概念教學中“數(shù)形結(jié)合”之功效

江蘇省太倉市經(jīng)貿(mào)小學 葉 慧

《數(shù)學課程標準（2011 版）》中指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。可見，幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。下面結(jié)合兩個教學片段說說數(shù)形結(jié)合在概念教學中的重要作用。

【片段一】

在三年級“認識小數(shù)”一課中，教師給每個學生提供了一張正方形紙，課上請每個學生動手折一折、畫一畫，用這張正方形紙來表示1 元，在正方形紙中折一折、分一分，然后涂色表示1 角。課上學生主要呈現(xiàn)了兩種比較常見的分法：①豎著平均分成10 份；②豎著平均分成5 份，再橫著平均分成2 份。有一個學生呈現(xiàn)了第三種不同的分法（如圖1），他認為自己的作品也表示1 角。教師引導學生來比較這三種分法，讓學生充分討論。因為直觀，所以學生討論起來非常熱烈。

通過交流評價，學生馬上發(fā)現(xiàn)了圖1 的問題：雖然涂色是表示1 份，但是整張紙沒有平均分成10 份，所以每一份就不是1 角。完成圖1 作品的學生及時改正了自己的想法。在大家交流的過程中，學生對0.1 元的認識更加深刻，認識到1 元的十分之一是1 角，所以1 角是0.1 元。

利用正方形繼續(xù)了幾個小數(shù)的認識后，教師課件演示慢慢將正方形抽象成直條，用長度單位之間的關系進一步加深對一位小數(shù)意義的認識，最后進一步將直條抽象成數(shù)軸上對應的點，很好地抽象出一位小數(shù)的屬性。

【片段二】

在五年級“分數(shù)意義”一課中，任課教師對教材后面的練習題進行了重新設計和開發(fā)利用，在新授環(huán)節(jié)設計了“分數(shù)墻”（如圖2）這一情境，幫助學生理解感受單位“1”及分數(shù)單位在認識分數(shù)中的重要意義。

教師通過課件演示，要找大小相等的分數(shù)。在探究的過程中，學生借助直觀自主發(fā)現(xiàn)了分數(shù)中的很多知識，如：分數(shù)單位不同，但是只要表示的涂色部分長度相等，分數(shù)大小就相等，例如二分之一和四分之二；分數(shù)的分母是幾，分數(shù)單位就是幾分之一，單位“1”里面就有幾個這樣的分數(shù)單位，例如五分之二，分數(shù)單位是五分之一，單位“1”里面有2 個這樣的分數(shù)單位……接著，教師用課件動畫演示將“分數(shù)墻”中表示單位“1”的直條抽象成數(shù)軸上的0 ～1，借助“分數(shù)墻”上的涂色部分找到數(shù)軸上分數(shù)的對應位置，很好地實現(xiàn)了圖形直觀與數(shù)抽象之間的過渡。

數(shù)形結(jié)合，具體地說，就是將抽象數(shù)學語言與直觀圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，通過“數(shù)”與“形”之間的對應和轉(zhuǎn)換來解決數(shù)學問題。這兩個片段中，教師都借助了形的直觀，使得課堂靈動了起來，學生對抽象的數(shù)學得有趣、生動、有效?？梢姡柚庇^逐步抽象，數(shù)形結(jié)合在小學階段的概念教學中有著重要的作用。

一、以“數(shù)”化“形”，直觀化

“數(shù)”和“形”是一種對應，有的數(shù)量比較抽象，我們難以把握，特別是小學生思維發(fā)展的基本特點是以具體形象思維為主要形式，逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式，但是這種抽象邏輯思維在很大程度上仍然是直接與感性經(jīng)驗相聯(lián)系的，仍然具有很大成分的具體形象性?！靶巍本哂行蜗?、直觀的優(yōu)點，能表達較多具體的思維，起著解決問題的定性作用，因此，我們可以把“數(shù)”的對應——“形”找出來，利用圖形來解決問題。在概念認識過程中，借助直觀能夠更好地幫助學生建立對概念的認識。

片段一是認識小數(shù)的第一課時。小數(shù)對于學生來說，認識形但不認識本質(zhì)。教師聯(lián)系學生的生活實際，讓學生把一個正方形看成1 元，通過分一分、畫一畫來表示1 角。教師呈現(xiàn)了正確表示后，又展現(xiàn)了學生思考中的錯誤資源，此時，教師并不急著去下結(jié)論，而是組織學生看著三種結(jié)果展開觀察交流。完成圖1 的學生通過同伴的交流和直觀的比較，最后有條理地表述：“因為1 元=10 角，所以應該把這個正方形平均分成10 份，1 角就是其中的一份。一定要注意平均分成十份?！痹谶@個過程中，學生學會了思考，初步認到了一位小數(shù)與十進制的聯(lián)系。

這個環(huán)節(jié)的設計，教師通過直觀演示，將一個比較抽象的概念學習內(nèi)容具體化，實現(xiàn)了對一位小數(shù)的初步感受。

片段二中，教師借助“分數(shù)墻”的直觀，讓學生充分感受了分數(shù)的分數(shù)單位，有幾個這樣的分數(shù)單位就是幾分之幾。在進一步的直觀比較后，學生還推理出分數(shù)墻還可以繼續(xù)延伸，使學生既學得了數(shù)學知識，又潛移默化地感受到了數(shù)學的極限思想，像這樣不斷地平均分下去，就可以得到無數(shù)個分數(shù)。整個學習過程實現(xiàn)了對分數(shù)意義和分數(shù)單位的正確理解。

在我們之前的學習中，借助一些實物教具，比如花片、小棒、小正方體、計數(shù)器等，也是為了幫助學生初步建立對概念特別是數(shù)的屬性的認知。因此，概念教學中重視形的直觀，對于思維處于直觀形象階段的小學生來說是認數(shù)的第一步，也是數(shù)學學習中一種重要的學習方式。

二、以“形”變“數(shù)”， 抽象化

雖然形有形象、直觀的優(yōu)點，但在定量方面還必須借助代數(shù)的計算，特別是對于較復雜 的“形”，不但要正確地把圖形數(shù)字化，而且還要留心觀察圖形的特點，發(fā)掘題目中的隱含條件，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，進行分析計算。

片段一和片段二中，教師都在學生建立了豐富的直觀認知后，及時地將直條抽象成數(shù)軸，再讓學生根據(jù)借助直觀了解到的一位小數(shù)和分數(shù)在數(shù)軸上找到相應的點，借助形象感知數(shù)，抽象出數(shù)在數(shù)軸上的位置，發(fā)展數(shù)感在此時就能顯得水到渠成。學生在教師的引導下，通過直觀觀察、比較、歸納積累了對一位小數(shù)意義和分數(shù)意義的認識的經(jīng)驗，進一步把具有實際意義的數(shù)在數(shù)軸上呈現(xiàn)出來，體現(xiàn)了數(shù)學的抽象特征。

數(shù)的抽象不僅反映了數(shù)本身的特點，也是數(shù)學的學科特點，不僅是對數(shù)的深入感知，也是對數(shù)學的更深入了解。

三、“形”“數(shù)”互變， 深入化

數(shù)形結(jié)合，把抽象的數(shù)量關系具體化，把無形的解題思路形象化，利于學生高效學習數(shù)學，利于數(shù)學興趣的培養(yǎng)、數(shù)學思維的發(fā)展、知識運用能力的增強，使數(shù)學教學變得更有效，事半功倍。

片段一和片段二中，教師有機地將數(shù)與形相結(jié)合，為學生學習認數(shù)積累數(shù)學活動的經(jīng)驗。在學習一位小數(shù)意義時，學生通過分一分、涂一涂、比一比、說一說的活動，思維得到了提升，在這些數(shù)學活動中獲得的學習經(jīng)驗，使學生在以后學習數(shù)概念時能事半功倍。通過動手操作的學習，學生是帶著思考、帶著方法去學習的，其學習能力定能得到提升。“分數(shù)墻”中凸顯了分數(shù)單位在分數(shù)中的作用，為學生進一步學習分數(shù)的相關知識、相關實際問題打下基礎，分數(shù)單位不同，但是能夠找到大小相等的分數(shù)，在數(shù)軸上的同一個點能夠用不同的分數(shù)來表示等，這其中還有許多值得繼續(xù)探索的相關知識，如果給學生更多的時間和空間，學生一定會有更多發(fā)現(xiàn)，也能讓學生學得更細微、深刻。

數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結(jié)合起來，它可以使代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化。數(shù)形結(jié)合思想是一種可使復雜問題簡單化、抽象問題具體化的常用的數(shù)學思想方法。數(shù)形結(jié)合思想方法是小學階段的一個重要內(nèi)容，這種思想方法也是學生在初高中學習空間思維的關鍵點，為小學教學開辟一個新天地，為學生終身學習、持續(xù)發(fā)展打下堅實基礎。