數學史教學須重構學生的體驗

丁媛媛 費嶺峰

摘? ? 要

HPM是研究數學史與數學教育的關系，發揮數學史在小學數學教育中的價值，積極探尋將數學史融入課堂教學的方式。人教版《數學》四年級上冊“數的產生”是比較典型的“數學史”學習內容。教學時，從重循發展之路、重構認知之序、重歷規則之美三個方面著手精心設計課堂教學，引導學生經歷數學知識的重構體驗，為數學史與課堂教學的契合提供思路。

關鍵詞

數學史 認知規律 知識脈絡 思想方法

HPM（History and Pedagogy of Mathematics），即研究數學史與數學教育之間的關系。早在19世紀，一些數學家和數學史家就開始關注數學史在數學教育中的價值。如美國數學史家卡約黎認為“學生所遭遇的往往是相關學科的創建者經過長期思索和探討后所克服的實際困難”，所以數學史為教學提供了一面鏡子，是數學教學的有效工具[1]。現使用的小學數學教科書中，也有一些借助數學史知識引導學生體驗數學知識形成過程的內容，比如人教版《數學》四年級上冊“數的產生”一課，便是較為典型的內容。

當然，在實踐中，數學史內容的教學不能僅僅體現在數學情感、動機視角和激勵因素上，而且需要有對學生數學學習及數學活動本質的認識的學習目標定位。學生對一些數學概念的認識與古代數學家的認識相似，對某些概念理解上的困難與歷史上數學家遭遇的障礙一致，所以數學史融入小學數學教育的教學方式需要體現數學發現、數學體驗的意義與價值[2]。現以人教版《數學》四年級上冊“數的產生”一課的教學為例，談談如何將數學史有效地融入課堂教學之中的一些實踐與思考。

一、重循發展之路，形成認知規律

數學家龐加萊說：“若想預見數學的將來，正確的方法是研究它的歷史和現狀。”我們在數學學習時，如果不知道知識的由來，那就無法體會到知識產生的必要性和存在的價值，也無法正確地理解和運用。所以，教師在設計教學時，引導學生經歷數學家發明或發現知識的過程，經歷知識形成的來龍去脈，也就是重走數學知識的形成之路，鼓勵學生去探索、歸納、概括、交流和內化，不僅順應兒童好奇心重的心理特點，而且在學生的學習過程中能感受知識產生的必要性，激發學生的學習興趣，調動學生主動學習、自主建構知識的積極性。

教材通過簡單的3幅圖，展示了原始人的記數方法，隨后簡單說明了數字產生的緣由，并列舉了3種古代數字來揭示數字的發展，這樣的學習資源是靜態的、貧乏的，缺乏生動性和思考性，學生的學習并不能深入和產生共鳴。實踐中，我們進行了一定的補充和修改，讓教材上靜態的圖片結合技術變成動畫的情境圖：

出示幾幅原始人的生活場景圖，并引導：在遠古時代，我們的祖先為了生存，需要打獵和放牧，每次捕到獵物需要知道捕獲的數量，他們需要數數，記錄數的多少，你知道他們用的是什么方法嗎？

結合學生的猜測、議論，依次呈現教材上的“用實物記數”“刻道記數”與“結繩記數”等情境，然后繼續描述：隨著打獵水平越來越高，獵物也越來越多，繼續用這樣的記數方式，你有什么想法？

是的，就是因為很麻煩，慢慢的這樣的方法就被淘汰了，后來隨著語言的發展，人們發明了一些符號來記數，這些記數的符號就是最初的數字，呈現不同國家的記數符號。

繼續引導：由于每個國家的文化背景不同，所以各國的數字也不一樣。你對采用不同的符號記數有什么想法？隨著社會的發展，人們需要進行商品交易，數字不同很不方便，經過很長時間逐漸統一成現在的“阿拉伯數字”。阿拉伯數字是誰發明的呢？教師對“阿拉伯數字的產生和流傳”的故事稍作展開。

最后再次發問：了解了“數”走過的路，你有什么想法和感受？

在教學過程中，教師運用多媒體呈現資料，把靜態的教材變成動態的、豐富的學習資源，讓學生的學習變得豐盈有趣，并通過4個關鍵問題的精心設問和適時追問，環環相扣、層層遞進，把學生的思維引向深入。讓學生在觀察、思考與交流中，解決“是什么”“為什么”的問題，切實體會到“‘數是隨人類生活、生產及社會的發展，經歷了漫長的由具體到抽象，逐步發展和完善的歷史過程”[3]。在整個學習過程中，學生一次次解決問題，又一次次面臨挑戰，重走了古人的數學思考之路，促進學生對知識更好地理解和掌握。

二、重構認知之序，厘清知識脈絡

許多數學知識的產生與發展常常經歷比較長的歷史過程，“數”的產生也是如此。人類的智慧是從計數開始的，數的出現意味著數學的起源。在這個歷史過程中，會有一些關于這一數學知識整個發展過程的關鍵階段，這些標志性的階段是人類認識這一數學知識的必經過程[4]。龐加萊指出：“教育工作者的任務就是讓孩子的思維經歷其祖先之所經歷，迅速通過某些階段而不跳躍任何階段。”學生個體的心理過程和人類的認識過程是對應的，在教學中可以借鑒人類歷史上認識這一數學知識的主要階段，重新設計教學的順序，建構引導學生數學學習的序。

“數”的產生發展主要的歷史階段為：實物記數→符號記數→阿拉伯數字。

根據“數”產生的歷史發展順序及學生的具體情況，重構“數”產生的序，從古到今，設計三個環節。此“序”與教材編排比較，教材對這三個關鍵節點的呈現是無序和點狀的，學生看完后對于知識的理解和掌握仍舊是模糊和不自覺的。教師在教學設計時通過序的排列串聯，輔以板書的展現（如圖2），充分體現了“數”發展的教學架構，就像把散落的珍珠都串了起來，抓住了數產生的歷史脈絡，使學生知道所學知識的“前世今生”。

第二個環節符號記數的產生是“數”產生的第一個關鍵步驟，是本課學習的第一個突破。由遠古時代需要對物體的個數作出準確記數而形成的，體現以匹配為目的的一一對應的計數法開始，在人類歷史發展過程中不斷優化發展。目的是既培養學生的符號意識，實現表征符號化，又讓學生領會到數學的發展是和人類文明的發展相聯系的。阿拉伯數字的產生是“數”產生的第二個關鍵步驟，是本課的核心，目的是幫助學生了解在人類文明的發展中數學的作用。通過讓學生了解古羅馬與中國商人進行商品交易時產生的交流障礙，感受到符號不統一帶來的后果，全世界統一的阿拉伯數字才會應運而生。這樣的教學從具體到抽象，從真實事例的再現到數字演變的過程，實際上就是數學的發展史。學生了解了數學的發展史，就能幫助學生理解數學，彰顯數學史在數學教學中的教育價值。

三、重歷規則之美，滋養思想方法

古羅馬數字是阿拉伯數字還沒有傳入歐洲之前使用的一種記數法，現在很多鐘表還在用它表示時間，比如上海外灘海關大樓上的大鐘就是用羅馬數字表示的。這種計數方法雖然沒有我們現在的十進制計數法那么方便，但在當時已經非常先進了，具備其獨有的思維方式，而且具有藝術價值，被人們沿用至今[5]。在教學中增加認識古羅馬數字的環節，能拓寬學生的視野，激發學生思考，在古今不同方法的對比中，體會數學思維的靈活性、豐富性和創新性，得到數學思想方法的滋養。實踐中，我們組織了如下四個層次的學習活動。

1.聯手繪本——激發學習的欲望

引問：生活中哪里可以看到羅馬數字？

教師出示繪本《古羅馬人的數字》中的一幅圖片，問：你能讀出這個市政廳建造的年代嗎？（MCMLXVII表示哪一年呢？）你想認識羅馬數字嗎？

2.交流方法——感受組數的規則

呈現下表（4至10的羅馬數字記法是空著的）：

提出問題：羅馬數字的1、2、3是用什么表示的？4呢？

結合學生的回答說明規定：起初古羅馬人是用IIII來表示4的，但是這樣寫下去花的時間太多了，所以他們規定：基本數字連用不能超過三個，如果5用V來表示，那猜猜4怎么表示？

結合4與6的表示，補充規定：小數放在大數左邊，表示減;小數放在大數右邊，表示加。

練習：根據已學的兩條規則，嘗試表示7、8、9、10。

3.根據問題——翻越學習的障礙

教師適當引導學生梳理古羅馬數字的記數規則，并布置任務：用古羅馬數字試著寫出11～20，能寫出幾個就寫出幾個。

學生獨立完成后分兩個層次交流。

第一層次交流11、12、13的寫法，并說說理由。

第二層次交流14、19的寫法。

關于14，學生有兩種不同的記法：IXV和XIV。

分別請學生說明理由，并統一認識：XIV比較合理，因為 X表示10，IV表示4，10+4=14。

同理可知：19的記法為XIX，理由：10+9， XIX。

4.回顧比較——體悟組字的特征

呈現1至20的阿拉伯數字的記法與羅馬數字的記法的對比表，請學生再次討論梳理羅馬數字的記法規則，加深理解。

引導：看了阿拉伯數字的記法與羅馬數字的記法后，你有什么發現？

學生：古羅馬數字第二行比第一行多加一個X。

學生：古羅馬數字和阿拉伯數字一樣，阿拉伯數字十幾在前面放一個10，后面加1、加2……

師：如果你把這個看懂了，21～30怎樣表示呢？

……

增加學習古羅馬數字這一環節有兩個原因：一是讓學生感悟古羅馬數字的字符由來以及組字規則;二是經歷數字由復雜到簡便發展的過程，體會數學簡潔的思想。在教學中教師以古羅馬數字為中心，對相關的數學內容進行聯想、類比，讓學生感悟數學，并對數學內容進行深入地思考，逐步體會其中蘊含的數學思想，也使得我們的數學知識更豐盈，使數學思想方法反復滲透，提高學生的認識水平。

從以上的實踐中可以發現，HPM視角下的課堂教學是一個充滿活力、富有魅力的時空，它既影響了教師，也改變了學生。它讓教師通過研讀“數”產生的歷史，結合學生個體認知特征，緊抓發展過程中的關鍵轉折點，使學生知規律、清脈絡、懂方法，在重構的教學環節中推動關鍵問題的理解，體驗思想方法的美妙，這正是“數的產生”一課的價值所在。

參考文獻

[1] 汪曉勤.HPM視角下的小學數學教學[J].小學數學教師，2017（7，8）.

[2] 岳增成.中國HPM發展之路[J]. 教學月刊：小學版（數學），2019（11）.

[3] 人民教育出版社課程教材研究所小學數學課程教材研究開發中心.義務教育教科書數學教師教學用書（四年級上冊）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[4] 賈春波.歷史發生原理對小學數學教學的幾點啟示[J].教學月刊：小學版（數學），2017（7，8）.

[5] 張奠宙.小學數學教材中的大道理 [M].上海：上海教育出版社，2018.

[責任編輯：陳國慶]