走出教材，走進最近發展區

孫慧

摘 要：九年級學生已具備一定的幾何推理能力，雖然此內容不在教科書范圍內，但在很多習題、課外輔導中都有涉及，學生頻頻遇到，為此，文章作了四點共圓的設計參考，執教后效果良好。

關鍵詞：四點共圓;教學設計;互逆命題

1? ? 四點共圓的教學設計

1.1? 環節1：概念明晰

提問：任何4個點都能共處一個圓周上嗎？

學生知道不可能，但不一定清楚具體緣由。教師給出四點共圓概念：如果同一平面內的4個點恰好在同一個圓上，則稱這4個點共圓。加了口語“恰好”，給學生建立意識：并不是所有點都處在一個圓上的，并且接下來的內容都是建立在“恰好”的基礎上。

1.2? 環節2：性質探究，加深理解

提問：在人教版九年級上冊24章，已經學習了圓的內接四邊形的相關性質。你能夠說出圓的內接四邊形哪些特征？學生比較容易得出答案。

性質1：圓的內接四邊形對角互補。

提問：四邊形的一個內角，只和它的對角互補嗎？

引導學生發現外角和內角也是互補關系。

性質2：圓的內接四邊形的外角等于內對角。

提問：通過前面的兩個性質發現了四點共圓中的角相等。結合圖1，學生還能觀察到什么？

給學生思考方向—角相等。利用同弧所對的圓周角相等，可發現∠D=∠C。連接CD，會有更多的相等角出現，鼓勵學生用數學語言概述發現。

性質3：共圓的四個點，所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等。

環節2是對共圓的四點所圍成的四邊形的性質的探究。結果發現，3條性質都是對角相等的分析，由此對共圓的四個點有更獨特的認識，有助于學生區別圓的內接四邊形與普通四邊形。點撥性質3的作用：只要證出四點是共圓的，即便圖中無圓，也可得到三角形中角的關系。此點撥可引發學生質疑如何證明四點共圓的問題。

1.3? 環節3：刨根問底，追溯源頭

提問：“恰好”在一個圓上的4個點，才有以上角相等的特征性質。那么怎樣的4個點，才能滿足“恰好”是需要解決的問題。教師通過書本告訴學生幾點確定一個圓也是值得研究的問題。

提醒學生，不在同一直線上的三點確定一個圓。還有一個點，需要滿足什么條件才能在圓上的問題是需要探討的。因此，不妨先作出△ABC。具體如圖2所示。

若點D在圓上，由性質1可知∠D和∠B互補;若點D不在圓上，就只能在圓外或圓內，會出現的情況是需要考慮的問題。順著思路，假設點D在圓外。連接CD，交⊙O于點D′，連接AD′，發現如圖2所示，A、D′、C、B四點共圓，因此，∠AD′C和∠B互補。并且在△ADD′中，∠AD′C>∠D，即∠D+∠B≠180°;同理，若點D在圓內，也會發現∠D+∠B≠180°，因此得到四點共圓的關鍵所在：∠D+∠B=180°，即對角互補。

判定1：對角互補的四邊形，4個頂點共圓。

提問：對比性質1和判定1，你發現了什么？

性質1反過來說就是判定1。教師點撥，性質1和判定1 是互逆命題。啟發學生要用規范的數學語言“互逆命題”，同時為后續判定方法的探究指明方向。

提問：那誰能說出判定2呢？

判定2是性質2的逆命題，學生容易答出。

判定2：外角等于內對角的四邊形4個頂點共圓。

提問：圖3中的∠D和∠B位于AC異側，如果兩角位于AC同側，那需要滿足什么條件，才能說明點D在圓上呢？

若點D在圓上，由性質3可知∠D和∠B相等;若點D不在圓上，就只能在圓外或圓內，會出現什么情況？順著思路，假設點D在圓外。連接BD，交⊙O于點D′，連接AD′，發現如圖3所示，A，D′，C，B四點共圓，因此∠AD′B和∠C相等。并且在△ADD′中，∠AD′B>∠D，即∠D≠∠C;同理，若點D在圓內，也會發現∠D≠∠C，因此得到關鍵要素：∠D=∠C。這也就是性質3的逆命題。

判定3：同側共底的兩個三角形的頂角相等，則四點共圓。

1.4? 環節4：例題訓練，鞏固新知

例1：如圖4所示，在四邊形ABCD中，BC=CD，對角線AC平分∠BAD，AB>AD。求證：A，B，C，D四點共圓。

思路點撥：利用角平分線的性質，通過三角形全等證明∠ADB+∠B=180°，得到四點共圓。判定1，2皆可。

設計意圖：反思舊知，活用新知。

例2：如圖5所示，AB是⊙O的直徑，CD⊥AB于點K，點E是圓上一點，連接AE交DC于點F。證：E，F，B，K四點共圓。

思路點撥：圖中有很多直角，∠FEB=∠AEB=∠FKB=90°，連接BE，BE同側的角相等，調用判定3，四點共圓。

設計意圖：圖中的垂直就是角相等的暗示。

例3：如圖6所示，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC。求證：B，E，F，C四點共圓。

思路點撥：由DE⊥AB，DF⊥AC，不難發現A，E，F，C四點共圓，因此∠ADE=∠AFE;由AD⊥BC，得到∠B=∠ADE，所以∠B=∠AFE，∠B+∠EFC=180°。

設計意圖：四點共圓的性質和判定的綜合練習。

2? ? 教學立意反思

緊抓學生的最近發展區，是設計本課的宗旨。學生課下的自主學習已多次涉及四點共圓，本課的教學勢在必行。本課從圓的內接四邊形出發，聯系舊知，得到四點共圓在角相等方面的性質;并通過互逆命題的猜想，得到四點共圓的判定方法，極大地擴充了學生對圓的內接四邊形的認知范疇。

[參考文獻]

[1]王友峰.專業自主增設內容，回看陳詞漏洞結構[J].教學導航，2016（12）：10-11.