巧變教材 提升轉化能力
——《平行四邊形的面積》教學例談

江蘇無錫市玉祁中心小學 薛維惠 丁君華

數學教材為學生的數學學習活動提供了學習主題、基本線索和知識結構，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源。現用的蘇教版小學數學教材就以多樣、有趣、富有探索性的素材呈現教學內容，深受師生的喜歡。但是教學中，如果教師僅做教材的“搬運工”還不夠，需從知識的本質與學生的學情兩個維度深入思考，將現有教材進行適當改變，才能更好地促進學生學力的提升，發展學科素養。

以小學階段平面圖形的面積計算來說，要知道一個圖形的面積是多少，本質是看它包含多少個面積單位。教材把這部分內容分為兩個階段，三年級學習長方形和正方形的面積計算，采用直接測量的方法，五年級學習平行四邊形、三角形、梯形、圓形的面積計算，采用轉化的測量方法。平行四邊形的面積作為第二階段的起始課，顯得尤為重要，承擔著承上啟下的作用，教材在編排上遵循“問題情境—動手操作—揭示聯系—建立模型”的過程，給學生提供了很好的學習線索。如何給學生提供充分的思考空間，讓他們對“轉化”獲得更深刻的感悟？筆者適當改編教材，進行了有益地實踐。

一、變要求為需求，激發轉化的動力

【教材重現】

教材呈現的例1、例2，目的是喚醒學生已有的學習方法和轉化方向，為探究平行四邊形的面積公式提供基本思路。從實際情況來看，例題1，100%的學生能解決問題，其中90%以上的學生會用轉化的方法進行比較；例題2，100%的學生會進行轉化。可見，學生對轉化這一方法是不陌生的，將平行四邊形轉化成長方形也有著豐富的經驗。筆者認為，這樣的活動側重用轉化，如果能喚醒學生轉化的真需求，在頭腦中自覺萌發一種轉化的意識，才能激活學生學習的動力。筆者做了如下改變。

【重新設計】

談話回顧：早在2000多年前,我國的數學名著《九章算術》中，就記載了有關土地面積的問題，具體介紹了各種圖形的面積計算方法。（出示平面圖形）想一想，長方形、正方形面積是怎么計算的？我們是怎么推導出來的呢？

學生交流。

設置沖突：用長×寬、邊長×邊長可以求出一共有多少個面積單位，也就知道了長方形和正方形的面積。如果要知道平行四邊形、三角形、梯形和圓形面積，也就是要知道它里面包含多少個面積單位，該怎么辦呢？看，如果用面積單位直接去度量平行四邊形、三角形、梯形和圓形面積，與長方形、正方形有什么不同？

一對比，學生發現：用面積單位度量平行四邊形、三角形、梯形和圓形面積時，有整格的也有不是整格的，不能一下子數出它的面積是多少。

追問：那么人們會怎么來研究它們的面積呢？以這個平行四邊形為例，想辦法求出一個平行四邊形的面積？

學生活動，分享方法。

【思考】

學生知道了“轉化”的方法，不代表知道“轉化”的意義。筆者借助數學文化史，創設情境，用問題驅動的方式激活了學生學習動力，讓學生化被動解決問題為主動進行研究，尋求解決的方案。在這個過程中，學生已有的數學經驗被充分調動起來，都想到用化零為整的轉化方法解決問題，這種方法與數學家的“以盈補虛”方法不謀而合。正因為有真體驗、真思考，所以分享時學生們頭頭是道，不僅解決了這個平行四邊形的面積是多少，還了解了轉化的方法：即沿著平行四邊形的一條邊把它剪成兩部分，能變成與它面積相等的長方形。除此之外，更難能可貴的是讓學生體會到了轉化思想在研究平行四邊形面積中的意義，積累了圖形面積探索的經驗。等到課尾，讓學生說說打算怎樣研究三角形、梯形、圓形面積時，他們不約而同說出“轉化”的方法。巧變教材，整合了教材提供的素材，把隱性的數學本質暴露在學生面前，讓他們像數學家一樣去思考，激發了內心“想轉化”的探究需求。

二、變個例為眾例，體驗轉化的魅力

【教材重現】

教材呈現的例3，重點放在研究平行四邊形與轉化后長方形之間的聯系上，教材細致地提供了材料和方法指導。從實際情況看，在教師指導、同伴互助下，這個活動能有序、有效進行。但筆者認為，第115頁上的4個平行四邊形樣式略顯單一，僅憑個例來推導平行四邊形面積公式的普遍性還不夠嚴謹，而且實踐中發現，學生對轉化前后圖形之間的聯系，主要是通過表中對應數據發現的，這也不利于學生抽象思維的發展。筆者做了如下改變。

【重新設計】

談話：這個平行四邊形的面積能轉化成長方形求出面積，那是不是所有平行四邊形都可以轉化成長方形？（出示各種各樣的平行四邊形）

（學生面露困惑）提出操作要求：在方格紙上任意畫一個平行四邊形，用剪拼的方法試試能不能轉化成長方形，畫出轉化過程。

組織交流，預設：

（1）有些學生畫出的平行四邊形如①②④⑤，能很快轉化成長方形。

（2）有些學生畫出的平行四邊形如③，學生轉化有困難，組織討論發現也可以轉化成長方形。

提問：閉眼想一想，平行四邊形可以怎樣轉化成長方形？能不能找出一個平行四邊形不能轉化成長方形的？

學生找反例。

教師邊演示邊小結：剛才我們研究大小、形狀各不相同的平行四邊形，分成兩種：有的平行四邊形既可以沿著上下對邊的高剪開，轉化成長方形，也可以沿著左右對邊的高剪開，轉化成長方形；有的平行四邊形沿著左右對邊的高剪開，轉化成長方形比較方便，通過操作我們發現所有的平行四邊形都能轉化成與它面積相等的長方形。

接著，學生借助操作過程，小組討論轉化前后兩個圖形之間的聯系，推導出平行四邊形的面積等于底乘高。

【思考】

學生認可“幾個圖形能轉化”，并不代表認可“所有的圖形都能進行轉化”。我們知道，一個計算公式表達的是一類圖形的面積計算方法，需要在同一類的眾多圖形的面積探索中總結出來，是一個嚴謹的演繹推理過程。基于這種思考，筆者在教學中做了改變：一是不提供平行四邊形個例，改為全班每人任意畫一個平行四邊形，為學生的研究提供了豐富的素材——既有常見的例子，也有特殊的例子，還努力去尋找反例，在有序的操作交流中積累直觀的體驗，為接下來的分析推理面積計算公式提供了豐富的探究案例。二是不提供表格數據，更側重于對轉化前后兩個圖形聯系的推理。先讓學生在方格紙上尋找兩個圖形的聯系，這是感性的、具體的體驗，再圍繞黑板上兩個幾何圖形尋找聯系，是對圖形之間本質聯系的推理，這是理性的、抽象的體驗，從具體到抽象、感性到理性，使推導出的計算公式更具有普遍性和科學性。巧變教材，豐富了教材呈現的活動過程，學生不僅理解和掌握了計算公式，同時積累了轉化的經驗，體驗到了轉化的魅力，數學思維的邏輯性、嚴密性得到進一步發展，空間能力、推理能力、模型思想等學科素養的培養也得以落實。

三、變操練為甄選，擴展轉化的張力

【教材重現】

教材上的這一練習，及時鞏固了所學知識，把已知的數據代入公式計算出圖形的面積對學生來說難度不大，需要提醒的是面積單位不相同。仔細觀察第2、3兩個圖形都以斜邊為底，因只有兩個條件，不會對學生加以干擾，因此這組練習停留于熟練公式進行計算的目的。如何將學生關注的視角引向轉化方法背后的原理？為進一步溝通新學圖形與相應轉化后圖形的關系，深化對面積公式的理解，教學時，筆者改變了其中一題，使學生知其然，更知其所以然，進而獲得一種更具深度的張力。

【重新設計】

判斷：計算下面平行四邊形的面積（單位：厘米）

學生手勢判斷并指名說明原因。

【思考】

學生知道“怎么解答”，并不代表知道“其中的道理”。只有蘊含理性思考的練習才能觸動學生的思維，觸及學生的心靈。筆者改變習題，創造機會讓學生體驗面積公式及其蘊含的思想。通過想象，這個平行四邊形在學生頭腦中動起來，可以轉化成長15厘米，寬8厘米的長方形，也可以轉化成10 厘米，寬12 厘米的長方形，但不可能轉化成長15 厘米，寬12 厘米的長方形，也不能用兩條鄰邊相乘，突出了面積公式中最關鍵的部分——平行四邊形的面積與它的底和高有關，而且是互相垂直的一組底和高。巧變教材，大大增加了教材練習的思維含量，架起了現象與本質的橋梁，讓轉化思想更具張力。

轉化思想作為一種重要的數學思想，我們學習它不僅僅是學習它的方法技巧，更重要的是在學生的頭腦中建立一種思想——將復雜的問題簡單化，將陌生的問題熟悉化，教師唯有精心選擇學習素材，讓學習素材觸及數學思想的本質，方能讓學生增強轉化的意識，從整體上理解知識的內涵，感受數學知識之間的內在聯系，實現轉化能力的提升。