基于EMPC 方法的旋轉倒立擺控制*

馬永凌

(武夷學院機電工程學院,福建武夷山 354300)

0 引言

旋轉倒立擺是一個結構不復雜、成本不高、體積不大的實驗設備,但卻是一個非線性、強耦合、多變量的自然不穩定被控制對象,被廣泛應用于控制理論的研究,是個理想的研究平臺。模型預測控制(MPC)技術是一種處理多變量約束系統最優控制問題的最有效方法之一。但由于模型預測控制需要實時的在線優化,因此只能應用于慢速過程,不適用于旋轉倒立擺系統。為此本文研究顯式模型預測控制(EMPC)控制器,將在線的優化求解計算放到離線進行,從而提高在線計算的速度,完成對旋轉倒立擺的平衡點控制,并用Matlab進行仿真。

1 旋轉倒立擺系統數學模型的建立

如圖1所示為旋轉倒立擺的模型結構,擺桿由于重力作用,在垂直方向上會自然地擺到垂直向下的位置,為自然不穩定的被控制對象。本研究的控制目的為通過電機使旋臂轉動,并且通過旋臂的轉動帶動擺桿,使擺桿能夠保持在垂直向上的不穩定的平衡點位置上。

在不考慮各種摩擦力與阻力的前提下,可以把擺桿與旋臂都抽象為勻質桿,其中擺桿的長度為L,相對于其垂直向上的方向零位的角位移為θ;旋臂的長度為R,相對于其水平方向上的方向零度的角位移為α。

對于此旋轉倒立擺本研究采用拉格朗日方程進行數學建模如下式:

圖1 旋轉倒立擺結構

通過其次坐標變換[1]推得系統包括平動動能和轉動動能的總動能與勢能如下式:

其中H為拉格朗日算子; qi為系統的廣義坐標;fi為系統的廣義力;T為系統的動能;V為系統的勢能。

在系統中,i=1,2,q={α,θ},可得方程組[2]:

其中To為直流伺服電機的輸出轉矩如下式(7)所示:

上述各參數的物理意義如表1所示。

若以Vm直流電機電樞電壓作為輸入,擺桿角位移θ為輸出,且在平衡點(αθ)T=(0000)T附近可局部線性化,則可推出此旋轉倒立擺系統如下式的線性化狀態方程:

旋轉倒立擺的模型總是具有一定的非線性和時變性,模型的結構與參數總是具有一定的攝動特性,以及模型總是存在一些外部的干擾,本研究的控制方案就是在此線性化后的狀態空間模型上進行的。

2 顯式模型預測控制

MPC為Model Predictive Control的縮寫,又稱模型預測控制。MPC模型預測控制的基本運行機理為:(1)預測系統未來動態求解。(2)優化路徑問題。(3)解得的第一個元素直接作用于系統。(4)滾動時域、重復進行。

在MPC模型預測控制中存在反復在線優化的模塊,使得模型預測控制普遍只適用于慢速過程,很難以適用于動態變化較快的旋轉倒立擺控制。然而Bemporad等人在2002年提出來的EMPC是一種面向小規模控制命題的快速MPC算法[3-5]。

EMPC為Explicit Model Predictive Control的縮寫,又稱顯式模型預測控制。EMPC顯式模型預測控制的主要思想是通過多參數二次規劃的思想,將在線的優化求解計算放到離線進行,從而提高在線計算的速度,使得顯式模型預測控制能夠適用于動態變化較快的旋轉倒立擺控制。

表1 系統物理參數意義表

建立一個離散的,線性時不變的狀態空間模型:

此多參數二次規劃問題可以表述為:

關于多參數二次規劃問題,式(13)優化命題的KKT條件為(上標星號的是最優值):

求解式(14)得到(下標a的表示有效的約束,下標i的表示無效的約束):

按照EMPC的理論,由上面的KKT條件得到以下的方程組:

假設Ga矩陣行滿秩,上述方程組可解,得到與狀態參數x0線性相關的解:

其中:

其中Kax,cu,Lax,cλ都和參數x0并沒有關系。而這些參數所適用的可行區域,也就是EM PC 中所謂的關鍵區域(CR)。這些區域是由KKT條件中剩下的幾個不等式來確定的,如果用式(18)的解替換掉KKT條件中不等式的變量,就可以得到:

因為上面的不等式都是關于當前時刻狀態x0的線性不等式,因此可以將整個狀態空間內劃分出很多個互不重疊的CR。由此可以得到與隱式閉環模型預測控制系統等價的顯式模型預測控制系統,即分段防射(PWA)系統。

3 EMPC下旋轉倒立擺系統仿真

為了評估EMPC顯示模型預測控制方法的控制性能,本文引入顯式模型預測控制技術通過利用Matlab對旋轉倒立擺進行計算機仿真研究。

其中有3個工具箱可以使用進行仿真:(1)MPT3為Multi-Parametric Toolbox 3的縮寫,又稱多參數工具箱,是一個開源的,基于Matlab的工具箱,用于參數優化,計算幾何模型和模型預測控制。(2)Hybrid Toolbox,是由EMPC顯式模型預測控制的提出者Alberto Bemporad創作的工具箱。這工具箱可以針對線性系統直接設計模型預測控制(MPC)以及顯式模型預測控制(EMPC)控制器,對于混合系統(Hybrid system)同樣十分適用。(3)Matlab中也有自帶的函數,其調用也十分方便。

以上三種方式都能有效地實現EMP C顯式模型預測控制,相互之間又各有差異與側重點,大家可以依據需求選擇自己的方法。

由于調用MPT3的方式十分簡潔,幾行代碼就能輸出顯式MPC控制器,并且能夠直接繪圖,更加直觀。因此本文通過利用Matlab的MPT3工具箱對旋轉倒立擺進行計算機仿真研究。

對于旋轉倒立擺,引入狀態變量為:

X的約束條件為:

引入輸入控制變量U=Vm,其中Vm為直流電機電樞電壓,其約束條件為:

設初始狀態為:

得到旋轉倒立擺系統的EMPC控制結果如圖2所示。

從圖2中可以得知,通過顯式模型預測控制,旋轉倒立擺的旋臂與擺桿能夠在短時間間內精確地穩定在平衡點附近,并且各狀態變量也都能夠控制在之前設定的約束條件之內,仿真符合預期。

通過仿真研究能夠發現:(1)顯式模型預測控制的耗時更少;(2)顯式模型預測控制精確性更高;(3)顯式模型預測控制對于有約束系統的控制更有效,并且不難發現通過顯式模型預測控制能夠把狀態變量與輸入變量的變化控制在預設的約束范圍之內。

但是EMPC顯式模型預測控制也有他的局限性,實際應用過程中EMPC顯式模型預測控制還是有它自身的限制的,最大的短處就是求得的控制率函數比較復雜,而且函數的復雜度隨著參數的增多(比如預測步長Np的增大)呈指數增長,這樣仿真計算的時間會越來越長,系統所需要的存儲空間會越來越大,所以一般EMPC也僅適用于小規模的問題,如旋轉倒立擺系統。如果要縮小EMPC顯式模型預測控制的運算時間或者系統儲存空間,就不得不要放棄一部分的準確度。

4 結語

本文首先基于拉格朗日方程對旋轉倒立擺在不穩定平衡點上擺進行了線性化的數學建模。然后對于EMPC顯式模型預測控制的控制原理進行了分析推理。通過EMPC顯式模型預測控制的控制使擺桿能夠保持在垂直向上的不穩定的平衡點位置上,從仿真結果來看效果不錯。顯式模型預測控制(EMPC)作為模型預測控制(MPC)的一個重要分支,從被提出至今已經有將近20年的歷史了。簡單來說,顯式模型預測控制就是在傳統的模型預測控制基礎上,將原本需要在線(on-line)優化求解的控制量轉化成離線(off-line)模式。換句話說,將控制量表示為一個關于狀態量x_0的函數,而且這函數是piecewise-affine(PWA分段仿射)函數。但關于EMPC顯式模型預測控制方法改進的研究還是一件任重而道遠的事。要在系統存儲量要求高、運算耗時量大與控制精確度中作出取舍,使之達到最優的控制效果。