開放性練習(xí)，讓學(xué)生走向數(shù)學(xué)本質(zhì)

孫貴合

數(shù)學(xué)到底要學(xué)習(xí)什么？只是簡單的加減乘除嗎？只是對概念、公式的反復(fù)記憶嗎？只是能夠解決一些數(shù)學(xué)問題嗎？教師到底如何教數(shù)學(xué)？學(xué)生又應(yīng)該學(xué)些什么？答案只有一個——從表象學(xué)習(xí)走向數(shù)學(xué)本質(zhì)的學(xué)習(xí)。“所謂數(shù)學(xué)的本質(zhì)，就是指數(shù)學(xué)本身所固有的、決定數(shù)學(xué)學(xué)科性質(zhì)、面貌和發(fā)展的根本屬性。從微觀上說，數(shù)學(xué)本質(zhì)就是具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)意義。因此，在教學(xué)中我們就得抓住：對基本數(shù)學(xué)概念的理解；對數(shù)學(xué)思想方法的把握；對數(shù)學(xué)特有思維方式的感悟；對數(shù)學(xué)美的鑒賞；對數(shù)學(xué)精神（理性精神與探究精神）的追求。”（《數(shù)學(xué)核心思想》史寧中）

那么如何能夠走向數(shù)學(xué)的本質(zhì)呢？在此，以下面兩個案例為例，與大家分享我的經(jīng)驗與思考。

案例一：人教版五年級上冊《認(rèn)識方程》。

對于《認(rèn)識方程》一課，許多教師都認(rèn)為很好講，什么是方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。但只背下這一句話就叫認(rèn)識方程了嗎？它真的能夠概括出方程的本質(zhì)嗎？中國科學(xué)院李邦河院士說：“數(shù)學(xué)歸根結(jié)底是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也。”可知概念教學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位，因為任何一個新的知識的產(chǎn)生，一定是源于新的概念的產(chǎn)生。《認(rèn)識方程》是學(xué)生由算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡的第一課，通過認(rèn)識方程，“要讓學(xué)生了解方程的作用，了解等式的性質(zhì)，能夠用方程刻畫現(xiàn)實情境中的數(shù)量關(guān)系，方程是溝通已知量和未知量的一種數(shù)學(xué)模型。”（《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》）可見一句話起不到這樣大的作用。任何一個概念本身，都是前人智慧的結(jié)晶，而我們教學(xué)的作用就是把這個結(jié)晶傳授給學(xué)生，讓學(xué)生在親身經(jīng)歷中慢慢總結(jié)出概念。本課教學(xué)后，教師還會設(shè)計一些辨析，以及結(jié)合實際情境列方程的練習(xí)。當(dāng)然，這些練習(xí)是必要的，但除此之外，我又設(shè)計了這樣一道開放性練習(xí)：

師：我心里想一個數(shù)，這個數(shù)乘4，再加上6，最后等于90。你能夠計算出這個數(shù)是多少嗎？

生：90-6 的差，再除以4，就能算出這個數(shù)了。

師：非常好，這種方法我們學(xué)習(xí)過，它叫什么？

生：倒推法、逆推法。

師：你能用今天學(xué)習(xí)的知識列一個方程嗎？

生：4x+6=90。

師：同學(xué)們，你們仔細(xì)想一想，以前的方法和我們列方程的方法有什么不同嗎？

生：原來的沒有未知數(shù)，今天的有未知數(shù)；原來的直接計算了結(jié)果，方程沒有結(jié)果；原來的方法是倒著去想的，而方程是順著去想的。

師：太好了，你發(fā)現(xiàn)了以前的方法與方程之間一個重要的區(qū)別。雖然今天這些題目同學(xué)們都能夠很快計算出結(jié)果，但我們?nèi)砸獙W(xué)習(xí)方程是因為以前的方法更多的是倒著去思考問題，而方程是順著思考問題，兩者的思維方向相反。

設(shè)計這道練習(xí)題，主要有以下兩方面的原因：

1.算術(shù)方法與代數(shù)方法的本質(zhì)區(qū)別。

張奠宙先生曾說：如果將要求的答案比喻為在河對岸的一塊寶石，那么算術(shù)方法好像是摸著石頭過河，從岸邊開始，一步一步摸索著接近要求的目標(biāo)，而方程卻不同，好像是將一根帶鉤的繩子甩過河，拴住對岸的寶石（未知數(shù)）（建立等量關(guān)系），然后用這根繩子慢慢地拉過來，最終獲得寶石。這個例子使我們看到利用方程和算術(shù)解題的思維路線往往是相反的，以前只能一條腿走路，以后學(xué)生就可以兩條腿走路了，從而使學(xué)生接受方程。

2.能夠用算術(shù)方法解決的簡單問題為什么這么麻煩？

教學(xué)《認(rèn)識方程》這一課時，教師所出示的現(xiàn)實情境都非常簡單，學(xué)生口算就能得出結(jié)果，這時學(xué)生一定有一個疑問：“我都能夠解決了，為什么還要學(xué)習(xí)方程？”古話講“餓了吃糠甜如蜜，飽了吃蜜不如糠。”所以通過這道題，要讓學(xué)生感受到認(rèn)識方程不是單以解決問題為目標(biāo)，更重要的是思維的方向，從而使學(xué)生真心接受方程。這也就是為什么很多教師在教學(xué)時，學(xué)生經(jīng)常會出現(xiàn)：8-5=x、12÷4=x 的情況。當(dāng)然出現(xiàn)這種情況也是正常的，因為在以前的學(xué)習(xí)中，教師反復(fù)強調(diào)要把結(jié)果寫在等式的右邊，所以學(xué)生很難一下改正過來。

正是由于這個情況，我又設(shè)計了下面一道練習(xí)題：20+30=？

生：太簡單了，等于50。

師：還有不同答案嗎？

生：老師，還能等于30+20。

師：在他的啟發(fā)之下，你們還能想到什么？

師：剛才只有一個答案，現(xiàn)在每個人都有了不同的答案，這是為什么呢？我想是不是等號給你們的影響最大？以前我們看到等號就想到要計算，其實等號更重要的是表達左右的量相等。

通過簡單的交流，使學(xué)生對等號的作用由原來認(rèn)識的片面性升華到數(shù)學(xué)本質(zhì)，還避免了學(xué)生在課上經(jīng)常出現(xiàn)8-5=x、12÷4=x 的現(xiàn)象，使學(xué)生從更深層次理解了方程的本質(zhì)。

案例二：北師大版四年級上冊《運算律》。

很多教師在教學(xué)這一內(nèi)容時，當(dāng)學(xué)生已經(jīng)總結(jié)出“加法交換律”“乘法交換律”，并能夠用語言去正確表達后，教師便說：“還可以用字母表示：a+b=b+a。”在這個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生掌握了知識，但失去了總結(jié)、歸納、抽象的過程。

我在教學(xué)這節(jié)課時，沒有給出用字母表達的形式，學(xué)生只能用語言表達，于是在課后練習(xí)中，我設(shè)計了這樣一組練習(xí)：87+32=32+（）、251×（）=（）×251。這兩道題是基礎(chǔ)題目，同時也為后面的練習(xí)做鋪墊，第一題是唯一答案，而第二題答案不唯一。當(dāng)學(xué)生能夠正確解答之后出示第三題：（）+（）=（）+（）。

師：現(xiàn)在一個數(shù)字都沒有了，你還能填寫嗎？

生：3+4=4+3。

師：誰能說一個和他不一樣的？

生：50+120=120+50。

師：表面看起來數(shù)字不同了，但我覺得它們還是一樣的，只是數(shù)字變大了，由1 到1 萬不叫創(chuàng)新，由0 到1 的過程才叫創(chuàng)新。

生：0.2+1.3=1.3+0.2。

師：此處應(yīng)該有掌聲，這位同學(xué)為我們提供了一個新的領(lǐng)域，那這樣的例子舉得完嗎？

生：舉不完，太多了。

師：都說舉不完，誰能舉完，那才叫本事！

生：誰加誰都等于誰加誰。

師：這里“誰”太多了，你能區(qū)分一下嗎？

生：第一個數(shù)加第二個數(shù)等于第二個數(shù)加第一個數(shù)。

師：非常好，他想到了用文字去表達，現(xiàn)在也不許用文字了，你還能說一個嗎？

生：蘋果+香蕉=香蕉+蘋果。

師：現(xiàn)在也不許用水果表達了。

生：A+B=B+A。

師：看，同學(xué)們發(fā)揮自己的想象，得到了這么多種表達形式，真了不起，在數(shù)學(xué)上一般用字母表達。

出示：（）×（）=（）×（）。

學(xué)生很快得出：A×B=B×A。

本題的設(shè)計使學(xué)生真正經(jīng)歷了抽象、總結(jié)、歸納、概括的過程。通過教師的不斷追問，學(xué)生真正拓開了自己的思維領(lǐng)域，從文字到實物到圖形再到符號，最后到字母，真正經(jīng)歷了知識產(chǎn)生的過程，并且開拓了學(xué)生的思路。通過教師的舉例，使學(xué)生真正產(chǎn)生了自己的思考，在如今的課堂教學(xué)中，學(xué)生很少有自己的思考，大多是在不斷地模仿別人的答案，而本題中，學(xué)生的每一個答案都是自己思考的結(jié)果，正是有了自己的思考，才使我們的課堂教學(xué)走向了數(shù)學(xué)本質(zhì)的學(xué)習(xí)。

通過剛才兩個練習(xí)題的分享，相信教師也對數(shù)學(xué)本質(zhì)的學(xué)習(xí)有了自己的思考。民國時的《開明國語課本》教材中有這樣一篇文章，全文只有一句話：“三只牛吃草，一只羊也吃草，一只羊不吃草，它看著花。”數(shù)學(xué)教學(xué)需要“吃草”，但我們也要看“花”。“吃草”使我們能夠生存，必須要吃，還要吃飽，因為這是我們的物質(zhì)基礎(chǔ)；“看花”使我們感受到幸福，也就是我們的追求，這也是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。