新舊人教A版“復數”比較分析

夏靜 高明

【摘要】隨著新人教A版的頒布和逐步使用，在《普通高中數學課程標準（2017年版）》的要求逐步施行的過程中，一線教師需要對新教材進行深入理解.教材對比分析有助于教師對新教材的理解.從知識點的角度對比分析“復數”部分內容，在內容上增加了對復數幾何意義的考查，增加了對復數范圍內的解方程問題，突出了復數的價值.復數概念的產生、復數的幾何意義和復數的三角表示是進行數學文化和數學史滲透的一線材料.

【關鍵詞】教材對比;復數

《普通高中數學課程標準（2017年版）》進一步明確了普通高中教育的定位，優化了課程結構，更新了教學內容，研制了學業質量標準.《普通高中數學課程標準（2017年版）》對課程內容進行了調整：算法初步、線性規劃、生活中的優化問題舉例、幾何概型等內容被刪除;增加了復數的三角表示、數學歸納法等內容.相關內容的排布和位置也有一定的變化.面對新的教材，面對教學內容和教學要求的變化，對新舊人教A版教材內容的比較分析有助于一線教師對課程標準的理解及對課堂教學的把握.

數系的擴充體現了數學的發現和創造的過程，是人類社會的結晶，同時體現了數學發生、發展的客觀需求.對復數的學習有利于學生整體把握數系的擴充過程，有利于學生體會社會生產生活實際需求與數學內部的矛盾與統一，有利于學生感受數學的應用價值.對新舊人教A版“復數”部分進行比較分析，以期幫助一線教師更好了解新教材并適應新教材.

新舊人教A版“復數”章節：

舊人教A版

選修2-2（理） 選修1-2（文） 第三章

3.1 數系的擴充和復數的概念

3.1.1 數系的擴充和復數的概念

3.1.2 復數的幾何意義

3.2 復數代數形式的四則運算

3.2.1 復數代數形式的加、減運算及其幾何意義

3.2.2 復數代數形式的乘、除運算

新人教A版

必修第二冊 第七章

7.1 復數的概念

7.1.1 數系的擴充和復數的概念

7.1.2 復數的幾何意義

7.2 復數的四則運算

7.2.1 復數的加、減運算及其幾何意義

7.2.2 復數的乘、除運算

7.3 復數的三角表示（選學）

7.3.1 復數的三角表示式

7.3.2 復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義

一、位置比較

數學知識具有內在的邏輯關系，數學知識的學習順序影響著學生的學習.因此，教學順序必須遵循學生的認知發展規律.比如，在初中階段學習“對應說”觀點下的函數概念，是建立在集合的知識下，采用自然語言進行描述.進入高中后引入了“變量說”的函數概念，是在集合和映射的知識前提下，對函數概念的進一步認識.

新人教A版教材中復數的位置與舊人教A版教材相比有了一定的調整.內容順序排布上考慮到數學知識的內在邏輯，復數的幾何意義需要用到向量知識，新教材將“復數”放置“平面向量及其運用”之后，更加凸顯數學內部聯系.比如，利用復數求解兩點的距離，一方面，體現了復數解決問題的價值;另一方面，與后續知識點“兩點間的距離公式”產生聯系.

二、內容比較

新舊人教A版“復數”知識點比較如下表：

新舊教材關于必學部分的復數內容都安排了4個課時，兩套教材對于教學內容、內容的組織順序、習題、拓展等方面有不同的編排.兩個版本含有的知識點基本一致，新人教A版增加了“復數的三角表示”作為選學部分.知識點雖然都基本相同，但其敘述的方式有一定的差異.

1.復數的引入

新人教A版教材中明確提出，一元二次方程無解的實質是判別式小于零.從一般形式的一元二次方程無解的問題中提煉出x2+a=0（a>0）無解，再歸結到x2+1=0無解.體現了一般到特殊的數學思想，彰顯一元二次方程無解的本質.

2.共軛復數

兩個版本的教材都提出了共軛復數，但出現的位置不同.新人教A版中共軛復數出現在“復數的幾何意義”部分，舊人教A版出現在“復數代數形式的乘除運算”部分.兩個版本都是從例題中總結得出共軛復數的概念，并提出共軛復數在復平面對應點的關系的思考題.舊人教A版在此基礎上進一步提出共軛復數相乘的結果是怎樣一個數的問題，新人教A版則在“復數的乘、除運算”部分以“旁白”的形式提出兩共軛復數相乘的問題.

3.復數的模

新人教A版教材在正文部分提出了復數的模長公式，并在例題和習題中加以練習.舊人教A版教材只在“旁白”資料卡片中提出復數的模長公式，沒有相關例題和習題.

4.復數的代數形式

新人教A版教材將復數定義為“形如a+bi的數”，沒有提出復數的代數形式，在選學內容“復數的三角形式”中提出了a+bi是復數的代數形式.舊人教A版教材明確提出z=a+bi叫作復數的代數形式.

5.復數的三角形式

復數代數形式的加減運算就是相應平面向量的加減運算;復數乘除運算的幾何意義是借助復數三角形式的探究而得到的平面向量的旋轉、伸縮變化.新人教A版教材將復數的三角形式作為選學部分，不做考試的要求，為學有余力的學生提供了知識拓展的途徑，也希望“不做考試要求”的選學部分能在培養學生數學素養的道路上發揮一定的作用.

三、例題、習題比較

舊人教A版教材將習題分為A，B兩個部分，習題難度具有梯度.新人教A版將習題分為復習鞏固、綜合運用、拓廣探索三個部分，大部分的練習還是沿用舊人教A版教材的練習內容，題目的順序做了一定的調整，結合教材內容增加了部分題目對應的練習.

1.復數模長的新增

“復數的幾何意義”部分增加了有關復數模長的例題和習題.題1-3：“復數的加、減運算”中增加利用復數減法運算和復數模長求兩點之間的距離.題4：新人教A版教材復數在兩點間的距離公式之前學習，舊人教A版教材復數在兩點間的距離公式之后學習.

題1（例2，新人教A版教材第71頁）：設復數z1=4+3i，z2=4-3i.

（1）在復平面內畫出復數z1，z2對應的點和向量;

（2）求復數z1，z2的模，并比較它們的模的大小.

題2（例3，新人教A版教材第72頁）：設z∈C，在復平面內z對應的點為Z，那么滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？

（1）|z|=1;

（2）1<|z|<2.

題3（練習，新人教A版教材第73頁）：已知復數2+i，-2+4i，-2i，4，32-4i，

（1）在復平面內畫出這些復數對應的向量;

（2）求這些復數的模.

題4（例2，新人教A版教材第77頁）：根據復數及其運算的幾何意義，求復平面內的兩點Z1（x1，y1），Z2（x2，y2）之間的距離.

2.復數范圍內解方程題型的新增

與舊人教A版教材相比，新人教A版教材在“復數的乘、除運算”部分增加復數范圍內解方程的例題，并在練習和習題部分均有相關練習.題5：復數的擴充和引入是為了解決一元二次方程在實數范圍內無解的問題，新人教A版教材增加了復數范圍內解方程的例題和習題，與復數的擴充與引入部分相呼應.

題5（例6，新人教A版教材第79頁）：在復數范圍內解下列方程：

（1）x2+2=0;

（2）ax2+bx+c=0，其中a，b，c∈R，且a≠0，Δ=b2-4ac<0.

四、知識拓展閱讀

1.復數的擴充和引入的歷史背景

自然數來源于對數量的刻畫，分數源于對平均分的刻畫，無理數源于對長度的刻畫，而復數在實際生活中找不到實際的背景.因此，在復數教學中，教師首先必須向學生闡述清楚“為什么要引入復數”.復數產生的歷史并不是教材中介紹的（因為一元二次方程在實數集中無解，所以要對數集進行擴充），而是在解一元三次方程問題時出現了認識上的矛盾，利用“卡當公式”討論和為10，乘積為40的兩數問題時，出現了（5+-15）×（5--15）=40這個矛盾.兩個版本的教材都在章前提到了復數產生的歷史.

兩個版本都以資料卡片的形式介紹復平面、復數與復平面內點一一對應的幾何意義、復數與復平面中向量一一對應的幾何意義、創建過程中的數學名人，以及直觀的幾何表示對復數探究的價值.

2.代數基本定理

兩個版本的教材都在章末部分呈現了代數基本定理，代數基本定理為學生提供了理解“復數是存在”的一個依據.對于一元二次方程根與系數的關系，也就是韋達定理，是學生熟悉并且常用的.代數基本定理使學生關于一元二次方程根與系數關系的認知進一步得到提高.

結 語

在內容上增加了對復數幾何意義的考查，并增加了對復數范圍內的解方程問題，突出了復數的價值.復數概念的產生、復數的幾何意義和復數的三角表示是滲透數學文化和數學史的一線材料.《普通高中數學課程標準（2017年版）》中明確提出要將數學文化滲透在日常教學中，但并不是所有的數學課堂都適合進行數學文化的滲透.復數這章節的內容對于數學文化滲透來說是一個很好的融入平臺.在數學文化滲透思想下對復數及教學內容進行設計，是探索復數教學的一個角度.無論是一線教師發表的期刊還是本科、碩士論文，對以數學文化或者是數學史作為指導方向的復數教學都進行了一定的探究.隨著新教材的使用，對于復數課程的研究應該體現課程標準中的思想，緊跟時代的步伐.特別是作為選學部分的“復數的三角表示”內容，其教學還需要更進一步的探索.在新課程標準的指導下，教師探索復數教學模式，為學生提供培養和發展數學核心素養的機會.

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