方程φe（n） =ptω（n） （e=2，3，4，6）的可解性

鄧桂林， 廖群英

（四川師范大學 數學科學學院，四川 成都610066）

1 引言及主要結果

正整數n的歐拉函數φ（n）定義為序列1，2，…，n-1中與n互素的整數個數［1］，關于歐拉函數的研究是數論中十分重要和有意義的課題之一.近年來，人們研究了幾類歐拉函數相關的方程.呂志宏［2］用初等方法研究了方程φ（n）=2ω（n）（ω（n）為n的不同素因子的個數）的可解性，并給出了全部的6 個解為n=1，3，4，10，12，30；馬靜［3］研究了方程φ（n）=2tω（n）（t∈Z+）的可解性.

文獻［4 -5］定義了正整數n的廣義歐拉函數φe（n）（其中e為正整數）為

的可解性，并給出了e=2 時方程（1）的全部正整數解（本文定理1.1）、e∈｛3，4，6｝時方程（1）的部分正整數解（本文定理1.2 -1.4），以及無解的幾個充分條件.α，β，αi≥0 為整數，pi為不同的奇素數且

1）若αi=0（1≤i≤k），α∈｛0，1｝且β≥2，則方程（1）的解為n =2α·3（1+α）t+2.

2）若α∈｛0，1｝，β =0 且存在pi≡1（mod 6），則方程（1）的解為

其中p為奇素數.

3）若下列條件之一成立，則方程（1）無解：

Ⅰ）α≥0，β≥2；

Ⅱ）α∈｛0，1｝，β=1 且存在pi≡1（mod 6）；

Ⅲ）α≥2，β∈｛0，1｝且存在pi≡1（mod 6）；

Ⅳ）α≥2，β∈｛0，1｝且任意pi≡5（mod 6）；

Ⅴ）α=0，β=1 且任意pi≡5（mod 6）.

2 一些引理

3 主要結果的證明

現設n≥3，分n的奇偶2 種情形討論.

1）若n為偶數，不妨設n=2αm（2m，m≥1）.若m=1，即n=2α，則φ（n）=2α-1，ω（n）=1，故由方程（2）得2α-1=2pt，由p為奇素數且t∈Z+可知方程（2）無解.故m≥3，即n=2αm.不妨設

pi為不同的素數，則ω（n）=k+1，由引理2.4 得

陳主任以為兩家私底下早已形成同盟，將索賠的事情商量好了，說：“如果沒造成財產損失，我看賠錢也就沒什么必要。”

故由方程（2）得

注意到α≥1，故由方程（3）知α=1 且k=1，則

綜上，完成了定理1.1 的證明.

定理1.2 的證明e=3 時，由引理2.1，可分為以下幾種情形.

于是由方程（1）及引理2.4 得

又p是奇素數，t∈Z+，等式兩邊奇偶性不同，矛盾.當α=1 時，類似可得方程（1）仍然無解.

綜上，完成了定理1.2 的證明.

定理1.3 的證明e=4 時，由引理2.2，可分為以下幾種情形.

1）若αi=0，則n=2α（α ＞2），ω（n）=1，由引理2.2 及引理2.4 知

從而由方程（1）得2α-3=pt，由p是奇素數且t∈Z+知等式兩邊奇偶性不同，即方程（1）無解.

2）若α∈｛0，1｝且存在pi≡1（mod 4）.

Ⅰ）若α=0，即

由引理2.2 可知

于是由方程（1）及引理2.4 可得

注意到p、pi均為奇素數，故由方程（5）可知k=1或2.

由p是奇素數可知等式兩邊奇偶性不同，即方程（1）無解，故α≥1，同α=0 時的證明，可知方程（1）仍無解.

Ⅱ）-Ⅴ）類似情形1）的證明，可知方程（1）無解.

綜上，完成了定理1.4 的證明.

4 結束語

本文基于φe（n）（e=2，3，4，6）的準確計算公式，利用初等的方法和技巧，對n進行分類討論，研究了

時的正整數解.對e∈｛3，4，6｝時n的其他分類情況，還有待進一步研究.