強化算理培養數感

樂俊松

【摘要】計算與數感相互依存、相互促進，計算是數感培養的載體，計算能力的提升受益于良好的數感意識.計算中的理就是數理和算理，口算、筆算的教學應從數理入手，算理提供理論支撐;估算需要算理正方向;四則混合運算需要算理定規則.數感需要在計算過程中逐步培養，數感能進一步提升計算能力，兩者相互關聯、相互促進，只有在數理和算理的指導和規范下形成的數感意識才經得起推敲，才能有效提升我們的計算效率.

【關鍵詞】計算;算理;數感;依存;促進

語文有語感，音樂有樂感，數學也有數感.語感的培養強調多讀，因為“書讀百遍，其義自見”;樂感更講求天賦，五音不全難以形成樂感;數感的培養側重于“講理”，因為數學是一門講道理的學科，數學知識之間相互聯系，數學分析、思考、推理都有嚴密的邏輯性.計算作為小學數學的主要教學內容之一，自然也不能缺少以上屬性.計算與數感相互依存、相互促進，計算是數感培養的載體，計算能力的提升又受益于良好的數感意識.計算中的理就是數理和算理.

小學階段的數理就是數的組成，如一個數是由哪些計數單位組成的？分別有幾個這樣的計數單位？算理是指四則運算的理論依據，它是由數學概念、性質、定律等內容構成的數學基礎理論知識，其內涵包括數和運算的意義、運算的規律和性質.算理是說明“為什么這樣算”的數學原理，為學生形成可操作化的計算提供了正確可靠的數學依據與思維過程，是學生運算能力形成與提高的有力支撐.

下面，我們從口算、筆算、估算、綜合運算等方面談一談具體的做法，希望能夠為小學數學教師以及相關教育研究人員提供一定的參考.

一、口算、筆算的教學應從數理入手，算理提供理論支撐

首先，教師要讓學生明白參與計算的對象（每一個數）的組成，如它是由哪些計數單位組成的？分別有幾個這樣的計數單位？其次，教師要讓學生根據已有的知識經驗，在遵從算理的基礎上進行嘗試、探討并總結出算法，算法是讓學生明白怎么算，而算理是讓學生理解為什么要這樣算，保證算法的正確性.如果要解決好為什么這樣算，就要結合不同運算的意義，教師要先通過形象直觀的手段讓學生對相應運算形成感知，再通過適當的練習，使學生感悟其中的本質，最終形成算法，然后結合數理特征形成數感，用以支撐后續的學習、工作和生活.例如，在教學人教版三年級下冊第2單元“筆算除法”一課時，筆者對教材和教學環節做了一些創新處理，這一教學內容是在學生學習表內除法的基礎上展開的，學生有了用乘法口訣進行筆算除法的基礎，知道豎式除法中各部分的名稱，但僅限于除數是一位數、商也是一位數的情況.教師在課前復習中為學生準備了激趣比賽，第一、二組的題目是35÷7，63÷9，18÷3;第三、四組的題目是32÷7，61÷9，20÷3.為了突出效果，教師讓做完的學生站起來為大家加油.實際上完全達到了預期效果，到了1分鐘后，第一、二組的學生全部完成，第三、四組的學生僅有兩人完成.第三、四組的學生質疑比賽的公平性，教師指導學生依次列豎式計算以上全部題目，并要求全班學生共同列豎式計算32÷7，以此復習豎式除法的書寫格式及各部分的名稱和意義，為新授“商是兩位數的除法”做好鋪墊.在新授過程中，筆者始終強調記錄除法豎式的方式既要直觀，方便觀察，又要有道理，滿足一般性.筆者把例題改為兩人分42元，讓學生實際操作平均分的過程，并列豎式把分的過程記錄下來.先分4張10元，再分2張1元，記錄如下：

先分2張1元，再分4張10元，記錄如下：

筆者繼續探索十位有余數的除法，他把例題改為兩人平均分52元，采用相同的探索過程，用紙幣進行分錢的操作.學生同樣會給出兩種分的過程，先分5張10元，再分2張1元.教師將重點放在和學生一起探討剩下的一張10元應該怎么分.在教師的引導下，學生得出三種可能的操作辦法，第一種是換成兩張5元的，每人1張;第二種是換成10張1元的，每人5張;第三種是換成10張1元，再和原來2張1元的合起來分，每人6張.最后，學生得出第三種操作方法是最佳選擇，因為它不僅解決了剩余一張10元的問題，而且解決了原來2張1元的問題，方法簡潔方便.先分5張10元，再分2張1元，記錄如下：

先分2張1元，再分5張10元，用相同的方法進行操作和記錄，記錄如下：

通過對比，筆者得出筆算除法要從高位除起，因為如果高位有余數，就可以換成下一位的計數單位，再與下一位一起除，以此類推，最終完成除法計算.

二、估算需要算理定方向

根據知識的產生、發展規律以及學生的認知規律，四則混合運算按照加、減、乘、除的順序編排，在學習相應的口算后，學生都會進行相應的估算學習，加法、減法和乘法的估算都是根據實際需要把相關的數據看成整十、整百或整千數進行相應的運算.從知識的生長點來看，減法估算以加法估算為基礎，乘法估算以加、減法估算為基礎，學生對估算方法了然于心，看到估算自然先找相關數據的近似數，再按照運算符號口算出結果.學生憑借已有的經驗往往會套用原有的估算方法，把被除數看成接近的整十、整百數再除，得到的結果就是要么估算不準確，要么無法估算.例如，當分析233÷8的估算時，學生往往先把233看成230，再除以8，只能商2，因為當商30時，30×8=240，240>230，這時就會出現估算錯誤的情況，有的學生還會因為230÷8得不到整十數，而得不出估算結果.出現這種問題的原因是學生估算以上除法時，完全依靠經驗，而忽略了計算的核心算理.除法計算的重要步驟是試商，試商是根據除數的口訣找到與被除數相對應的這一句，以此為依據得出估算的結果.例如，當估算503÷70時，學生應該根據7的乘法口訣七七四十九，把503看成490，因為490÷7=70，所以503÷7≈70.只有遵循算理所培養形成的數感意識才是有效的數感意識，否則偽數感意識越強，對計算準確性的危害就越大.數感的培養不是一蹴而就的，而是需要經過長期的培養和練習的.為了能夠培養學生的數感，數學教師需要在日常教學過程中讓學生針對多位數乘兩位數、兩位數乘一位數、表內乘除法等進行強化練習，以提升學生對數學估算的數感，尤其是特殊數乘積的訓練，如25×5，50×8，75×4，125×5等.通過此類練習，學生能夠對特殊數建立敏感度.如當看到126時，學生能夠聯想到126=125+1;當看到97時，學生能夠聯想到97=100-3.

三、四則混合運算需要算理定規則

四則混合運算是在加、減、乘、除四種單向運算的基礎上，通過規則和運算定律來限定運算順序的綜合性計算.俗話說，沒有規矩，不成方圓，四則混合運算的規矩就是運算順序（括號→第二級運算→第一級運算）.運算參與者必須遵從這一相同的運算順序，在保證單項計算正確的情況下，就能得出相同的答案，即標準答案.在日常教學中，教師經常鼓勵學生一題多解，并對多解進行優選.判斷一個算法是否可用，要從三個維度考慮：一是多數學生喜不喜歡;二是教師易教、學生易學;三是對后面知識的學習有幫助.最理想的算法是三個方面都具備，隨著年級的升高，學生更偏向于算法會對后面知識的學習有幫助.通過對四則混合運算意義的研究，教師發現一些算式具有本質的規律，由此總結出五個運算定律和兩個運算性質.這些運算定律和運算性質正好符合以上三個維度.如果根據加法的意義“把兩個加數合并成一個加數的運算”可知計算結果只跟兩個數合并有關，與兩個數出現的先后順序無關，那么得出加法交換律a+b=b+a.例如，算式35×72+35×28的意義是72個35與28個35合并起來，也就是100個35，具有這一特征的算式都有這一共性，這一共性還具有可逆性，由此得出乘法分配律a×（b+c）=a×b+a×c.運算定律的應用，實際是對運算順序的優化，由此產生了簡便運算，簡便運算不是對運算順序的人為改變，而是對某一類算式的內部特征的優化，由此可見，遵守四則混合運算的規則（運算順序、運算定律）尤為重要，否則會直接導致運算結果的錯誤，計算簡便與否就無從談起.以上道理不僅教師要深入理解、清醒認識，更重要的是學生要有清醒的認識.只有這樣，學生才會主動審題，找到解決計算題的最優方法.在達到這一要求并結合適當的練習鞏固后，學生就在潛移默化中增加了對算式中數、符號特征的把握，快速形成解決策略，進而形成數感意識.考查學生是否掌握了乘法分配律，可以設計這樣的選擇題，即與613×15-13×15不同類的算式是（）.A.38×25+38×75，B.613-13×15，C.72×18-12×18，D.613×99+613，選擇答案為B、D中的一個或同選的學生完全不理解乘法分配律，因為他們只是從數是否相同或相似來選擇，沒有從乘法分配律的實質進行研究.題干中的算式是乘法分配律的逆運用，我們應該判斷四個選項是否滿足乘法分配律的逆運用，通過分析發現，只有與題干神似的B項不滿足乘法分配律.為了便于學生準確地理解和快速掌握四則混合運算的算理，教師可以采用生活化教學模式.

例如，小A同學去買跳棋和圍棋，買5副圍棋的價格為75元，買4副跳棋的價格為48元，1副圍棋比1副跳棋貴多少元？教師在課堂上問道：“哪名同學可以說一說這道題的數量關系式？”同學們積極踴躍地發言，教師在黑板上板書其數量關系式：圍棋的單價-跳棋的單價=1副圍棋比1副跳棋貴的錢.教師進一步問道：“同學們是否可以列出這一道題的綜合算式？”同學們主動思考和計算，教師可以在同學們計算的過程中進行指導，用恰當的話語幫助同學們確定先算什么，再算什么，圍棋的單價不會對跳棋的單價產生影響，先進行各自單價的計算，再進行綜合計算.計算過程表現為：

75÷5-48÷4=15-12=3（元）

同時，教師可以提問：“如果只買1副圍棋和1副跳棋，一共需要花多少元錢？”計算過程表現為：

75÷5+48÷4=15+12=27（元）

教師讓同學們仔細觀察計算過程，計算過程中先算除法，再算加、減法和四則混合運算的算理相吻合.生活案例的運用，能夠將抽象的知識具象化，如張景中院士所說，推理是抽象的計算，計算是具體的推理，只有學生多根據生活經驗和數學知識進行加減、乘除算法練習，才能在生活案例中掌握四則混合運算的順序.數學教師需要做好正確的引導工作，引導學生通過推理對四則混合運算的算理、規則等進行歸納和總結，對于沒有括號的四則混合運算算式，如果只有乘法、除法或只有加法、減法，就按照從左到右的順序進行計算;如果算式中既有加、減法，又有乘、除法，就需要先進行乘、除法計算，再進行加、減法計算.教師在引導和講解的過程中需要有耐心，部分學生可能在自己練習的過程中出現計算順序錯誤的情況，教師需要及時進行講解和辨析，重點滲透算理和規則意識，保證所有學生都能夠準確、完整地掌握四則混合運算的算理.如果要解答好四則混合運算，那么學生必須對運算定律和運算性質有深刻的理解，認識其結構（也就是字母公式），理解其本質，明確其適用范圍.以此判斷一道四則混合運算是否滿足某一定律、性質，如果滿足，就進一步思考下一步怎么算，是否能達到簡便的目的.有些計算題可能滿足某一定律，但不能使計算簡便，因為沒有運用運算律的必要.簡便運算必須以運算律為依據，只有滿足運算律的結構，簡便運算才是講理的，計算才可能正確，否則違反了規則，計算過程再簡單，速度再快，也只能得出錯誤的結果，沒有任何價值.

數感需要在計算過程中逐步培養，數感能進一步提升計算能力，兩者相互關聯、相互促進，只有在數理和算理的指導和規范下形成的數感意識才經得起推敲，才能有效提升學生的計算效率.

【參考文獻】

[1]蔣敏杰.小學數學計算教學算理的結構分析及教學策略[J].中小學教師培訓，2016（7）：37-42.

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