“非有理真分式”情況下拉普拉斯逆變換方法探究*

曹麗娟 陳中政 張黎紅

(東莞理工學院城市學院,廣東東莞 523419)

0 引言

信號與系統是大學本科理工科專業的一門重要技術基礎理論課程,在各個高校的電子信息科學與技術、電子信息工程、自動控制、機電一體化、電氣工程及其自動化等專業中,該課程的應用較為廣泛,每年有數以萬計的學生學習該門課程。此課程主要講解傅里葉變換、拉普拉斯變換和Z變換這三大經典變換的相關知識,其中,拉普拉斯變換對分析系統穩定性起著非常重要的作用。筆者針對非有理真分式情況下,求解拉普拉斯逆變換的方法,查閱國內外經典教材和文獻,發現基本都是提出先利用多項式長除法,將非有理真分式化成有理真分式后,再進行部分分式展開法求解。而利用多項式長除法將非有理真分式化成有理真分式的計算量不小,因此這種傳統的方法解題顯得比較繁瑣。本文介紹的方法可省略“多項式長除法將非有理式真分式化成有理真分式”的環節,直接進行部分分式展開法求解逆變換,該方法快捷有效,具有一定的推廣價值。

1 問題提出

1.1 傳統解法

吳大正[1]主編的“信號與線性系統分析(第四版)”的232頁,和鄭君里[2]主編的“信號與系統(第三版)”上冊的203頁中,都有這樣的描述:如果象函數F(s)是s的實系數有理分式,可寫為:

若m≥n(非有理真分式),可用多項式長除法將象函數F(s)分解為有理多項式P(s)與有理真分式之和,即F(s)

其中,吳大正主編的“信號與線性系統分析(第四版)”的232頁中,還舉了一個例子:

同時,教材也以n≥m(有理真分式)為例,詳細講解了如何根據極點的不同情況,利用部分分式展開法,來求解其拉普拉斯逆變換的過程。

接下來筆者將以上面所列的教材中的非有理真分式“式1”為例,根據教材給出的傳統方法進行求解:

顯然,可以看出屬于單一極點情況,故可利用部分分式展開法變形為:

其中,常數K1、K2、K3分別為:

最后利用常見拉普拉斯變換對公式,即可求出象函數F(s)對應的原函數f(t)的表達式。

以上是非有理真分式情況下,傳統方法的分析過程,即:先利用多項式長除法將非有理真分式化成有理真分式,然后再進行部分分式展開法求解。

1.2 本文解法

接下來用本文推薦的方法同樣求解該題,分析過程如下[3-4]:

非有理真分式“式1”中的:

注意,這里根本不涉及“傳統的長除法”,也更不需要利用“傳統的長除法”去得到B(s)是具體的多少,所以,此處便可以節約長除法計算B(s)的大量時間,避免“因計算量大,而造成的出錯概率上升”的問題。

當然,為看出其極點分布情況,可將上式5變形為下式(6):

顯然,可以看出屬于單一極點情況,故可利用部分分式展開法變形為:

其中,這里的待定系數T1、T2、T3,可用下面公式求出:

最終也可得到:

顯然,與傳統方法得到結果相同。但是,對比兩種方法,可以明顯發現,區別主要表現在兩個地方:(1)將非有理真分式“式1”變成“式5”,不用利用長除法去運算,僅通過比較“分母中高于分子的s最高次項”的次數和系數即可,從而降低因長除法計算量大造成的出錯可能。(2)同樣用“待定系數法”求解時,“式4”中求K1、K2、K3,依賴于“式2”的長除法結果;而在“式7”中用待定系數法求T1、T2、T3,直接代入的是已知的F(s),完全避開了“長除法”。

2 原理證明

本文所提出的方法和傳統教材上介紹的方法的本質區別在于:本文所提出的新方法可省掉“利用多項式長除法將非有理真分式化成有理真分式”的環節,直接利用部分分式展開法。該方法能成立的原理證明如下:

因為,當m≥n(非有理真分式),用多項式長除法將象函數F(s)分解為有理多項式P(s)與有理真分式之和,即

當用“待定系數法”求解時,無論“式4”中求K1、K2、K3,還是“式7”中用待定系數法求T1、T2、T3,代入的值都是極點,即令A(s)=0的s值。

3 總結

本文通過分析“非有理真分式情況下,求解拉普拉斯逆變換的方法”,查閱國內外經典教材及文獻,發現基本都是提出先利用多項式長除法,將非有理真分式化成有理真分式后,再進行部分分式展開法求解。而利用多項式長除法將非有理真分式化成有理真分式的計算量不小,考慮到該傳統方法解題比較繁瑣,本文提出一種的新方法可省略“多項式長除法將非有理式真分化成有理真分式”的環節,直接進行部分分式展開法求解逆變換,事實證明該新方法快捷有效,具有很好的推廣價值。特別說明,本文對比新舊兩種方法時,選用的是教材中的實例,極點屬于單根情況,對于“共軛復根、重根”的情形也適用,本文不在羅列,有興趣者,可自行驗證,本質原理都是一樣的。