高等數學中一類冪級數求和函數的重要方法

呂海翠 宋佳 王艷麗

【摘要】在考研數學中求冪級數和函數是一個重要考點，也是教材中“無窮級數”的核心內容，可以用它來求收斂的常數項級數的和.而求冪級數和函數的方法與技巧是多種多樣的，教材針對這一問題只講了一個例題，因而學生對這一問題感到困難，為此本文總結了一類基礎有效的求冪級數和函數的方法，幫助教師進行更好的教學.

【關鍵詞】高等數學;冪級數的和函數;方法

【中圖分類號】G642【文獻標識碼】A

【基金項目】咸陽市科技局項目（2019k02-19）

培養出優秀的學生是一個學校發展的根本.老師應該傳道受業解惑，負責把學生領進門，負責引導學生把知識學得有體系且融會貫通.教學是一個良心活也是一個技術活，要求老師負責敬業，知識過硬，解題靈活多變，會站在學生角度考慮問題.只有這樣教師才會更有針對性地對學生因材施教，真正做到在教學過程中啟蒙學生的探索精神，授之以漁.本文就求冪級數和函數分類型進行學習，其中題目均為經典題目，且在教學實踐中也進行了應用，收到了較好的效果.

一、高等數學特點

高等數學有兩冊，學時需兩個學期，知識點多，綜合性強，且部分定義、定理、性質抽象，結論用時變形多，雖多但系統性強.兩冊高等數學其研究對象主要是函數，研究的是微積分.上冊是一元函數的，下冊是多元函數的，下冊承載了上冊.

二、求冪級數和函數的教學分析及設計

1.求冪級數和函數的步驟

在求冪級數和函數時，先求收斂域，這里面就綜合了判定常數項級數斂散性的所有知識;然后可能會用到求導、積分、變量代換、拼湊、分解等知識，方法技巧多變.因此它是一個難度較大，技巧性較高的有趣數學問題，值得學生去探索.學生要多觀察、細體會、勤總結，最終牢固掌握這類題.

2.經典舉例

（1）類型∑△x△-1

例1求冪級數∑∞n=1nxn-1的和函數.

解因為limn→∞an+1an=limn→∞n+1n=1，所以收斂半徑R=1.

當x=-1時，級數成為∑∞n=1（-1）n-1n，是發散的;當x=1時，級數成為∑∞n=1n，是發散的.因此收斂域為（-1，1）.

設s（x）=∑∞n=1nxn-1，x∈（-1，1）.

于是兩端積分得∫x0s（t）dt=∑∞n=1∫x0ntn-1dt=∑∞n=1xn=x1-x，x∈（-1，1）.

兩端求導得s（x）=x1-x′=1（1-x）2，x∈（-1，1）.

例2求冪級數∑∞n=1（n+2）xn+3的和函數.

解因為limn→∞an+1an=limn→∞n+3n+2=1，

所以收斂半徑R=1.

當x=-1時，級數成為∑∞n=1（n+2）（-1）n+3，是發散的;當x=1時，級數成為∑∞n=1（n+2），是發散的.因此收斂域為（1，1）.

設s（x）=∑∞n=1（n+2）xn+3（-1

則s（x）=∑∞n=1（n+2）xn+3=x2∑∞n=1（n+2）xn+1，

記s1（x）=∑∞n=1（n+2）xn+1（-1

于是兩端積分，得

∫x0s1（t）dt=∫x0∑∞n=1（n+2）tn+1dt

=∑∞n=1∫x0（n+2）tn+1dt

=∑∞n=1xn+2=x31-x（-1

兩端求導，得

s1（x）=x31-x′=3x2-2x3（1-x）2（-1

故原級數的和函數為

s（x）=x2s1（x）=3x4-2x5（1-x）2（-1

例3求冪級數∑∞n=1n2xn的和函數.

解因為limn→∞an+1an=limn→∞（n+1）2n2=1，所以收斂半徑R=1.

當x=-1時，級數成為∑∞n=1n2（-1）n，是發散的;當x=1時，級數成為∑∞n=1n2，是發散的.因此收斂域為（-1，1）.

設s（x）=∑∞n=1n2xn（-1

則s（x）=x∑∞n=1n2xn-1=x∑∞n=1（nxn）′=x∑∞n=1nxn′，

記s1（x）=∑∞n=1nxn（-1

又s1（x）=x∑∞n=1nxn-1=x∑∞n=1（xn）′=x∑∞n=1xn′=xx1-x′=x（1-x）2

.

故s（x）=xs1′（x）=x（1+x）（1-x）3（-1

總結：∑△x△-1，其中△為n的多項式，如2n，2n-1，4n+1等，起始下標可以為n=0或n=1，即∑∞n=0△x△-1或∑∞n=1△x△-1，求冪級數和函數都可以采用此方法.例2，例3是變形后也是這一類，學生做完題目后仔細觀察區別及聯系，只有善于總結才能靈活應用.

（2）類型∑x△△

例4求冪級數∑∞n=1xnn的和函數.

解因為limn→∞an+1an=limn→∞nn+1=1，

所以收斂半徑R=1.

當x=-1時，級數成為∑∞n=1（-1）nn，是收斂的;當x=1時，級數成為∑∞n=11n，是發散的.因此收斂域為[-1，1）.

設s（x）=∑∞n=1xnn，x∈[-1，1）.

于是逐項求導得s′（x）=∑∞n=1xn-1=11-x，x∈[-1，1），

兩端積分得∫x0s′（t）dt=∫x011-tdt，x∈[-1，1），

即s（x）-s（0）=-ln（1-x），x∈[-1，1），

又s（0）=0，所以s（x）=-ln（1-x），x∈[-1，1）.

例5求冪級數∑∞n=1x3n+13n+1的和函數.

解limn→∞x3n+43n+4x3n+13n+1=limn→∞3n+13n+4|x3|=|x3|=|x|3.

當|x|3<1，即|x|<1時，級數收斂;當|x|3>1，即|x|>1時，級數發散.所以收斂半徑R=1.

當x=-1時，級數成為∑∞n=1（-1）3n+13n+1=∑∞n=1（-1）2n·（-1）n+13n+1=∑∞n=1（-1）n+13n+1，是收斂的交錯級數;當x=1時，級數成為∑∞n=113n+1，是發散的.因此收斂域為[-1，1）.

設s（x）=∑∞n=1x3n+13n+1（-1≤x<1），

則s′（x）=∑∞n=1x3n+13n+1′=∑∞n=1x3n=x31-x3（-1≤x<1）.

對上式從0到x積分，得∫x0s′（t）dt=∫x0t31-t3dt，（-1≤x<1），

即s（x）-s（0）=∫x0t31-t3dt，

從而可知s（x）=-x-13ln（1-x）+16ln（1+x+x2）+

33arctan233x+33-3π18（-1≤x<1）.

例6求冪級數∑∞n=0（2x+1）nn+1的和函數.

解令t=2x+1，題設級數變為∑∞n=0tnn+1.

因為limn→∞an+1an=limn→∞n+1n+2=1，所以收斂半徑R=1.

當t=-1時，級數成為∑∞n=0（-1）nn+1，是收斂的交錯級數;當t=1時，級數成為∑∞n=01n+1，是發散的.因此-1≤t<1，

從而∑∞n=0（2x+1）nn+1的收斂域為[-1，0），設s（x）=∑∞n=0（2x+1）nn+1（-1≤x<0）.

記s1（t）=∑∞n=0tnn+1，于是ts1（t）=∑∞n=0tn+1n+1.

上式兩邊同時對t求導，得

[ts1（t）]′=∑∞n=0tn+1n+1′=∑∞n=0tn=11-t（-1≤t<1）.

再對上式從0到t積分，得

ts1（t）=∫t011-hdh=-ln（1-t）（-1≤t<1）.

當t≠0時，有s1（t）=-1tln（1-t）.而s1（0）=1，

所以s1（t）=-1tln（1-t），t∈[-1，0]∪（0，1），

1，t=0.

故s（x）=-12x+1ln（-2x），x∈-1，-12∪-12，0，

1，x=-12.

總結：∑x△△，其中△為n的多項式，如n+1，2n-1，4n+1等，求冪級數和函數都可以采用此方法.如例6是變形后也是這一類.

上面選擇的六個例題很具有代表性，不僅能體現怎么求冪級數的和函數，還綜合考查了積分的求法（如換元積分法、有理函數的積分都用到了）以及冪級數怎樣求收斂域的所有類型.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]常庚哲，史濟懷.數學分析教程（下冊）[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2002.

[3]隋如彬.微積分[M].北京：科學出版社，2012.

[4]同濟大學數學系.高等數學習題全解（下冊）[M].北京：人民郵電出版社，2017.