從光滑函數的極值點到奇點的識別

馬立華 劉文琰

【摘要】函數極值問題是一個常見的研究函數形態的問題，對于函數形態我們進一步介紹奇點理論，從一元函數、二元函數、多元函數分類介紹，實現從微積分到專業方向的過渡，并舉例表示奇點理論對于研究更精細的函數形態的重要性.

【關鍵詞】函數;極值;奇點

對于函數極值點的判斷，學生要有廣泛的幾何、代數、分析的基礎.若要研究函數進一步的形態，我們只判斷出函數的極值點顯然是不夠的，而奇點理論極大地推廣了函數在極大值點和極小值點的性質研究.本文從函數極值點判斷到奇點類型識別做一初探.文中的函數均為無限次可微的，即光滑函數.

一、一元函數y=f（x），x∈R的極值理論和奇點理論

一元函數y=f（x），x∈R的極值的定義、極值的必要條件、極值的第一充分條件和極值的第二充分條件見參考文獻[1].

定理1（極值的第三充分條件）設y=f（x）在x0的某一鄰域內存在直到（n-1）階導函數，在x0處n階可導，且f（k）（x0）=0（k=1，2，…，n-1），但f（n）（x0）≠0，則：（1）當n為偶數時，函數y=f（x）在點x0取得極值，且當f（k）（x0）<0時，取極大值;f（k）（x0）>0時，取極小值.

（2）當n為奇數時，函數y=f（x）在點x0不取得極值.

定義2（奇點）極值y′=f′（x）=0的點為奇點，否則稱為正則點.

在上述定理的（極值的第三充分條件）中，x0為y=f（x）的Ak型奇點.

定理3設f：（R，0）→R是一個光滑函數，若0是y=f（x）的Ak型奇點，則一定存在一個微分同胚映射φ：（R，0）→（R，0），使得f°φ=±xk+1+f（0）.該定理表明，具有Ak型起點的函數y=f（x）都與±xk+1+f（0）在0點鄰近奇異性相同.

例1y=x2，y′=2x，y″=2，y″|（0，0）≠0，（0，0）是極小值點，為非退化的臨界點，是穩定的孤立的奇點，是折疊型A2奇點，如圖1.

例2y=x3，y′=3x2，y″=6x，y″|（0，0）=0，（0，0）不是極值點，為退化的臨界點，是非穩定的孤立的奇點，是拐點，是尖點型A3奇點，如圖2.

二、二元函數z=f（x，y）的極值理論和奇點理論

二元函數z=f（x，y）的極值定義以及必要條件見參考文獻[1].

定理4（充分條件）二元函數z=f（x，y）在點（x0，y0）處具有二階連續偏導數，且fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0（即（x0，y0）是z=f（x，y）的臨界點），矩陣H為函數z=f（x，y）在（x0，y0）的二階偏導數構成了Hessian矩陣H=2fx22fxy2fyx2fy2，

則：（1）當H正定時，（x0，y0）是f（x，y）的極小值點;

（2）當H負定時，（x0，y0）是f（x，y）的極大值點;

（3）當H不定時，（x0，y0）不是f（x，y）的極值點.

該定理在應用時，常將矩陣的正定性用霍爾維茨（Hurwitz）定理轉化為判斷矩陣對應的順序主子式的符號，見參考文獻[1].

定義6（二元函數奇點）滿足fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0的點（x0，y0）稱為f（x，y）的奇點.

由于二元函數的圖像（x，y，f（x，y））為空間一曲面，因此奇點類型比較復雜.如果三維歐式空間R3中一曲面為波陣面的波前面，由V.I.Arnold和Zakaliuc給出通常的奇點有尖楞（cuspidaledges）和燕尾（swallowtail）兩種類型.

定義7A—等價又稱R—L等價，即是一種映射的等價類映射芽f：（R2，0）→（R2，0），存在微分同胚φ及ψ，使得φ°f=f°ψ成立.例如已有事實如下.

（1）（0，0）為f（x，y）尖楞奇點，如圖3，A—等價：（x，y）→（x，y2，y3）;

（2）（0，0）為f（x，y）燕尾奇點，如圖4，A—等價：（x，y）→（x，3y4+xy3，4y3+2xy）.

二、多元函數z=fx1，x2，…，xn的極值理論和奇點理論

定義8設n元函數z=f（x1，x2，…，xn）在點（x01，x02，…，x0n）的某個鄰域內有定義，如果對該鄰域內任一異于（x01，x02，…，x0n）的點（x1，x2，…，xn）都有f（x1，x2，…，xn）f（x01，x02，…，x0n）），則稱函數f（x1，x2，…，xn）在點（x01，x02，…，x0n）有極大值（或極小值）.

定理9（必要條件）若f：ΩRm→R在Ω中為光滑函數，x0=（x01，x02，…，x0n）是Ω中的內點，則f以x0為極小（極大）值點的必要條件是：

（1）gradf（x0）=fx1，fx2，…，fxn（x0）=0或者（df）（x0）=0;

（2）H（x0）=2fx21…2fx1xn……2fxnx1…2fx2n（x0）或（d2f）（x0）為正半定或負半定.

定理10（充分條件）若f：ΩRm→R在Ω中為光滑函數，x0是f之內點，則f以x0為極小（極大）值點的充分條件是：

（1）（df）（x0）=0;

（2）（d2f）（x0）為正定（負定）.

定義11（多元函數奇點）梯度gradf（x0）=fx1，fx2，…，fxn（x0）=0或（df）（x0）=0的點x0為z=f（x1，x2，…，xn）的奇點或臨界點，否則稱點x0為f（x1，x2，…，xn）的正則點.

定義12如果（df）（x0）=0，（d2f）（x0）≠0，那么稱點x0是退化奇點，否則稱x0是非退化奇點，易知非退化奇點一定是函數的極值點，反之不一定.

定理13（莫爾斯引理）設f：ΩRm→R為一光滑函數，若0是f的非退化臨界點，則存在0的一個充分小鄰域存在一個局部坐標變換y=（y1，y2，…，yn），滿足yi（0）=0（i=1，2，…，n），而且f有莫爾斯標準形式（或莫爾斯的n-λ級鞍），

f（x）=f[x（y）]=f（0）+∑λi=1y2i-∑n-λj=1y2j，其中式中負項個數n-λ稱為非退化奇點的指數，是拓撲不變量.

（1）λ=0，函數f在點0取極大值;

（2）λ=n，函數f在點0取極小值;

（3）0

例如，1955年，由H.Whitney給出（R2，0）→（R2，0）的點類型只有三種，穩定奇點只有兩種，即y1=x1，y2=x2（正則點），y1=x21，y2=x2（折疊點fold），y1=x31+x1x2，y2=x2（尖點cusp）.

已有事實，對于映射芽f：（U，p）→（R2，0），其中UR2，f在P點A—等價于：

（1）fold奇點（標準型為f（x1，x2）→（x1，x22））充分必要條件為ηλ（P）=0;

（2）cusp奇點（標準型為f（x1，x2）→（x1，x32+x1x2））充分必要條件為P點是非退化奇點，且ηλ（P）=0，ηηλ（P）≠0;

（3）lips奇點，如圖5（標準型為f（x1，x2）→（x1，x32+x21x2））充分必要條件為P點是corankf=1，dλ（P）=0，det（Hessλ（P）>0）;

（4）beaks奇點，如圖6（標準型為f（x1，x2）→（x1，x32-x21x2））充分必要條件為P點是corankf=1，dλ（P）=0，det（Hessλ（P）<0），且ηηλ（P）≠0;

（5）swallowtail奇點（標準型為f（x1，x2）→（x1，x42+x1x2））充分必要條件為dλ（P）=0，ηλ（P）=ηηλ（P）=0，ηηηλ（P）≠0.

上面ηλ為方向導數Dηλ，函數λ：（u，u1，u2）→R，Hessλ（P）=2λuiuji，j=1，2，行列式的計算為det，余維數為corank.

定理14（本文結論）對于映射芽f：（U，p）→（R2，0），其中UR2，f在P點A—等價于115奇點（標準型為f（x1，x2）→（x1，x1x22+x42+x52））充分必要條件為corankf=1，Hessλ（P）<0，dλ（P）=0，ηλ（P）=ηηλ（P）=0，ηηηλ（P）≠0.

證明類似于文獻中定理2.3，略.

奇點的分類和識別一直是奇點理論重要而沒有解決的問題，文中的例子只是在某種等價意義下，在突變理論規范中，在經濟學、物理光學、生態學等領域中有一定應用的情形.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學教研室.高等數學（上冊）第五版[M]，上海：同濟大學出版社，2003.

[2]梅向明，黃敬之.微分幾何[M]，北京：高等教育出版社，2008.

[3]Bruce.JW，GiblinPJ.CuvesandSingularities[M]，CambridgeUniversityPress，Cambridge，UK，1992

[4]RichardL.Bishop，Thereismorethanonewaytoframeacurve，theAmericanmathematicalmonthly[J]，1975，246-251

[5]KentaroSaji，Criteriaforsingularitiesofsmoothmapsfromtheplaneintotheplaneandtheirapplications，[J]，2018.