《線性代數(shù)》課程思政教學(xué)設(shè)計案例

畢金缽

摘要：通過對案例分析，引導(dǎo)學(xué)生用自主探究的方法，嘗試去找向量組的極大線性無關(guān)組，以提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，探究問題的能力，解決問題的能力。鍛煉學(xué)生的觀察力，邏輯思維能力，以及總結(jié)能力。

關(guān)鍵詞：課程思政;線性代數(shù);極大線性無關(guān)組;案例分析

一、引言

向量組研究的一個主要問題就是找極大線性無關(guān)組。通過此案例分析，給一個向量組，引導(dǎo)學(xué)生如何從定義出發(fā)，思考出找極大線性無關(guān)組的思路，將思政元素貫穿于其中，提高學(xué)生去主動發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題的能力，鍛煉學(xué)生邏輯思維能力。

二、具體教學(xué)設(shè)計內(nèi)容

1.提出問題

給出一個研究對象向量組，先引導(dǎo)學(xué)生不看課本的情況下，嘗試自己給出極大線性無關(guān)組的定義。

極大線性無關(guān)組是什么，為什么討論它？舉例，比如一個班上人多了以后經(jīng)常會選出各種班代表，代表在不同場合下可以代表全班同學(xué)的意見。那么就來引導(dǎo)學(xué)生思考一下，當(dāng)向量組中的向量個數(shù)很多，甚至還有無窮多個向量的情形，這里面能不能選出部分向量組把整個大的向量組中所有向量全部代表了呢？再來思考一下，代表能用少的有必要選多的嗎？也就是說，我們能不能試著去尋要最精簡的代表，它們之間互相獨立，其中每一個都不能再由別的代表了。而此處的代表在向量組背景之下就是指極大線性無關(guān)組，互相獨立就是線性無關(guān)。由此引導(dǎo)學(xué)生自己給出極大線性無關(guān)組定義。

在向量組中選出部分向量組滿足以下兩條：此處提問學(xué)生是哪兩條？引導(dǎo)學(xué)生回答：

1）線性無關(guān)

2）所有向量都可以由其線性表示。

再引導(dǎo)學(xué)生思考一下第2條還可以換成另外兩種等價說法：其余向量可由其線性表示或任意個向量線性相關(guān)。并跟學(xué)生一起證明一下為什么可以替換。然后再強(qiáng)調(diào)一下第2個條件的3種等價說法可以根據(jù)具體情況靈活選擇來用。

此時拋出問題給學(xué)生：如何找一個極大線性無關(guān)組？這個定義能不能解決問題？

2.思考問題

如何找一個極大線性無關(guān)組？從定義出發(fā)來分析，先把兩種情況排除掉。一種是向量組里向量全是零向量，問學(xué)生有沒有極大線性無關(guān)組，學(xué)生就會回答沒有。一種是整個向量組線性無關(guān)，問學(xué)生有沒有極大線性無關(guān)組，學(xué)生回答有，再問是誰，學(xué)生回答是向量組本身。

再來看一般情況，給一個向量組判斷出線性相關(guān)且不全為零向量，那么它的極大線性無關(guān)組怎么找？

由于向量組中至少有一個是非零向量，設(shè)，那么一個非零向量就線性無關(guān)，其余向量中任意拿出一個跟放一起發(fā)現(xiàn)線性相關(guān)，問學(xué)生這個時候結(jié)論是什么？學(xué)生回就是一個極大線性無關(guān)組。再問學(xué)生，如果剩下的向量中有一個跟放一起線性無關(guān)，那么能出結(jié)果么，學(xué)生說不行，再接著找。那就再假設(shè)線性無關(guān)，剩下的向量中任意拿出一個跟放一起發(fā)現(xiàn)線性相關(guān)，問學(xué)生這個時候結(jié)論是什么？學(xué)生回就是一個極大線性無關(guān)組。再問學(xué)生，如果剩下的向量中有一個跟放一起線性無關(guān)，那么能出結(jié)果么，學(xué)生說不行，再接著找。按此思路一直做下去，最終會找出極大線性無關(guān)組。此時問學(xué)生這樣逐個去試麻煩不麻煩，學(xué)生自然說麻煩。那么有沒有好用的方式，讓步驟變得簡單利落呢？

3.解決問題

用一個具體例子來分析如何快速找向量組的極大線性無關(guān)組。

給出一個向量組找出它的一個極大線性無關(guān)組。

跟學(xué)生一起分析問題：要判斷向量組的線性相關(guān)性，需要對向量組求秩，每個部分向量組都分別求秩太麻煩了，也多做功，為了快速簡單方便，可以把5個向量直接放在一起對構(gòu)成的矩陣求秩。如果用到其中幾個向量的秩，只需把其余向量遮住即可。

解：寫出向量組構(gòu)成的矩陣，再用初等行變換化為行階梯形矩陣

問學(xué)生的線性相關(guān)性，學(xué)生就會回答線性無關(guān)。問為什么，引導(dǎo)學(xué)生一起分析因為構(gòu)成的矩陣秩為3與向量組里向量個數(shù)3相同。再問學(xué)生，其余向量跟放一起的線性相關(guān)性？與答都線性相關(guān)。問學(xué)生原因，引導(dǎo)學(xué)生一起分析因為兩個向量組構(gòu)成的矩陣秩都為3比向量組里向量個數(shù)4小，所以線性相關(guān)。此時問學(xué)生結(jié)論是什么？學(xué)生答就是向量組的一個極大線性無關(guān)組。

再問學(xué)生是不是極大線性無關(guān)組，學(xué)生回答是，所以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：第一個結(jié)論：極大線性無關(guān)組不唯一。引導(dǎo)學(xué)生按數(shù)學(xué)邏輯思維，不唯一舉反例即可。此例題即可做為一個反例。再引導(dǎo)學(xué)生，數(shù)學(xué)上當(dāng)遇到結(jié)論不唯一的時候，為了避免討論問題時每個人的選擇不一樣，可以定一個標(biāo)準(zhǔn)。通常會選行階梯中非零行的第一個非零元所在的列對應(yīng)的向量組作為一個極大線性無關(guān)組。極大線性無關(guān)組可以不唯一，但本例中不同極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)都一樣是3，問學(xué)生這是偶然的么？學(xué)生都會說，必然。由此引導(dǎo)學(xué)生猜想一個結(jié)論：不同極大線性無關(guān)組中所含向量個數(shù)相同。再跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)，按數(shù)學(xué)的邏輯思維來說，一個例子有的結(jié)論不能代表一般的向量組都有這個結(jié)論，猜想必須給出嚴(yán)格的理論證明。再問學(xué)生極大線性無關(guān)組中所含向量個數(shù)是幾？學(xué)生答3，矩陣的秩是幾？學(xué)生也答是3。這兩個數(shù)相等是偶然的么？學(xué)生又會答是必然的。由此再引導(dǎo)學(xué)生猜想一個結(jié)論：極大線性無關(guān)組中所含向量個數(shù)與向量組構(gòu)成的矩陣的秩相同。按數(shù)學(xué)的邏輯思維來說，這個猜想也必須給出嚴(yán)格的理論證明。后續(xù)內(nèi)容再跟學(xué)生一起把這兩個結(jié)論證出來。

由此例題得出3個結(jié)論，既可以很好培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)問題的能力，也可以很好的鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，不唯一可以舉反例說明，猜想一般有的結(jié)論就必須要給出理論證明。有部分同學(xué)在證明一般有的結(jié)論時，習(xí)慣舉一個例子來證，這個想法本身邏輯上就有問題，借此再強(qiáng)調(diào)一下。

三、小結(jié)

向量組的極大線性無關(guān)組在線性代數(shù)后續(xù)內(nèi)容中應(yīng)用廣泛，因此須引導(dǎo)學(xué)生掌握什么是極大線性無關(guān)組，找極大線性無關(guān)組的方法。從開始提出問題，引導(dǎo)學(xué)生一起思考問題，解決問題，最后歸納總結(jié)問題。整個課堂學(xué)習(xí)過程中，將思政思想貫穿其中，培養(yǎng)了學(xué)生獨立思考的能力，鍛煉了邏輯思維能力，讓學(xué)生體會邏輯思考的樂趣，提高獨立思考問題解決問題的能力，幫助培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的意識，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)觀和不斷鉆研的精神觀。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，《工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第六版》，高等教育出版社，2013.

[2]胡覺亮，《線性代數(shù)》，高等教育出版社，2013.