哥德巴赫猜想的定義證明法

王海東

【摘要】我們從偶數、奇數和質數的定義可以得知：大于四的偶數不僅可以寫成兩個奇數之和，而且可以產生兩種不同寫法.其中一種寫法就是與哥德巴赫猜想有關的寫法.只要證明了這兩種寫法的存在，就為證明哥德巴赫猜想提供了一個十分重要的理論依據.

【關鍵詞】偶數;奇數;質數;哥德巴赫猜想

有人曾經斷言：哥德巴赫猜想只能用高等數學方法來證明，不能用初等數學方法來證明.這是一種毫無根據的錯誤看法.數學證明的檢驗標準是證明結果而不是證明方法.證明方法是否正確取決于證明結果是否正確.不管證明者使用了什么樣的證明方法，只要由此產生的證明結果是正確的，這種證明方法就肯定是正確的.

哥德巴赫猜想問世兩百多年一直沒有得到證明.究其原因，也許就與這種錯誤看法的廣泛存在有著密切關系.人們從這種錯誤看法出發，不僅會把哥德巴赫猜想的證明方法限制在某個數學領域之中，而且也無法找到證明哥德巴赫猜想的正確方法.

那么，怎樣才能找到證明哥德巴赫猜想的正確方法呢？顯然，人們要想找到證明哥德巴赫猜想的正確方法，就必須撇開高等數學和初等數學的門戶之見，將偶數、奇數和質數的數學定義視為三個不需要證明的數學公理，從這三個數學公理中推出一組相互關聯的數學定理，并將這組數學定理視為證明哥德巴赫猜想的所有理論依據.這種證明方法就是哥德巴赫猜想的定義證明法.

下面，我們就通過偶數、奇數和質數的數學定義來表述哥德巴赫猜想的定義證明法.

定義一：

可以被二整除的整數為偶數.

定義二：

不能被二整除的整數為奇數.

定義三：

只能被一和自身整除的整數為質數.

從定義一可以得知：

偶數與偶數相加等于偶數.

從定義二可以得知：

兩個偶數相互加減一等于兩個奇數.

從定義一和定義二可以推出定理一：

任何偶數都可以寫成兩個奇數之和.

從定理一可以推出定理二：

大于四的偶數不僅可以寫成兩個奇數之和，而且可以產生兩種不同寫法.一種寫法包括一和可以被大于一的其他奇數整除的奇數.另一種寫法不包括一和可以被大于一的其他奇數整除的奇數.

從加法運算的數學規則來看，只要兩個奇數相加等于某個大于四的偶數，不管兩者是否包括一和可以被大于一的其他奇數整除的奇數，都可以在和不變的條件下化為這個偶數的兩個半數.

如果這個偶數的兩個半數是兩個偶數，就可以通過相互加減某個相同奇數的方法，使之化為既不是一又不能被大于一的其他奇數整除的奇數.如果這個偶數的兩個半數是兩個奇數，就可以通過相互加減某個相同偶數的方法，使之化為既不是一又不能被大于一的其他奇數整除的奇數.

所以，只要存在定理一，就肯定會存在定理二.

令a1和a2代表兩個任意奇數，b1和b2代表兩個既不是一又不能被大于一的其他奇數整除的奇數，m代表大于四的偶數，n代表大于或者等于零的整數，我們可以推出一組數學公式，并用這組數學公式來表述定理二：

已知

a1+a2=m

又知

m=b1+b2

b1=m2+n

b2=m2-n

n>0，b1>b2;n=0，b1=b2

因此

a1+a2=b1+b2

顯然，這組數學公式隱含著一個問題.這個問題就是：b1和b2之間是否存在一個合適的n？如果b1和b2之間存在一個合適的n，這組數學公式就是成立的.如果b1和b2之間不存在一個合適的n，這組數學公式就是不成立的.

根據b1和b2的定義，我們可以用以下方法來回答這個問題：

已知

b1≥b2

又知

b1-b2=2n

（b1>b2，n>0;b1=b2，n=0）

因此

n=12（b1-b2）

這個結論表明：

只要存在著b1和b2，b1和b2之間就肯定會存在一個合適的n.這個合適的n就是b1和b2的差的半數.由于b1和b2是兩個奇數，所以b1和b2的差肯定是一個偶數.這個偶數的半數可能是一個偶數，也可能是一個奇數.

乍一看，這個結論似有循環論證之嫌.先用n論證b1和b2的存在，再用b1和b2論證n的存在.

但是，第一個n與`第二個n有所不同.前者是指任意n，后者是指特定n.第一對b1和b2與第二對b1和b2也有所不同.前者是指任意b1和b2，后者是指特定b1和b2.

由于存在這兩個區別，所以這個結論看似循環論證，實則并非循環論證.

從定義三可以得知：

質數既不包括大于二的偶數和小于三的奇數，也不包括可以被大于一的其他奇數整除的奇數.

從定義三可以推出定理三：

質數包括等于二和大于二的質數.前者代表具有質數性質的唯一偶數，后者代表具有質數性質的所有奇數.

從定理二和定理三可以推出定理四：

大于二的偶數包括等于四和大于四的偶數.前者可以寫成兩個等于二的質數之和，后者可以寫成兩個大于二的質數之和.

從定理四可以推出定理五：

任何大于二的偶數都可以寫成兩個質數之和.

定理五即哥德巴赫猜想.

證畢.

上述證明過程告訴我們：

由于質數既包括偶數又包括奇數，所以哥德巴赫猜想既包括偶數猜想又包括奇數猜想.偶數猜想就是與具有質數性質的唯一偶數有關的哥德巴赫猜想.奇數猜想就是與具有質數性質的所有奇數有關的哥德巴赫猜想.

由于偶數猜想可以通過定義三及定義一和定義二得到證明，所以證明偶數猜想不是證明哥德巴赫猜想的難點.由于奇數猜想不能通過定義三及定義一和定義二得到證明，所以證明奇數猜想才是證明哥德巴赫猜想的難點.

要想消除證明哥德巴赫猜想的難點，不僅必須從定義一和定義二推出定理一，而且必須從定理一推出定理二.要想從定理一推出定理二，不僅必須知道任何偶數都可以寫成兩個奇數之和，而且必須在大于四的偶數中找到兩個奇數之和的兩種不同寫法.

因此，定理二是一個非常重要的定理，其重要性遠遠超過其他定理.只有定理一沒有定理二，就無法發現定理一與定理五的內在聯系.只有定理三沒有定理二，就無法通過定理四使偶數猜想和奇數猜想同時得到證明.

由于定理二是一個非常重要的定理，所以證明哥德巴赫猜想的關鍵在于證明定理二.雖然證明了定理二不等于證明了哥德巴赫猜想，但是證明不了定理二就證明不了哥德巴赫猜想.

上述證明過程還告訴我們：

哥德巴赫猜想是一個初等數學問題，而不是一個高等數學問題.這個數學問題完全可以用初等數學方法來解決，沒有必要用高等數學方法來解決.用高等數學方法來解決這個數學問題，純屬舍近求遠徒勞無功之舉.

例如，篩法是一種從自然數中篩出所有質數的、可以通過指數和估計對其進行分析的、涉及解析幾何方法的高等數學方法.這種高等數學方法既沒有區分包含在質數之中的偶數和奇數，也沒有區分包含在哥德巴赫猜想之中的偶數猜想和奇數猜想.把篩法當作哥德巴赫猜想的證明方法，意味著試圖用一種方法證明兩種不同猜想.

由于包含在質數之中的偶數只有一個，所以用篩法證明偶數猜想是十分容易的.由于包含在質數之中的奇數有無數個，所以用篩法證明奇數猜想則是非常困難的.其困難主要在于：篩法只能把證明重點放在與奇數猜想有關的所有奇數上，而不能把證明重點放在與奇數猜想有關的偶數寫法上.這就使我們無法通過定理二找到證明奇數猜想的正確途徑.

由于篩法只能證明偶數猜想不能證明奇數猜想，因此用篩法證明哥德巴赫猜想是行不通的.這不是一條越走越近的證明道路，而是一條越走越遠的證明道路.沿著這條證明道路向前走下去，即使可以走到1+2，也永遠無法走到1+1.

1+2中的2代表兩個質數的積.兩個質數的積顯然不是一個質數.這個答案不僅沒有接近1+1，而且完全偏離了1+1.用這個答案來回答問題等于所答非所問.

【參考文獻】

[1]王元，文蘭，陳木法.數學大辭典：第二版[M].北京：科學出版社，2017.