Katugampola分數階微分方程解的吸引性

陳星汝, 顧海波, 王星昭, 陳奕如, 馬麗娜

(新疆師范大學 數學科學學院, 新疆 烏魯木齊 830017)

由于分數階微分方程比整數階微分方程更具一般性, 且較整數階微分方程能更準確地描述客觀規律和事物的本質, 因此分數階微積分在許多領域得到應用，引起了越來越多的關注, 如分數動力學模型、分數控制系統、分數種群動力學模型和分數流體力學都涉及分數階導數。另外分數階微分方程也極大地豐富了數學理論的內容, 并滲透到了自然科學的很多領域中。近年來提出的Katugampola分數階導數, 是對分數階導數的推廣, 具有很大的研究潛能。許多研究者都致力于分數階微積分的研究，如脈沖微分方程[1]、模糊微分方程等[2-3]。現在基礎數學研究和工程應用研究中最常采用的分數階微積分定義有Riemann-Liouville微積分定義、Caputo微分定義、Grunwald-Letnikov 微分定義等[4]。

2011年, Katugampola[5]將Riemann-Liouville分數積分和Hadamard分數積分推廣到同一個形式, 提出了一種推廣的分數積分定義, 并于2014年提出了對應的分數導數定義[6], 后命名為Katugampola分數階導數。隨后, Katugampola[7]研究了一類Katugampola分數階微分方程在初值條件下解的存在、唯一性。此外, 許多學者也研究了Katugampola分數階算子的性質，如擴展公式[8]、變分法應用[9-12]、控制理論應用[13]、凸性和積分不等式[14-15]以及新算子和類似算子的Hermite-Hadamard類[16-17]不等式等。除此之外,Katugampola 分數導數還應用于物理[18]、動力系統[19-20]、生物學[21]等領域。根據目前文獻報道,還沒有關于Katugampola分數階微分方程解的吸引性研究，而吸引性可以為研究其他類型的非線性積分方程解的局部和全局吸引性提供幫助, 方便證明解的穩定性、存在性。

本文將討論Katugampola分數階微分方程解的吸引性，如式(1)所示。

(1)

本文利用Schauder不動點定理和非緊性測度方法, 建立了解全局吸引的充分判據, 得到了Katugampola分數微分方程解的吸引性結果。本文結果從本質上揭示了Katugampola分數階微分方程解的特性。

1 背景知識

C表示所有連續函數x:[0,∞)→X的Banach空間, 范數可表示為式(2)。

(2)

(3)

定義1[6]當-∞

(4)

定義2[7]當0≤a

(5)

命題1[22]如果a>0,b>0, 則

(6)

定理1[23]即Schauder 不動點定理，令X為Banach空間,Q為X中的非空有界閉凸子集且Λ:Q→Q為連續的緊映射。則Λ在Q中至少有一個不動點。

定理2[24]即Arzela-Ascoli 定理，為使F?C(M)為一個列緊集, 必須且僅須F是一致有界且等度連續的函數族。

對?{xn}?C0([t0,+∞),X)為基本列, 即‖xn-xm‖∞→0,n,m→∞。

對?ε>0, ?N>0, 當n,m≥N時, 有

(7)

則對每一個t∈[t0,+∞)有‖xn(t)-xm(t)‖<ε,則{xn(t)}為X中的基本列, 所以{xn(t)}收斂, 記為xn(t)→x0(t),n→∞, 且

即x0∈C0([t0,+∞),X)。

在式(7)中, 令m→+∞, 則

因此xn一致收斂于x0。

我們還需要下面的廣義Ascoli-Arzela定理。

引理2[25]當且僅當下列條件成立，集合H?C0([t0,+∞),X)是相對緊的。

(1)對任意的T>0,H中的函數在[0,T]上是等度連續的;

(2)對任意的t∈[0,∞),H(t)={x(t):x∈H}在X中是相對緊的;

(3)如果x∈H,當t→∞時, ∣x(t)∣一致收斂于0。

2 主要結果

引理3假設算子f:[0,∞)×X→X是連續的。則式(1)的解可表示為

(8)

且右側在(0,∞)上是逐點定義的。

我們給出下面的假設:

(H1)若t∈(0,∞),x∈X, 則|f(t,x(t))|≤Lt-β|x|δ, 其中L≥0,α<β<1,δ∈。

(H2)存在一個常數κ>0使得對任何有界集合E?X，有σ(f(t,E))≤κσ(E)，其中σ是非緊的Hausdorff測度。

對任意的x∈C([0,∞),X)和給定的n∈+, 定義算子U

(9)

由于0<α<β<1, 我們令γ>0足夠小, 使得

令T>0足夠大, 使得

(10)

定義集合S

S={x(t)|x∈C([0,∞),X), |tγx(t)|≤1,t≥T}，

明顯地,S≠?, 且S是C0([t0,+∞),X)的一個有界閉凸子集。

引理4假設H1成立, 則{Ux:x∈S}是等度連續的且若x∈S, 則

對任意的x∈S, 和t1,t2≥T, 我們有

|(Ux)(t2)-(Ux)(t1)|

進一步, 當0≤t1

相似地，對任意的t1

|(Ux)(t2)-(Ux)(t1)|≤|(Ux)(t2)-(Ux)(T1)|+|(Ux)(T1)-(Ux)(t1)|→0,t2→t1。

因此, 結合上面的論證, 很明顯, {Ux:x∈S}是等度連續的。

還需證明若x∈S, 當t→∞時, |(Ux)(t)|是否一致收斂于0。事實上, 我們有

(11)

這證明了若x∈S, 當t→∞時, |(Ux)(t)|一致收斂于0。

引理5假設H1成立。則U為S到S的映射且U在S上連續。

證明

步驟1U:S→S

若x∈S, 通過引理4, 我們有Ux∈C([0,∞),X)。另一方面, 當t≥T時, 運用不等式(10), 我們有

這意味著U:S→S。

則, 當t>T2時

當0

因此, 當m→∞時, 有‖(Uxm)(t)-(Ux)(t)‖→0, 這意味著算子U是連續的。

定理6假設H1和H2成立。則問題(1)有至少一個吸引解。

證明通過引理5可得U:S→S有界且連續。下面將證明U∈C0([t0,+∞),X)是相對緊的。

由引理4可得{Ux:x∈S}是等度連續及若x∈S, 當t→∞時, |(Ux)(t)|一致收斂于0。下面參考文獻[26]中的定理4.34的證明方式, 我們由假設H2可得在X中，對任意t∈[0,∞),{Ux:x∈S}是相對緊的。因此, 運用Schauder不動點定理, 算子U有一個不動點xn∈S, 且當t→∞時, 有xn(t)→0。通過使用與引理4相似的證明方法, 可得在[0,∞)上, {xn(t)}是一致有界且等度連續的, 對任意的t∈[0,∞), {xn(t)}是相對緊的。因此, 運用Arzela-Ascoli定理, {xnk}是{xn(t)}的一個一致收斂子序列。進一步我們有, {xnk}滿足

(12)

這意味著x*(t)是式(1)的一個吸引解。