Dashnic-Zusmanovich 矩陣的線性互補問題解的含參誤差界

王芝鳳， 李朝遷

（云南大學 數學與統計學院，云南 昆明650500）

1 預備知識

線性互補問題為尋求向量x∈R滿足：

其中，矩陣M∈Rn×n，向量q∈Rn，記為LCP（M，q），其不僅在運籌學與計算數學上具有重要應用，還在金融學和工程中也有廣泛應用，如空間價格平衡問題、最優控制問題、障礙和自由邊界問題等［1-3］.

眾所周知，當矩陣M為P-矩陣時，LCP（M，q）存在唯一解.Chen等在文獻［1］中給出了關于P -矩陣線性互補問題解的誤差界估計式

x*是線性互補問題的解，I是n階單位矩陣，D是正對角矩陣且其主對角元di∈［0，1］，i∈N =｛1，2，…，n｝，r（x）=min｛x，Mx+q｝，即取分量x與Mx+q最小.由于（1）式中的（I-D+DM）-1不易求得，許多學者針對（1）式中矩陣M是特殊結構矩陣且是P-矩陣時，給出了對應的誤差界估計式，如B -矩陣［4］、DB-矩陣［5］、Nekrasov -矩陣［6］，以及H -矩陣的一些子類矩陣（要求其對角元均為正）.

本文主要討論P-矩陣的子類矩陣、Dashnic -Zusmanovich矩陣的線性互補問題，給出其含參數的誤差界估計式，并借助以該參數為函數的單調性，在給定的條件下討論其最優值.

定義1.1［7］設A=（aij）∈Cn×n，若存在j0∈N，使得

定理1.5［10］若矩陣A=（aij）∈Rn×n為H -矩陣且其主對角元均為正，且

max（Λ，I）=diag（max｛a11，1｝，…，max｛ann，1｝），則

2 DZ-矩陣的含參線性互補誤差界

應用引理1.3 和1.4 給出DZ -矩陣線性互補問題含參誤差界.

命題2.1若矩陣A為DZ-矩陣，則存在正對角矩陣

證明因AW是嚴格對角占優矩陣，由d∈［0，1］n，（I-D+DA）W=W-DW+DAW，知（I-D+DA）W是主對角元均為正的嚴格對角占優矩陣，且

3 數值例子

例1考慮DZ-矩陣

進一步，應用MATLAB 代碼“fori=1∶ 1 000；D=diag（rand（4，1））；end”隨機選取1 000 個矩陣D，并計算‖（I-D+DA）-1‖∞的值，如圖1 所示.顯然，其都小于最優值1.266 7.

圖1 例1 隨機取1 000 個矩陣D下的‖（I-D+DA）-1‖∞的值Fig. 1 Values of ‖（I-D+DA）-1‖∞for the first 1 000 matrices D in Example 1

例2 考慮DZ-矩陣

由定理1.5 中（3）式計算得

應用定理2.3 中（iii）得

上述數值算例表明本文的結果在某些情況下較文獻［10］中定理2.4（定理1.5中（3）式）更加優越.值得注意的是本文僅針對β ≥1 的條件討論了inff1（ε）、inff2（ε）的值，但對于β ＜1條件下DZ-矩陣線性互補問題所對應的最優值問題仍有待于研究.

致謝云南大學“青年英才培育計劃”項目對本文給予了資助，謹致謝意.