 個(gè)緩增隨機(jī)變量：

使得（16）式的解v（r，τ -t，ω，vτ-t）∈L2（U），vτ-t∈D（τ-t，θ-tω）滿足：

證明將（16）式兩邊與（-Δ）sv在L2（U）中作內(nèi)積.并由

對(duì)（24）式關(guān)于σ在［τ-1，τ］上再次積分，得到

由（17）式與（25）式知（21）式成立.

現(xiàn)在由引理3.1 與引理3.2 可得Φ 在L2（U）上的隨機(jī)吸引子的存在唯一性.

定理3.3假設(shè)（A1）和（A2）成立，則隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)Φ在L2（U）上存在唯一的D -拉回吸引子A=｛A（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω｝∈D，并滿足

其中R2（ω）同上.

證明對(duì)?τ∈R，ω∈Ω，由引理3.1、引理3.2及緊嵌入可知，B1（ω）是Φ 在L2（U）中的一個(gè)緊可測(cè)D-拉回吸收集.因此，由定理1.6，Φ在L2（U）上生成一個(gè)唯一的D -拉回吸引子A=｛A（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω｝∈D，且對(duì)?τ∈R，ω∈Ω，A（τ，ω）?B0（τ，ω）∩B1（τ，ω）.

4 隨機(jī)吸引子的分形維數(shù)

利用定理1.8 估計(jì)Φ 的隨機(jī)吸引子A（τ，ω）的分形維數(shù)上界.

顯然，A（τ，ω）滿足定理1.8 的（H1）和（H2）.下面證明A（τ，ω）的Lipschitz 性質(zhì).對(duì)于?τ∈R，ω∈Ω，vjτ（ω）∈A（τ，ω），j=1，2，令

由A（τ，ω）的不變性、Φ 的Cocycle 性質(zhì)以及定理3.3 知，對(duì)于r≥τ，v1（r），v2（r）∈A（τ，θrω）?B1（θr（ω）），且

引理4.1假設(shè)（A2）成立，則對(duì)?τ∈R，ω∈Ω，t≥0 以及vjτ（ω）∈A（τ，ω），j=1，2，有

證明將（26）式與y（r）在L2（U）中作內(nèi)積，并由

對(duì)（29）式在［τ，τ +t］上運(yùn)用Gronwall 引理，并用θ-τω替換ω，可得（28）式.

下面證明A（τ，ω）滿足（H3）.令｛ei｝i∈N為算子A的特征值｛λi｝i∈N相對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)，即滿足Aei=λiei，則｛ei｝i∈N構(gòu)成L2（U）的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，記

引理4.2假設(shè)（A1）和（A2）成立，則對(duì)?τ∈R，ω∈Ω，t≥1，存在一個(gè)隨機(jī)變量M0（ω）≥0 及一個(gè)n維正交算子Pn：L2（U）→L2n（U），使得對(duì)?vjτ（ω）∈A（τ，ω），j=1，2，有：

證明將（26）式與yn=Qny在L2（U）中作內(nèi)積，則

利用H?lder 不等式和Young 不等式，并結(jié)合條件（A2）與（27）式有

其中?∈（0，1）.結(jié)合（33）和（34）式得到

對(duì)（35）式在［τ，τ+t］（t≥0）上運(yùn)用Gronwall引理，并用θ-τω替換ω，可得

由（28）式與M0（ω）＞c2≥0 知（32）式成立.

引理4.3對(duì)?τ∈R，ω∈Ω有

證明首先，gamma函數(shù)Γ有如下性質(zhì)：

下面證明M0（ω）的每一項(xiàng)的期望有界.由引理3.1 與引理3.2 得：

再由（15）與（40）式可得

因此，由（41）和（42）式知

進(jìn)一步，由（38）式可得

根據(jù)定理1.8、引理4.2 和引理4.3，可得到這一節(jié)的主要結(jié)論.

定理4.4假設(shè)（A1）和（A2）成立，則對(duì)?τ∈R，ω∈Ω，A（τ，ω）的分形維數(shù)有上界再由（12）和（39）式知，存在有限整數(shù)n0∈N使得

令（31）與（32）式中t=t0＞0 滿足