數學分析方法在“金屬晶體結構及間隙”教學中的應用及探討

張如權 陶詠真

[摘 要]該文探討把數學思維與抽象專業知識結合起來，把數學啟發滲透且運用到專業課材料科學與工程基礎的晶體結構及間隙教學過程。該教學方法幫助學生借助已有的數學基礎知識理解抽象的晶體結構。強化學生的邏輯思維能力，激發學生學習興趣，并且有助于培養學生跨學科知識的綜合運用技巧及創新思維能力。運用數學啟發輔助材料科學與工程基礎相關知識的教學，強調對晶體結構基本概念內涵的挖掘和分析，為提高課堂教學效果和學生綜合素質提供有效策略。

[關鍵詞]數學啟發;金屬晶體結構;學習興趣;創新思維

[中圖分類號] G642[文獻標識碼] A[文章編號] 1674-9324（2020）48-0-02[收稿日期] 2020-05-18

引言

晶體結構教學內容比較抽象，需要教師和學生具有一定的空間想象能力。在教學過程中，教師可引導學生運用數學基礎知識，理解抽象的晶體結構。以金屬晶體為例，本文介紹了數學啟發在金屬晶體結構及間隙教學過程中的運用。

一、數學啟發在晶胞常數及致密度教學中的應用

基于晶體結構的幾何圖形，計算晶胞常數及致密度。四川大學顧宜教授主編的《材料科學與工程基礎》教材中詳細解釋了面心立方和體心立方晶胞常數及致密度的計算[1]。這里，我們介紹密排六方晶胞常數及致密度的計算。

密排六方點陣常數a和c與原子半徑R的關系見圖1，上層或底層的相鄰頂點原子相切，因此，a=2R（圖1（a））。中間層一個原子、底層面心原子以及底層兩個相鄰頂點原子，緊密堆積形成棱長為a的正四面體（圖1（a）），中間層原子到上下兩個底面距離相等，所以只需計算正四面頂點到底面的高即得c/2（圖1（b））。引導學生利用正四面體知識計算點陣常數c。具體如下：

二、間隙教學過程中的數學知識運用

金屬原子通常緊密堆積形成金屬晶體，但球形金屬原子密堆積結構中不可避免存在空隙，即由最鄰近4個原子形成的四面體間隙和最鄰近6個原子形成的八面體間隙。

1.四面體間隙。體心立方結構中，每個面上共棱的兩個頂點原子，與共該面的兩個晶胞體心原子形成一個四面體間隙（圖2（a））。由圖2（a）可知，四面體間隙中心位于該棱中垂線到該棱的1/4處，每個面都存在4個四面體間隙中心。引導學生分別標出各面上4個間隙中心的坐標，例如：（001）面上的四面體間隙中心的坐標分別為（1/2，1/4，1），（1/4，1/2，1），（1/2，3/4，1），（3/4，1/2，1）。結合晶胞結構的幾何圖形，引導學生計算四面體間隙大小，具體如下：

四面體間隙中心與頂點原子的距離為：

2.八面體間隙。圖2（b）示出體心立方結構中的兩類八面體間隙。其一、每個面上的4個頂點原子，與共該面的兩個晶胞體心原子形成一個八面體間隙，另外，共棱的兩個頂點原子，與共該棱的4個晶胞體心原子形成一個八面體間隙。八面體間隙的中心分別位于面心和棱的中點。結合圖2（b），引導學生觀察體心立方結構中6個面都存在5個八面體間隙中心。以（001）面為例，引導學生分別標出該面上5個間隙中心的坐標：位于面心的間隙中心的坐標為（1/2，1/2，1），位于棱中點的間隙中心的坐標分別為（1/2，0，1），（1，1/2，1），（1/2，1，1），（0，1/2，1）。另外，借助圖2（b），引導學生計算間隙的大小，具體計算過程如下：

三、結論

綜上所述，利用學生熟悉的數學知識分析抽象晶體結構專業知識，逐步引導學生理解且演算晶體結構中的各種參數。將數學啟發應用到金屬晶體結構及間隙的教學中，有利于學生理解并掌握晶胞常數及致密度的計算、以及間隙位置及大小等知識。引導學生應用數學基礎知識理解抽象的專業知識，潛移默化地培養學生跨學科知識的綜合運用技巧及創新思維能力。

參考文獻

[1]顧宜，趙長生，主編.材料科學與工程基礎（第二版）[M].北京：化學工業出版社，2011，7.

[2]馬福軍.晶體結構計算的教學研究[J].青海師范大學民族師范學院學報，2012，23（1）：91-94.