徜徉在『數學經驗課堂』的探尋路上

楊國華（特級教師）

讀者朋友，如果您曾讀過本刊2019年第9 期的卷首語《讓“經驗課堂”成為一種美好樣態》一文，想必對“數學經驗課堂”已經有了初步的感性認知。今天，我將結合王扣蘭老師的《延展度量工具共性 提升經驗遷移能力——〈角的度量〉教學實踐與思考（一）》［以下簡稱課例（一）］和王笑老師的《基于經驗視角 引之嘗試“自漁”——〈角的度量〉教學實踐與思考（二）》［以下簡稱課例（二）］這兩個課例再次為大家解讀“數學經驗課堂”的理性認識與實踐思考，以便大家對“數學經驗課堂”有更好的認知，亦企盼各位讀者能與我們共同攜手，構建更臻完善的“數學經驗課堂”體系，以不斷提升當前的數學課堂教學效益。

自2011年《數學課程標準》首次提出“幫助學生積累數學活動經驗”這一課程目標以來，我們用八年多的時間持續做了兩個江蘇省教育科學規劃課題，主題都是圍繞“幫助學生積累數學活動經驗”而開展研究的。我們從最初的懵懂到現在的逐步厘清，主要遵循了三個研究的原則。一是“體系化”的研究視角。小學階段應該幫助學生積累哪些基本的數學活動經驗，這些數學活動經驗在不同年級是如何上升的。二是“過程性”教學目標的思考。學生的數學活動經驗積累的重點在于“經歷”與“體驗”，建立怎樣的一種教學模型才能促進教師在常態課教學中也能自覺讓學生充分經歷知識的發生、發展過程。三是“課程建設”視角的審視。課程標準基本理念第四條指出：學習評價的主要目的是為了全面了解學生數學學習的過程和結果，激勵學生學習和改進教師教學。從課程建設視角來看，我們應當建立目標多元、方法多樣的評價體系。

一、基點與架構

根據史寧中、孔凡哲等教授學者的觀點，也是為了便于研究，我們從以下四個緯度開展了如何幫助學生積累數學基本活動經驗的相關研究：行為操作活動的經驗、數學探究活動的經驗、數學思維活動的經驗和數學問題解決的經驗。其中，行為操作活動的經驗是指來自于外顯行為操作活動中感覺、知覺的經驗，屬于直接經驗。數學探究活動的經驗既有外顯行為的操作活動，也有思維層面的操作活動，是融行為操作與思維操作于一體，并不完全脫離行為操作的數學活動，探究活動的經驗一般是直接經驗。數學思維活動的經驗一般是指不借助外在的實在物體而依據思維材料進行數學操作活動獲得的經驗，主要包括歸納、類比、聯想、猜想、特殊與一般化等思維活動。數學問題解決的經驗是指運用數學知識進行問題解決的經驗（包括發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的經驗等）。

學生數學活動經驗的水平是螺旋上升的，其上升的過程一定是依附于特定的數學學習活動的開展而逐步遞進的。如為幫助學生較好積累數學問題解決的經驗，當前蘇教版教材從三年級起就專門安排了《解決問題的策略》單元，應該說這是蘇教版小學數學教材的一大特色和亮點。但事實上，對于學生數學問題解決的經驗積累，并非一、二年級或其他教材中就沒有，故我們從一年級起對教材進行重新梳理，一共列出了24 個諸如“求被減數的實際問題”“簡單的兩步計算實際問題”等典型題材，并進行系統設計與教學實踐，注重滲透，逐步積累與提升學生數學問題解決的經驗水平。

美國組織行為學教授庫伯曾提出：知識是經驗的構成與再構成，學習是“始于經驗、然后回歸于經驗”“改造或者轉化經驗、創造知識”的過程。按照這一理論觀點，隨著研究的不斷深入，我們明確提出了“經驗課堂”的新觀點。其指向是讓學生真實經歷數學知識的發生和發展過程，以讓學生對數學多一份體驗、感悟，不斷積累豐富的數學活動經驗，提升學生的數學思維品質。“經驗課堂”有其操作模型：基于經驗——喚醒經驗——積累經驗——提升經驗——應用經驗。這五個步驟層層遞進，但并不是每一節數學課都需要面面俱到，可以是其中的三四個環節，這從我們提供的兩個課例中可窺一斑。這個模型把學習內容、經驗積累與數學活動有機結合，既體現了在課堂教學中幫助學生積累數學基本活動經驗的基本路徑，又是指導我們進行數學活動設計和課堂教學實施的基本依據。從這一角度而言，與其說它是一種教學模型，毋寧說它是一種教學思想。

二、設計與實踐

“數學經驗課堂”的設計思維是讓學生站在數學學習的正中央。這意味著我們教師始終應當保持兒童視角，要站在學生的角度設計教學。奧蘇貝爾曾說過：影響學生學習新知的唯一最重要的因素，就是學習者已經知道了什么。從經驗課堂設計的角度而言，也就是要基于學生的已有經驗引導學生進入數學的探究之旅。在《角的度量》這兩個不同的教學課例中，應該說都遵循了這一立場。課例（二）從比較角的大小開始，而后在多種工具測量的過程中產生認知沖突，激發統一測量工具的內需。當教師將折疊的∠3 打開后，學生發現這就是一個量角器時，他們驚訝于自己的發現：原來量角器就是由若干個角組成的，量角器中存有許許多多個大小不同的角。如此，學生在真正進行角的度量時，就不再感到困難與陌生，他們自然就會認識到量角無非就是在量角器中找到不同的角而已。我們知道，不管是測量長度還是角度，皆是在量（liáng）中產生了不同的量（liàng）。課例（一）即是基于學生對測量長度的已有認知，從工具視角打通量角器與直尺之間的共性，不能不說是一種創新的思維，更是一種基于學生已有認知經驗的設計，從直尺測量長度的經驗中讓學生感悟并自然而然將方法遷移到用量角器測量角度中去，設計可謂新穎有效。仔細推敲，兩種測量方法還真有異曲同工之妙。

“數學經驗課堂”的重要特質就是強調“學法五動”。即在數學學習活動中，為了更好地讓學生積累豐富的數學活動經驗，我們要盡可能多地創造機會讓學生動手操作、動眼觀察、動腦思考、動口說理、動耳傾聽。在這兩個課例中，幫助學生積累數學行為操作經驗的要求是顯而易見的，學生只有在動手操作中才能較好地感悟到量角的技巧，形成真正的量角技能。但課例中的動手又并非是一種機械操作，它需要學生在操作中嘗試、探究、體悟，從而積累量角的豐富經驗。在這一過程中，需要學生進行觀察、思考，更需要他們將自己的心得體悟表達出來。細細品味，我們發現兩位教師都能抓住這一實踐要點，創設一切機會讓學生到臺前來表達數學想法，這是難能可貴的。這也是“數學經驗課堂”一直倡導的，不管是哪一節課，我們的學生都需要到臺前表達他們的數學思維。我們堅持認為，學生站在座位前講述與到臺前表達的心理機制、思維邏輯水平等都是不一樣的，一位學生能在臺前將自己的內隱思維外顯化，這不僅是一種數學教學，更是一種數學教育。關于“動耳傾聽”亦如此，學生不僅要會思考、會表達，更要會傾聽，要能傾聽教師的分析，更要能傾聽同伴的講解，要在傾聽中學會思考、學會表達、學會成長。

“數學經驗課堂”還注重學生反思意識的培養，即元認知水平的提升。課例（一）中的最后一個環節，當學生在交流分析“下面用量角器量角的方法是否正確”的最后一題時，學生主動與原先所學的知識進行建構聯系，認為用量角器量角時沒有從0°刻度量起，這與用直尺量長度時沒有從0°刻度量起是一樣的，雖然不是最好的方法，但談不上是一個錯誤的方法。僅從這一點而言，學生的反思意識在明顯增強，他們不僅學會了學習，更學會了反思，并主動讓所學知識建立內在關聯性。在課例（二）的課尾讓學生說說這一節課是怎樣探究“角的度量”過程，以及要求學生為量角器寫一份使用說明書，這些都是提升學生元認知水平的最好表征方式。

三、順應與統整

在“數學經驗課堂”的探尋路上，我們提出了一個重要的理論觀點“思維的起點是經驗，經驗的發展是思維。”這一觀點的提出順應了學生數學素養提升的內在規律性。這里的順應并非指迎合學生，而是教師在教學中能正視學生數學學習的已有經驗與認知發展水平，不斷地調整自己的教學預案，從而為學生的發展提供適切的學習時空。

我們知道“角的度量”，其本質是將一個待測量的角與一個標準量（1°角）進行比較，“1°角”的個數就是度量的結果。在課例（二）中，教師在學生認識到量角器中存有若干個角后（將∠3 展開后即為量角器的模型），隨即組織學生自學課本，在交流環節學生自我發現“量角器中有180 個1°角”，這對學生來說應該是一個重要的發現，他們模糊感覺到任何角都是由許許多多個1°角組成的。由此，教師順勢利導，引導學生測量60°的∠A 時，學生很自然地指出∠A 里有6 個10°的角。這個10°角其實也是一個較大的單位量，只不過它里面包含了10 個1°角而已。至此，應該說更進一步加深了學生對量角器構造的認識，即量角器中確實存有若干個不同的角，量角器就是由180 個1°角組成的。在這個教學過程中，教師本來在預設時是要明確講解角的度量就是要看其中有多少個1°角的，但教師根據學生的學習狀態不斷調整教學預案，完全將學生推到了數學課堂學習的正中央，讓學生自主學習、操作、交流，順應了學生學習的內在需求。當再次讓學生測量45°角時，學生已經能夠明確感受到其中就是包含了45 個1°角。這個教學過程完全順應了學生的認知發展規律，學生在操作活動中對角的度量經驗不斷豐富，思維也在不斷提升。

“數學經驗課堂”還強調統整性思想。這里的“統整”可以指不同學科間的橫向統整，即重視同一知識在不同學科領域的分布，以及學生在不同學科學習時已經獲得的經歷與體驗。同時，我們以為“統整”更表現在數學學科內部縱向間——具有內在關聯性知識之間的一種學習經驗的積累。我們經常說，所謂數學探究，就是學生將未知的、亟待解決的生活與數學問題嘗試轉化成用已有的知識與經驗去獲得問題解決的過程。而這一表述其實就是要求數學教學需要具有統整思維，要能夠主動幫助學生建立知識之間的內在聯系。如課例（一）中，教師從測量工具的共性視角出發，引導學生進行探究，借助直尺量長度的經驗，很快明晰與理解了角的度量本質。此后，讓學生在測量90°、135°、45°這三個角時，首先讓學生進行估計分別是多少度的角，而后再進行測量。再如，兩節課中都有將不同資源進行整體呈現比較的過程。如此，通過多種活動方式、多元的資源呈現方式及幫助學生主動構建知識的前后聯系等，這些都是“經驗課堂”背景下統整思維的一種具體的外在行為表現，目的都是豐富學生的學習體驗，幫助學生積累與提升數學活動經驗，發展數學思維。

徜徉在“數學經驗課堂”的探尋路上，我們也一直努力試圖將學生的數學活動經驗水平給予評價，當然主要是質性評價范疇的探究。即將每一種數學活動經驗的發展分為三個水平：水平一為“模仿”階段；水平二為“在教師啟發下主動進行數學模型的構建與問題的解決”；水平三為“能自主建立數學模型，主動進行操作探究等，尋求問題的解決路徑”。在兩節課例中，顯然學生的數學活動經驗水平都已處于水平二的層級上。限于篇幅，對于學生數學活動經驗水平的闡述將擇機再與同行們細細分享。