定積分一個對稱性質的推廣

李夢 詹毅

【摘要】本文用對稱性解釋了高等數學中的一個常見定積分等式，且從幾何體形變的觀點給出了這個等式的幾何意義，還推廣這個等式到更一般的兩個新形式，并運用這個一般形式簡化較復雜定積分的計算.

【關鍵詞】對稱性;定積分;幾何意義

【中圖分類號】O177.5【文獻標識碼】A

【基金項目】重慶工商大學教育教學改革研究項目（2019224）

一、引言

我們在解題時利用被積函數在積分區間上具有的某些對稱性，往往能夠起到化繁為簡的作用，甚至能夠計算被積函數沒有初等原函數的某些定積分.本文關注高等數學中的一個常見等式∫π0xf（sinx）dx=π2∫π0f（sinx）dx.這個等式一般是用變量代換加以證明的.首先，我們從對稱性的角度來推導這個等式.然后通過適當的變形，等式的兩邊可以分別看作旋轉體的體積和柱體的體積，旋轉體的體積可用套筒法求得，從而獲得這個等式的幾何意義.最后給出這個等式更具一般性的新形式，并通過一個例子來說明推廣的一般形式在定積分計算中的應用.

二、對稱性解釋及幾何意義

回顧函數奇偶性的幾個性質：

1.若函數f（x）定義在區間[0，a]上，且有f（x）=f（a-x），則函數是關于區間中點的偶函數;

2.若有f（x）=-f（a-x），則函數是關于區間中點的奇函數;

3.奇函數乘偶函數是奇函數.

比如，在[0，π]上f（sinx）是關于區間中點的偶函數.由定積分的幾何意義可知，若被積函數關于積分區間中點是奇函數，則定積分為0，如圖1所示.

圖1被積函數關于積分區間中點為奇函數

由f（sinx）在[0，π]上關于區間中點是偶函數，π2-x在[0，π]上關于區間中點是奇函數，可知π2-xf（sinx）在[0，π]上關于區間中點是奇函數，從而由定積分的幾何意義可知

∫π0π2-xf（sinx）dx=0，

展開立得[1]

∫π0xf（sinx）dx=π2∫π0f（sinx）dx.

（1）

（1）式在《微積分》《高等數學》《數學分析》等教材中用來解決被積函數沒有初等原函數的某些定積分.在（1）式兩邊都乘2π，等式變為

∫π02πxf（sinx）dx=π2∫π0f（sinx）dx.

上式的左邊可以看作是以直線x=0，x=π，曲線y=f（sinx）以及x軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積（旋轉體的體積用套筒法即得），如圖2，上式的右邊可以看作是以直線x=0，x=π，曲線y=f（sinx）以及x軸圍成的平面圖形為底，高為π2的柱體的體積，如圖3.

（1）式的幾何意義為：圖2的旋轉體沿著某條半徑切開可以展開為如圖3的柱體.

三、等式的一般形式及應用

（1）式的結果可以進一步推廣：

命題1設f（x）是定義在區間[0，a]上的可積函數，且是關于區間中點的偶函數，則有

∫a0xf（x）dx=a2∫a0f（x）dx.（2）

證明作變換，t=a-x.注意到f（x）是關于區間[0，a]中點的偶函數，從而有f（t）=f（a-t），立得.

更一般地，有：

命題2設f（x）是定義在區間[a，b]上的可積函數，且是關于區間中點的偶函數，則有

∫baxf（x）dx=a+b2∫baf（x）dx.（3）

例1求定積分∫0-1xx2+x+1dx.

解一般解法是采用三角代換求解被積函數的原函數.

∫xx2+x+1dx=∫xx+122+34dx，

令x+12=32tant，代入上式可得

∫xx+122+34dx

=34∫32tant-12sec3tdt

=34·32∫tantsec3tdt-34·12∫sec3tdt

=38sec3t-316secttant+∫sectdt

=38sec3t-316secttant+ln|sect+tant|+C，

由x+12=32tant可得

tant=2x+13，sect=2x2+x+13，

代入上式即得

∫xx2+x+1dx=13（x2+x+1）32-

14x+12x2+x+1+

34lnx+12+x2+x+1+C，

因此，

∫0-1xx2+x+1dx=-141+34ln3.

利用命題2可簡化計算.

另解：由命題2可知

∫0-1xx2+x+1dx=-12∫0-1x2+x+1dx，

令x+12=32tant，代入上式易得

∫x2+x+1dx=34∫sec3tdt

=38[secttant+ln|sect+tant|]+C.

把tant=2x+13，sect=2x2+x+13代入上式即得

∫x2+x+1dx=12x+12x2+x+1+

34lnx+12+x2+x+1+C，

同樣可得，

∫0-1xx2+x+1dx=-141+34ln3.

另外，若f（x）是定義在區間[a，b]上的可積函數，但它關于區間中點不具有奇偶性，但是

f（x）+f（a+b-x）=g（x）（3）

是一個關于區間中點的偶函數，則易得下面的結論：

命題3設f（x）是定義在區間[a，b]上的可積函數，f（x）+f（a+b-x）=g（x）是關于區間中點的偶函數，則有

∫baf（x）dx=12∫bag（x）dx.（4）

證明令F（x）=f（x）-12g（x），可知

F（x）+F（a+b-x）

=f（x）-12g（x）+f（a+b-x）-

12g（a+b-x）=f（x）+f（a+b-x）-

12[g（x）-g（a+b-x）]=0.

最后一步由g（x）是關于區間中點的偶函數以及f（x）+f（a+b-x）=g（x）得到.從而可知F（x）是關于區間中點對稱的奇函數，積分即得結論.

例2求∫10xex+e1-xdx.

解令f（x）=xex+e1-x，易知f（1-x）+f（x）=1-xex+e1-x+xex+e1-x=1ex+e1-x是關于區間[0，1]中點上的偶函數，從而由（4）式可知

∫10xex+e1-xdx=12∫101ex+e1-xdx

=12∫10exe2x+edx

=12e∫10dexeexe2+1

=12earctane-arctan1e.

四、結論

本文用對稱性性質重新推證一個定積分等式.在等式兩邊同乘2π后等式左右兩邊可以分別看作是旋轉體和柱體的體積，從而獲得這個等式的幾何意義.我們還導出這個等式的一般形式并運用它來簡化某些定積分的計算.

【參考文獻】

[1]陳紀修，於崇華，金路.數學分析（上冊）第二版[M].北京：高等教育出版社.2004.